[PDF] Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

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Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-2003Annales Corrigées

de l"Année 2002-2003Licence de Mathématiques : Intégration, Analyse de Fourier et Probabilités

I.F.P. 2002-2003Ce polycopié regroupe les devoirs à la maison, D.S. et examens donnés en I.F.P. au

cours de l"année universitaire 2002-2003. Tous les énoncés sont accompagnés de solutions

entièrement rédigées. Il va de soi que ces corrigés ne pourront être utiles qu"aux lecteurs

ayant déjà cherché à résoudre par eux-mêmes les questions posées. Je remercie tous mes collègues de l"équipe enseignante d"I.F.P. 2002-03, pour leur

contribution à ce travail et pour m"avoir donné leur accord pour l"inclusion des énoncés et

corrigés correspondants dans ces annales. Le D.M. n o2 a été pris en charge par Philippe Heinrichet LaurenceMarsalle, le D.M. no3 par RaymondMochéet François Recher, le D.M. no4 par YouriDavydov, SandraDelaunayet CharlesSuquet. L"ensemble du document est disponible sur Internet à l"URLhttp://math.univ-lille1.fr/~suquet/ Les pages de cette version électronique y sont signées pour éviter toute exploitation commerciale abusive.

Les remarques, critiques et questions des lecteurs seront les bienvenues.Villeneuve d"Ascq, le 19 octobre 2003

CharlesSuquet1

I.F.P. 2002-2003Index thématique-Calcul d"intégrale multiple : Exm. Sept. Ex. 1;-Continuité et dérivabilité sous?: D.M. 3, Pb. 1; Exm. Jan. Ex. 4; Exm. Sept.

Ex. 2.-Dénombrabilité : D.M. 1, Ex. 3;-Densité (d"une loi) : Exm. Jan. Ex. 4;-FonctionΓ: D.M. 3, Pb. 1;-Fonctions monotones : D.S. Pb.;-Fonction de répartition : D.S. Ex. 1;-Indépendance : D.M. 4, Ex. 2; Exm. Jan. Ex. 3; Exm. Sept. Ex. 3.-Intégrabilité : D.S., Ex. 3; Exm. Jan. Ex. 4; Exm. Sept. Ex. 1 et 3.-Interversion série-intégrale : D.S. Ex. 3; D.M. 3, Pb. 1; D.M. 4, Ex. 1;-Jeu de pile ou face : D.M. 2.-Lemme de Fatou : D.S. Pb.; Exm. Sept. Ex. 3.-Loi forte des grands nombres : D.M. 4, Ex. 2; Exm. Jan. Ex. 4; Exm. Sept. Pb.-Lois gaussiennes : Exm. Jan. Ex. 3;-Lois uniformes : D.S. Ex. 2; D.M. 4, Ex. 2; Exm. Jan. Ex. 1; Exm. Sept. Ex. 3.-Mesurabilité : Exm. Sept. Pb.-Mesure : D.M. 2; Exm. Jan. Ex. 2;-Mesure de Lebesgue : D.S. Ex. 2; D.M. 3, Pb. 2; Exm. Jan. Ex. 4; Exm. Sept.

Pb.-Modélisation : D.M. 1, Ex. 1; D.M. 2; D.M. 4, Ex. 2; Exm. Jan. Ex.3.-Moments : Exm. Jan. Ex. 2;-Semi-algèbre : D.M. 2.-Séries et familles sommables : D.M. 1, Ex. 3;-Série de Fourier : D.M. 3, Pb. 2.-Temps d"attente : D.M. 1, Ex. 1; Exm. Sept. Pb.-Théorème de convergence dominée : D.M. 3, Pb. 2; Exm. Jan. Ex. 4; Exm. Sept.

Ex. 1-Théorème d"extension : D.M. 2.-Théorème de Fubini : D.M. 4, Ex. 1; Exm. Sept. Pb.-Théorème limite central : Exm. Jan. Ex. 4 (dans le corrigé).-Tribu : D. M. 2;-Variable aléatoire discrète : D.M. 1, Ex. 1 et 2; Exm. Sept. Pb.-Vecteur aléatoire : D.M. 4, Ex. 2; Exm. Jan. Ex. 3; Exm. Sept. Ex. 2.; Exm. Sept.

Ex. 3.2

I.F.P. 2002-2003 Sujet du D.M. no1Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-03Devoir no1

À rendre dans la semaine du 28 octobre 2002

Ex 1.Contrôleur contre fraudeur

Une compagnie de métro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit à un trajet coûte 1?; les amendes sont fixées à 20?pour la première infraction constatée,

40?pour la deuxième et 400?pour la troisième. La probabilitéppour un voyageur

d"être contrôlé au cours d"un trajet est supposée constante et connue de la seule com- pagnie. Un fraudeur décide de prendre systématiquement le métro sans payer jusqu"à la deuxième amende et d"arrêter alors de frauder. On noteTle nombre de trajets effectués

jusqu"à la deuxième amende (Test le numéro du trajet où le fraudeur est contrôlé pour

la deuxième fois). On noteq= 1-pla probabilité de faire un trajet sans contrôle.

1) Montrer que la loi deTest donnée par

P(T=k) = (k-1)p2qk-2, k≥2.

2) Pourn?N?, calculerP(T > n).Indication: on pourra commencer par chercher

une formule explicite pour la somme de la série entière f(x) :=+∞? k=n+1x k-1, puis pour sa dérivée terme à terme.

3) Calculer numériquementP(T >60)(pourquoi s"intéresse-t-on à cette quantité?)

lorsquep= 1/10et lorsquep= 1/20.

4) D"un point de vue purement financier (et donc hors de toute considération de

moralité), quel conseil donneriez vous au fraudeur? Ex 2.SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dansN?. Pour toutk?N?, on notepk:=P(X=k). On suppose queXa une espérance mathématiqueEXfinie et que la suite(pk)k≥1estdécroissantesurN?.

1) Démontrer l"inégalité :

?k?N?, P(X=k)<2EXk2.(1) Indication :Considérer la somme partielle de rangkde la série définissantEX.3

Sujet du D.M. no1 I.F.P. 2002-20032) L"inégalité (1) reste-t-elle vraie sans l"hypothèse de décroissance de(pk)k≥1?

3) Est-il possible qu"il existe une constantec >0et un entierk0tels que :

?k≥k0, P(X=k)≥cEXk2?(2)

Ex 3.Sommabilité...

SoitEun espace vectoriel normé, I un ensemble infini d"indices et{ui, i?I}une famille de vecteurs deE. Pour toute partie finieKdeIon note S K:=? i?Ku i. On dit que{ui, i?I}estintrinsèquement sommableet de sommeS?Esi pour tout ε >0, il existe une partie finieJ=JεdeItelle que L"appellation " intrinsèquement sommable » n"est pas classique et est locale à cet exer-

cice. Elle est destinée à éviter la confusion avec la définition de la sommabilité vue en

cours (pour un ensemble d"indicesIdénombrable).

1) Montrer que si{ui, i?I}estintrinsèquement sommable, l"ensemble

I ?:={i?I;ui?= 0} est au plus dénombrable.

2) Montrer que si{ui, i?I}estintrinsèquement sommableet siI?défini ci-dessus

est infini, la série? i?I?u iest commutativement convergente, c"est-à-dire que pour toute bijection?:N→I?, la série?+∞ k=0u?(k)converge et sa somme ne dépend pas de?.

3) SoitIdénombrable et supposons la série?

i?Iuicommutativement convergente et de sommeS. Montrer que{ui, i?I}est intrinsèquement sommable et de sommeS. Indication: supposer que{uii?I}n"est pas intrinsèquement sommable et construire une bijectionσdeN→Ipour laquelle la série de terme généraluσ(j)ne converge pas versS.

4) Soit{ui, i?I}une famille infinie dansR+telle que

M:= sup

Kfini?I?

i?Ku i<+∞. Montrer que{ui, i?I}est intrinsèquement sommable et de sommeM.

5) Soit(Ω,F,μ)un espace mesuré oùμest une mesure finie. On suppose de plus

que la tribuFpossède les singletons (?ω?Ω,{ω} ?F). On dit queμa une masse ponctuelle enωsiμ({ω})>0. Déduire de la question précédente que l"ensemble des

ωoùμa une masse ponctuelle est au plus dénombrable. Généraliser au cas oùμest

σ-finie.

6) Déduire de la question précédente que siFest la fonction de répartition d"une

mesure finie sur(R,Bor(R)), l"ensemble de ses points de sauts (i.e.lesa?Rtels que

F(a-)< F(a))est au plus dénombrable.4

I.F.P. 2002-2003 Sujet du D.M. no2Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-03Devoir no2

À rendre dans la semaine du 18 novembre 2002Problème. Le but du problème est de construire un espace probabilisé modélisant une suite infinie de tirages à pile ou face avec une pièce (éventuellement) truquée. Rappelons que siEetFsont des ensembles, la notationFEdésigne l"ensemble des applications deEdansF. Dans le cas particulier oùE={1,...,n}, l"ensembleF{1,...,n} s"identifie àFn=F× ··· ×F. On représente les suites infinies de tirages à pile ou face comme les éléments de l"ensemble

Ω ={0,1}N?.

Pourn?N?, soitπnla fonction surΩà valeurs dans{0,1}définie parπn(ω) =ω(n); cette fonction représente le résultat dun-ième tirage. Soitpun réel fixé appartenant à]0,1[. On veut construire une tribuFsurΩrendant les fonctionsπnmesurables, et une probabilitéPsur(Ω,F)telle que pour toutn≥1,

P{πn= 1}=p,P{πn= 0}= 1-p.

1) SoitGune tribu surΩ. Montrer queπnestG-P({0,1})mesurable si et seulement

si les ensembles{πn= 1}et{πn= 0}appartiennent àG. La réunion?n≥1π-1n?P({0,1})? est-elle une tribu?

2) PosonsΩn={0,1}netΩ(n)={0,1}N?\{1,...,n}de sorte queΩ = Ωn×Ω(n).Soitfn

la fonction deΩdansΩndéfinie parfn(ω) =?π1(ω),...,πn(ω)?et soitFn=f-1n?P(Ωn)).

Montrer que :a)Fnest une tribu,b)Fn={A×Ω(n),A?Ωn},c)les fonctionsπ1,...,πnsontFn-P({0,1})mesurables.

3) Pour toutC?Fn, on pose

P n(C) =? x?fn(C)p |x|(1-p)n-|x|, où|x|désigne le nombre de coordonnées dexégales à 1; plus formellement, on pose |x|= Card?k? {1,...,n}:x(k) = 1?.5

Sujet du D.M. no2 I.F.P. 2002-2003Montrer quePnest une probabilité sur(Ω,Fn)et que pour toutk? {1,...,n},

P n{πk= 1}=p.

4) Montrer que la suite(Fn)n≥1est croissante. En déduire que?n≥1Fnest une semi-

algèbre surΩque l"on noteraCdans la suite du problème.

5) SoitPla fonction d"ensemble surCdéfinie par

P(C) =Pn(C)siC?Fn.

Montrer que :a)Pest bien définie (vérifier quePnetPn+1coïncident surFn),b)Pest additive surC,c)P(Ω) = 1etP(∅) = 0.

6) Soit(Ci)i?Nune suite décroissante d"éléments deC. On veut établir que si lesCi

sont tous non vides, alors ∩i?NCi?=∅.

Pour cela, on justifiera la construction suivante d"un élément¯ωdeΩ:-on choisit¯ω(1)dans∩i?Nπ1(Ci),-¯ω(1),...,¯ω(k)étant choisis, on choisit alors¯ω(k+ 1)dans

i?Nπ k+1? C i∩f-1 k? ??¯ω(1),...,¯ω(k)????

Montrer que¯ωappartient à∩i?NCi.

Indication :pourCappartenant àFn, on a l"équivalence

ω?C???ω(1),...,ω(n)??fn(C).

7) Montrer que si(Ci)i?Nune suite décroissante d"éléments deCtendant vers∅,

alors limi→+∞P(Ci) = 0.

8) Montrer que si(Ci)i?Nune suite croissante d"éléments deCdont la réunion

appartient encore àC, alors lim i→+∞P(Ci) =P(?i?NCi).

9) Montrer quePest sous-σ-additive surC.

10) Conclure en appliquant le théorème d"extension du cours.6

I.F.P. 2002-2003 Sujet du D.S.Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-03Devoir Surveillé, 27 novembre 2002

Conditions de déroulement de l"épreuve:

Durée : 4 heures.

Les calculatrices sont interdites.

Liste exhaustive des documents autorisés :1.Polycopié de DEUGIntroduction au calcul des probabilités.2.Polycopié ducoursd"IFP 2002-2003 (Chapitres 1 à 4, additifs et erratum compris).3.une feuillemanuscriterecto verso format standard A4, pouvant contenir des ex-

traits du cours à votre choix, à l"exclusion de tout corrigé d"exercice. Le barème n"est donné qu"à titre indicatif pour vous aider à gérer votre temps et n"a pas valeur contractuelle.

Ex 1.(3 points).

Soit(Ω,F,P)un espace probabilisé etXune variable aléatoire positive définie sur cet espace.

1) Montrer l"existence d"une suite(Xn)n?Nde variables aléatoiresdiscrètesdéfinies

sur(Ω,F,P)telle queXn(ω)converge en croissant (quandntend vers+∞) versX(ω) pour toutω?Ω.

2) On noteFnetFles fonctions de répartition respectives deXnetX. Montrer

que pour toutx?R,Fn(x)converge en décroissant versF(x). n?N. Ex 2.Loi uniforme sur la boule unité en grande dimension (4 points). Dans tout l"exercice, on noteraλdla mesure de Lebesgue surRd,Bd(0,r)la boule fermée dansRdde centre0et de rayonr, pour la distance associée à la norme euclidienne ?x?2:=d? i=1x

2i, x= (x1,...,xd)

etv(d) :=λd?Bd(0,1)?. On ne cherchera pas à expliciter la constante strictement positive v(d).

1) En utilisant une propriété de la mesure de Lebesgue, calculerλd?Bd(0,r)?en

fonction deretv(d).7

Sujet du D.S. I.F.P. 2002-20032) Soit(Ω,F,P)un espace probabilisé etU: Ω→Rdun vecteur aléatoire de loi

uniforme surBd(0,1). On a donc ?A?Bor(Rd),P(U?A) =λd?A∩Bd(0,1)?λd?Bd(0,1)?=1v(d)λd?A∩Bd(0,1)?. Expliquer pourquoiR:=?U?est une variable aléatoire réelle et calculer sa fonction de répartitionF.

3) On dit que le réelmestunemédiane de la variable aléatoire réelleYs"il vérifie

que l"on calculera.

4) Pourn?N?, on noteUnun vecteur aléatoire de loi uniforme surBn(0,1)et

R +∞. Commenter le résultat obtenu.

Ex 3.(4 points).

On noteλla mesure de Lebesgue surR.

1) Soitg:R→R+, borélienne. Montrer en utilisant le théorème de transfert que :

?c >0,? R g(cx)dλ(x) =1c? R g(y)dλ(y).

2) Soitf:R→R,λ-intégrable surRetα >0une constante. Montrer que

n=1? R |n-αf(nx)|dλ(x)<+∞.

3) En déduire que pourλ-presque toutx?R,

lim n→+∞n-αf(nx) = 0.

4) Construire un exemple de fonctionf λ-intégrable surR, de la formef=?+∞

k=1ak1Ik, où lesIksont des intervalles non réduits à un point et telle que lim n→+∞n-αf(n) = +∞.

Problème.(9 points)

On noteλla mesure de Lebesgue surR. Le but du problème est d"établir une inégalité entre l"intégrale de la dérivée presque partout d"une fonction croissante et la variation de cette fonction.

1) Soitg:R→R, borélienne etλ-intégrable sur tout intervalle borné deR. On

suppose quega une limite à droite au pointa, notéeg(a+ 0). Prouver que lim h→0h>01h? [a,a+h]g(x)dλ(x) =g(a+ 0). Indication :les seuls ingrédients de la preuve sont la définition de la limite à droite et les propriétés élémentaires de l"intégrale.8

I.F.P. 2002-2003 Sujet du D.S.2) Montrer que si une fonctionF:R→Rest croissante, elle est borélienne.

3) SoitF:R→R, croissante. Expliquer pourquoiFestλ-intégrable sur tout

intervalle d"extrémitésa,b,-∞< a < b <+∞. On suppose dans toute la suite queF:R→Rest croissante, continue à droite en tout point deR. On admettra1que l"ensembleDdes points oùFest dérivable est un borélien deRet queλ(Dc) = 0. On définit la fonctionfpar : f(x) :=?

F?(x)six?D,

0sinon.

On se propose de prouver que pour tous réelsa,b(-∞< a < b <+∞),

4) Montrer quefest borélienne positive.

5) On fixe une suite(hn)de réels strictement positifs, convergente vers0. Comparer

les intégrales [a,b]f(x)dλ(x)et?

6) Justifier l"égalité

[a,b]F(x+h)dλ(x) =? [a+h,b+h]F(y)dλ(y)et l"utiliser pour montrer que lim n→+∞? [a,b]F(x+hn)-F(x)hndλ(x) =F(b+ 0)-F(a+ 0).

7) Prouver (3).

8) Donner un exemple simple de fonctionFsatisfaisant les hypothèses ci-dessus et

pour laquelle on peut avoir l"inégalité stricte dans (3), disons poura= 0etb= 1.1Un théorème de Lebesgue affirme que toute fonction monotone surRest dérivableλ-presque partout

surR. La connaissance de ce théorème n"est pas utile à la solution de cet exercice.9

Sujet du D.M. no3 I.F.P. 2002-2003Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-03Devoir no3

À rendre dans la semaine du 16 décembre 2002

Problème 1

1 -Démontrer que la fonctionΓdéfinie sur]0,+∞[par

?x >0,Γ(x) =? 0 tx-1e-tdt est de classeC∞sur]0,+∞[et que pour tout entiern≥1, sa dérivée d"ordrenest donnée par ?x >0,Γ(n)(x) =? 0 e-t(logt)ntx-1λ(dt).

2 -Calculer?

0 ts-1e-atλ(dt), pour tous réelsa,s >0, puis démontrer que pour tout réels >1,?+∞ 0t s-1et-1λ(dt) =+∞? n=1Γ(s)ns·

3 -Démontrer que pour tout entiern≥0,

0 t2ne-t2λ(dt) =12Γ? n+12?

4 -Démontrer que pour tout réela:

0 e-t2cos(at)λ(dt) =⎷π2exp?-a24?.

Problème 2

L"objet de ce problème est de démontrer que pour tout borélienBdeRde mesure de

Lebesgue finie,

(1) B puis d"appliquer ce résultat.10

I.F.P. 2002-2003 Sujet du D.M. no31 -Démontrer la propriété (1) lorsqueBest un intervalle]a,b[,a < b.

2 -Étendre ensuite cette propriété au cas oùBest un ouvert borné quelconqueUdeR.

Indication: On pourra utiliser le théorème de topologie suivant, dû à Cantor, voir le

cours, Lemme 17, premier chapitre :Tout ouvert non videUdeRs"écrit de manière unique comme réunion d"une

famille finie ou infinie dénombrable d"intervalles ouverts non vides et deux à deux disjoints, appelés composantes deU.

3 -Pour passer au cas général d"un borélien borné quelconqueB, on admettra (voir les

Annales corrigées 2001-02, Devoir 2, page 5) que :Soitmune mesure sur(Rd,B(Rd)),d≥1, telle que la mesure de tout borélien

borné soit finie. Alors pour tout borélienBet quel que soitε >0, il existe un

3.bis -(pour les redoublants) Démontrer directement le résultat précédent en dévelop-

pant la fonction1Ben série de Fourier.

4 -Etendre (1) pour tout borélienBtel queλ(B)<+∞(un tel borélien n"est pas

nécessairement borné). Indication (à justifier) : B cos2(nx)λ(dx) =? j?N? B jcos2(nx)λ(dx),

4.bis -(pour les redoublants) Démontrer directement ce résultat à l"aide du théorème

de Riemann-Lebesgue.

5 - Application :Bdésignant toujours un borélien deRtel queλ(B)<+∞, soit

(an, n≥1)une suite réelle. Démontrer que si?ancos(n•), n≥1?convergeλ-presque partout surBvers la fonction nulle et siλ(B)>0alorsan----→n→+∞0. Indication : on raisonnera par l"absurde en supposant que

0

Sujet du D.M. no4 I.F.P. 2002-2003Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-03Devoir no4

À rendre dans la semaine du 6 janvier 2003

Ex 1.Application du théorème de Fubini à l"interversion série-intégrale

1) SoientIun intervalle deRetf:I→Cune fonction admettant surIle

développement en série entièreabsolumentconvergeant : f(x) =+∞? k=0c kxk.

On noteFla fonction définie surIpar

F(x) :=+∞?

k=0|ck||x|k. Montrer grâce au théorème de Tonelli que pour toute fonction borélienneg:I→R+, I

Fgdλ=+∞?

k=0|ck|? I |x|kg(x)dλ(x). Indication :on utilisera la représentation d"une série absolument convergente comme intégrale relativement à la mesure de comptage (cf. cours, corollaire 4.7).

2) Déduire de la question précédente des conditions suffisantes pour que l"on ait :

I fgdλ=+∞? k=0c k? I xkg(x)dλ(x).

On ne suppose plusgpositive dans cette question.

3) Montrer que?1

0(xlnx)21 +x2dx= 2+∞?

k=1(-1)k-1(2k+ 1)3.

4) Montrer que

?a?R,?

0sinaxex-1dx=+∞?

k=1ak2+a2.12 I.F.P. 2002-2003 Sujet du D.M. no4Ex 2.L"aiguille de Buffon En 1777, Buffon a proposé une méthode expérimentale pour obtenir une valeur nu- mérique du nombreπ. On trace sur une surface plane horizontale des droites parallèles équidistantes, séparées par une distancea(on peut par exemple utiliser les rainures d"un l"aiguille immobilisée, on observe si elle coupe l"une des droites du réseau. On répète l"expérience en notant la fréquence des intersections. Lorsque le nombre d"expériences augmente indéfiniment, cette fréquence converge selon Buffon versp=2?πapermettant ainsi d"obtenir une estimation expérimentale du nombreπ.? " Échec »? " Succès » Cherchons une modélisation de cette expérience. On noteYla distance du milieu de l"aiguille à la droite du réseau la plus proche.Yprend ses valeurs dans[0,a2]. On noteΦ une mesure de l"angle entre les droites du réseau (toutes orientées dans le même sens) et

l"aiguille orientée du chas vers la pointe.Φprend ses valeurs dans[0,2π](par exemple)2.YetΦsont des variables aléatoires. La

connaissance du couple(Y(ω),Φ(ω)) suffit pour savoir s"il y a ou non inter- section.???Y???2|sinΦ|

Nous ferons les hypothèses suivantes sur les variables aléatoiresYetΦ:(H1)Ysuit la loi uniforme sur[0,a2].(H2)Φsuit la loi uniforme sur[0,2π].(H3)YetΦsont indépendantes.

1) On noteEl"événement " l"aiguille coupe l"une des droites du réseau ». Caracté-

riser l"évènementEpar une inégalité faisant intervenir les variables aléatoiresY,Φet

la constante?.

2) Quelle est la densité du couple(Y,Φ), quelle est sa loi?2On pourrait aussi utiliser les angles de droites,Φserait alors à valeurs dans un intervalle de lon-

gueurπ.13 Sujet du D.M. no4 I.F.P. 2002-20033) CalculerP(E).

4) On considère une suite de lancers de l"aiguille et on noteEil"évènement " lors

duième lancer, l"aiguille intersecte une des droites du réseau ». On poseXi=1Eiet F n:=1nn i=1X i. Que peut-on dire du comportement asymptotique de la suite(Fn)? Déduisez en une formule d"estimation expérimentale deπ.14

I.F.P. 2002-2003 Sujet d"Examen (janvier)Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et AppliquéesIFP Année 2002-03Examen, 30 janvier 2003

Conditions de déroulement de l"épreuve:

Durée : 4 heures.

Les calculatrices sont interdites.

Liste exhaustive des documents autorisés :1.Polycopié de DEUGIntroduction au calcul des probabilités.2.Polycopié ducoursd"IFP 2002-2003.3.Une feuillemanuscriterecto verso format standard A4, pouvant contenir des ex-

traits du cours à votre choix, à l"exclusion de tout corrigé d"exercice. Le barème n"est donné qu"à titre indicatif pour vous aider à gérer votre temps et n"a pas valeur contractuelle. Les notations utilisées dans les énoncés sont celles du cours. En particulierλddésigne la mesure de Lebesgue surRdmuni de sa tribu borélienneBor(Rd). Ex 1.Loi uniforme sur la boule unité en grande dimension, la rechute (5 points). Dans tout l"exercice, on noteraλdla mesure de Lebesgue surRd,Bd(0,r)la boule fermée dansRdde centre0et de rayonr, pour la distance associée à la norme ?x?1:=d? i=1|xi|, x= (x1,...,xd). etv(d) :=λd?Bd(0,1)?.

1) Dans cette question,d= 2.a)DessinerB2(0,1). Calculerv(2).b)Soit(X,Y)un vecteur aléatoire de loi uniforme surB2(0,1). Sa loi est donc à

densité(x,y)?→f(x,y) =c1B2(0,1)(x,y)par rapport àλ2(cconstante à préciser).

Déterminer par leur densité les lois deXetY.c)Expliquer pourquoiXetYne sont pas indépendantes.

2) En utilisant une propriété de la mesure de Lebesgue, calculerλd?Bd(0,r)?en

fonction deretv(d). On ne cherchera pas à expliciter la constantev(d).

3) SoitU: Ω→Rdun vecteur aléatoire de loi uniforme surBd(0,1). On a donc

?A?Bor(Rd),P(U?A) =λd?A∩Bd(0,1)?λd?Bd(0,1)?=1v(d)λd?A∩Bd(0,1)?. Expliquer pourquoiR:=?U?1est une variable aléatoire réelle et calculer sa fonction de répartitionF.15

Sujet d"Examen (janvier) I.F.P. 2002-20034) On dit que le réelmestunemédiane de la variable aléatoire réelleYs"il vérifie

que l"on calculera.

5) Pourn?N?, on noteUnun vecteur aléatoire de loi uniforme surBn(0,1)et

R +∞. Commenter le résultat obtenu. Ex 2.Caractérisation de certaines mesures par leurs moments (6 points). Soient-∞< a < b <+∞fixés etμ,νdeux mesuresfiniessur?[a,b],Bor([a,b])? telles que ?k?N,? [a,b]xkdμ(x) =? [a,b]xkdν(x).(4)

1) Expliquer pourquoi sigest une fonction polynôme,?

[a,b]gdμ=? [a,b]gdν.

2) Montrer que si(gn)n≥1est une suite de fonctionsμ-intégrables sur[a,b]qui

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