Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps PDF

12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.

L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Déterminer la tribu engendrée par C = {A}. Exercice 0.4 : Soient Ω et E deux ensembles et f : Ω −→ E une application et C une partie de. P(E)

Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

exercice e de montrer qu'il n'exie pas de tribu A infinie dénombrable. Soit (EA) un ... Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé :.

1 Tribus

Exercice 3. Entraînement QCM. Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

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Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X

Feuille dexercices III.

Il s'agit de la plus petite tribu contenant E c'est donc la tribu engendrée par E. (non corrigé

Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

corrigé d'exercice. Le barème n'est donné qu'à titre indicatif pour vous ... 23Attention ce n'est pas une sous-tribu de J car J n'est pas une tribu sur Ω.

TD4. Tribus. Échauffements Tribus engendrées Tribus et fonctions

c) Décrire et donner le cardinal de la tribu engendrée par une partition finie de E. d) Même question pour une partition infinie dénombrable. Exercice 4. Soit E

Corrigés dexercices

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E. ————————

[PDF] 122 Exercices du chapitre 2 - 1221 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée) Soit E un ensemble 1 Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E

[PDF] L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Exercice 0 2 [Application immédiate et résultat utile ] Soient ? et E deux ensembles et f : ? ?? E une application 1) si B est une tribu de E on note :

[PDF] 1 Tribus

tribu (A est constitué de toutes les réunions possibles d'ensembles Ai ) Correction de l'exercice 1 On rappelle qu'une tribu sur R est un ensemble de

[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice Corrigé : On remarque que x ? ?x pour tout x ? E donc ?

[PDF] Tribus et Mesures

Exercice 3 Entraînement QCM Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

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Exercice 8 Soit f : X ? Y une fonction entre deux ensembles (a) Soit B une tribu sur Y Monter que l'ensemble f?1[B] := {f?1(B)

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Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A?P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu

[PDF] Intégration Exercices et Corrigés - CEREMADE Dauphine

c La tribu et la topologie engendrées par une partition dénombrable A de E sont toutes deux l'ensemble des unions de parties A ? A (cf exercice 3)

[PDF] Feuille 2 - mathuniv-paris13fr

Tribus Exercice 2 Soit X un ensemble et Y un sous-ensemble de X Montrer que si A est une tribu sur X alors ˜A est une tribu sur Y Décrire

[PDF] Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

1) Soit S une tribu sur ? Montrer que ?n est S-T({01}) mesurable si et traits du cours à votre choix à l'exclusion de tout corrigé d'exercice

Théorie de la mesure et intégrationUniversité de Genève (1) Mon trerq uesi Aest une tribu, alorsAest une algèbre d"ensembles. Correction :On suppose queAest une tribu surX. On a doncX2Aet siA2 Aalors A c2 A. Il s"agit de montrer que siA;B2 A, alorsA[B2 A. On considèreC2 A!définie par C

0=A;C1=BetCn=;=Xcpour toutn2. On aS

n2!Cn=A[B. De plus commeA est une tribu,S n2!Cn2 A, doncA[B2 A. Ainsi,Aest une algèbre d"ensembles. (2) Mon trerque si Aest une algèbre d"ensembles, alorsAest un anneau d"ensembles. Correction :SoitAune algèbre d"ensemble. Il s"agit de montrer queAest non-vide - cela fait partie de la définition d"algèbre - et que pour toutA;B2 A,AnB2 A. On considère donc A;B2 A. On aAnB= (Ac[B)c. CommeAest une algèbre,Ac2 A, puisAc[B2 Aet enfin

AnB2 A.

(3) Donner un exemple d"anneau d"ensem blesqui n"est pas une algèbre d"ensem bles. Correction :On peut prendre,P(R+): c"est une algèbre d"ensembles surR+, mais pas surR, carR=2 P(R+). De manière générale, un anneau d"ensemblesAsurXest une algèbre d"ensemble si et seulement siX2 A. (4) Soit X=ZetA=fAXjAouXnAest finig. Montrer queAest une algèbre d"ensembles surXmais pas une tribu. Correction :L"ensemble vide est fini par définition, doncZ2 AcarZc=;. SoitA2 A, de deux choses l"une : soitAest fini soitAcest fini. SiAest fini alorsA= (Ac)c est fini et doncAc2 A. SiAcest fini alorsAc2 A. Soient maintenantA;B2 A, on considère deux cas :AetBfinis, etAcouBc(ou les deux) fini. SiAetBsont finis,A[Best fini et doncA[B2 A. On passe au deuxième cas. On a (A[B)c=Ac\Bcet cet ensemble est manifestement fini, doncA[B2 A.

Ainsi,Aest une algèbre.

Pour toutn2!, le singletonfngest fini doncfng 2 A. Mais!=S n2!fngn"est pas fini et son complémentaire dansZnon plus, donc! =2 Aet doncAn"est pas une tribu. Exercice 2.SoitAun anneau. Montrer l"implicationA;B2 A )A\B2 A. Correction :SoientA;B2 A. On a :A\B= (A[B)n((AnB)[(BnA). CommeAest un anneau, A[B,(AnB)et(BnA)sont dansA, on en déduit que(AnB)[(BnA)2 Aet finalement que

A\B2 A.

Exercice 3.Dans cet exercice, on souhaite montrer que la tribu borélienneBRdeRest engendrée par

la familleF=fR>aja2Qg, i.e. queBR=(F). (1) Mon trerque tout sous-ensem blede la forme R(b1n+1)est dansF. Comme(F)est stable par passage au complémentaire,R(b1n+1)est dans(F). Comme ceci est vrai pour toutn2!,

On en déduit que

R a, or on sait queRasont dans(F), donc]a;b[2 F. (3)

Soit Wun ouvert deR. Montrer que

W=[ ]a;b[W; a;b2Q]a;b[:

On pourra utiliser le fait queQest dense dansR.

Correction :NotonsV=S

]a;b[W; a;b2Q]a;b[. On a clairementVW. On veut montrer l"autre inclusion. Soitx2W, commeWest ouvert, il est voisinage de chacun de ses points, en particulier dex. Il existe donc >0tel que]x;x+[W. CommeQest dense dansR, on peut se donner a;b2Qtel que x < a < x < b < x+: On a doncx2]a;b[]x;x+[W. De plus, on a clairement]a;b[V, doncx2V. Ceci montre queWVet finalement queW=V. (4) En déduire que tout ouv ertWdeRappartient à(F). Correction :D"après la question précédente, tout ouvert deRs"écrit comme une union d"in-

tervalles ouvert à bornes rationnelles. Il n"y a qu"un nombre dénombrable de tels intervalles. De

plus on sait que chacun de ses intervalles est dans(F), comme(F)est une tribu, elle est stable par union dénombrable et donc tout ouvert deRest dans(F). (5)

Conclure.

Correction :On vient de montrer que la tribu(F)contient tous les ouverts deRdonc on a B R(F). Inversement, tous les ensembles dansFsont des ouverts deR, donc(F) BR, et finalement(F) =BR. Exercice 4.SoientXun ensemble eth:X!R0une application. Montrer que l"application :P(X)!R0définie par(A) =P x2Ah(x)est une mesure.

Correction :On rappelle que la notion de somme positive utilisée ici est donnée par la première

définition du cours. Avec cette définition, on a bien(;) = 0. Il s"agit maintenant de vérifier que si

A2 P(X)!est disjoint, alors

n2!A n! =X n2!(An):

Par définition, on a :

n2!A n! = sup FS n2!An F???( X x2Ff(x)) et X n2!(An) = sup E! E???( X n2E(An)) = sup E! E???8 :X n2Esup F nAnF n???( X x2Fnf(x)) 9>= = sup E! E???8 >>:sup (Fn)n2EF nAn8n2E F n???8n2E( X n2EX x2Fnf(x))9>>>= = sup E! E???8 >>:sup (Fn)n2EF nAn8n2E F n???8n2E8 :X x2S n2EFnf(x)9 ;9

La troisième égalité est vraie car on fait commuter un sommefinieet unsup. SiEest un sous-ensemble

fini de!et si pour tout élément deE,Fnest un sous-ensemble fini deAn,S n2EFnest un sous-ensemble fini deS n2!An. Ceci implique que X n2!(An) [ n2!A n!

Réciproquement,

SiFest un sous-ensemble fini deS

n2!An, en posantFn=An\FetE=fn2!:Fn6=;g, on a F=S n2EFnet les ensemblesEetFnsont finis. Ceci montre que n2!A n! X n2!(An):

Finalement,

n2!A n! =X n2!(An): W=[ n2!i '(n)4 n+1;'(n) +4 n+1h 2X n2!14 n+1=24 114
=23 ?????? ??X? ???An???? ????? ?????? ????S n2!An=;? ?? ? ?????

0 =' [

n2!A n! =X n2!'(An) =X n2!0 = 0 ?? ????'S n2!AnP

1 =' [

n2!A n! ='(An0)X n2!'(An) ?? ????'S n2!AnP n2!? x??y? ?? ? ?fx;yg=fxg t fyg? ????

1 ='(fx;yg)6='(fxg) +'(fyg) = 1 + 1 = 2:

????? ??????B??X? ?? ? '(Bn ;) +'(B\ ;) ='(B) +'(;) ='(B)?? '(BnX) +'(B\X) ='(;) +'(B) ='(B): '(BnA) +'(B\A) ='(fyg) +'(fxg) = 26='(B): R 1=' [ k2!B k! 6X k2!'(Bk) = 0: X? (An)n2!2 P(X)!? ???? ????i? ?? ? ? i n2!A n! X n2! i(An)X n2!'(An); ????'S n2!AnP ?????(A)(B)? i(A) :=8 >:0??A=;;

1i+ 1??A??? ??? ??? ????;

+1??A??? ?????; A:=S n2!An??? ???? ????? ???? ??? ??? ???? ???? ?????? ?? A??? ???? ?? ???? ???An???? ???? ?? ????? ? i(A) = 0 =X n2!' i(An): i(A) =1i+ 1='i(An0)X n2!' i(An): ????? ?? A??? ?????? ???? ?? ??????n0??? ???An0??? ????? ?? ????? ? i(A) = +1='i(An0)X n2!' i(An); (nk)k2!? ?? ? ????? ? X n2!' i(An)X k2!' i(Ank) =X k2!1i+ 1= +1='i(A): ????? ???? ???? ??? ???? ?? ? ????'i(A)P ???? ????n2!? ?? ?(An) = infi2I'i(An) = infi2I1i+1= 0??(!) = infi2I'i(!) =quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1