2 Marche aléatoire entre deux états
Étude de marches aléatoires. Terminale S Spécialité maths. 2 Marche aléatoire entre deux états. Définition : On considère un système qui peut se trouver
Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov
aléatoire introduite dans le nouveau programme de spécialité de Terminale S. L'étude de marches aléatoires simples à nombre d'états(1) fini constitue dans
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
à. 2. 3 . Page 5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 5. Un tel schéma est appelé un graphe. A B et C sont appelés les sommets du.
Marches aléatoires
Marches aléatoires. Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles. Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2015-2016. 1 Présentation.
Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices
Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices suite. Page 1. Une marche aléatoire. Monsieur l'indécis a trois amis A B et C. A chaque étape
Chapitre 2 - Marches aléatoires
financiers une marche aléatoire est décrite par un processus stochastique en indiquent que le mouvement brownien ne s'arrête jamais et qu'il augmente ...
Marches aléatoires
Niveau : spécialité maths Première + Terminale. Marches aléatoires La marche aléatoire unidimensionnelle peut s'expliquer comme un.
Marches aléatoires
Niveau : spécialité maths Première + Terminale. Marches aléatoires La marche aléatoire unidimensionnelle peut s'expliquer comme un.
Contrôle de mathématiques
25 thg 5 2016 Marche aléatoire. (11 points) ... 1) Faire un graphe probabiliste illustrant cette marche aléatoire. ... terminale s spé ...
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Terminale S(1) sous le titre « Matrices et suites » : Mais pour des élèves de terminale
Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices
Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices suite Page 1 Une marche aléatoire Monsieur l’indécis a trois amis A B et C A chaque étape de sa marche aléatoire : S’il est chez A il va chez B ou C avec une probabilité de 1/3 pour B S’il est chez B il va chez A ou C avec une probabilité de 3/4 pour A
Marches aléatoires Présentation et objectifs
La marche aléatoire unidimensionnelle peut s’expliquer comme un jeu On place un pion à l’origine d’un axe gradué et on le déplace avec cette règle : à chaque unité de temps le pion avance d’un pas (1 unité de longueur) soit à gauche soit à droite et de manière équi-probable
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Repr´esenter les r´esultats avec en abcisse n et en ordonn´ee la valeur de S n avec S 0 = 0 Joindre les points par des segments de droite 2) Homog´en´eit´e spatiale Montrer que P(S n = jS 0 = a) = P(S n = j +bS 0 = a+b) (1 1) Indication : Montrer que les deux cot´es sont ´egaux a P(P n 1 X i = j ?a) 3) Homog´en´eit´e
A) Graphe et Matrice de Transition
On se déplace toujours d'un sommet à l'autre en suivant le sens des flèches la probabilitéchaque déplacement (ou non déplacement) sur une arrête se situe sur le sommet (cercle) sur lequel on arrive ? Il faut prendre en compte du sommet de départ Exemple d'un graphe de marche aléatoire avec 4 sommets:
B) Matrice de Transition
Les probabilités de transition du premier sommet vers les autre sommet se retrouvent sur la première lignede la matrice ? Celle du deuxièmes sommet vers les autres sommet se situe sur la 2ème ligne ? Il en va ainsi de suite pour chaque sommet ?Chaque ligne correspond au probabilités d'un sommet vers les autres La somme des coefficients d'une même l...
C) Marche Aléatoire à Deux États
Propriété: Toute matrice de transition d'une marche aléatoire à deux états est de la forme: () où a = p1,2 et b = p2,1
Qu'est-ce que la marche aléatoire?
La notion de « marche aléatoire » signifie, dans le cadre des marchés efficients, que la variation de prix d’un titre est décorrélée de son prix passé. Ce caractère aléatoire rend impossible de prévoir ces futures évolutions de prix.
Quels sont les États d'une marche aléatoire?
Dans une marche aléatoire, l'état du processus à l'étape n+ 1 ne dépend que de celui à l'état n, mais non de ses états antérieurs. Ainsi, la probabilité que l'attaquant C possède le ballon ne dépend que de la position précédente du ballon (en Aou en B) mais non de ses positions antérieures. 3) Probabilité de transition
Quelle est la matrice de transition d'une marche aléatoire?
Marches aléatoires Définition : La matrice de transitiond'une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé sur la ligne iet la colonne jest la probabilité de transition du sommet jvers le sommet i. Définition : La matrice colonne des états de la marche aléatoire après nétapes
Comment définir une marche aléatoire convergente?
Etude asymptotique d'une marche aléatoire Définition :Si la suite P n)des états d'une marche aléatoire convergente vérifient P n+1 =MP n alors la limite Pde cette suite définit un état stablesolution de l'équation P=MP. Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition Msur un graphe à deux sommets où 0
2 Marche aléatoire entre deux états
Définition :On considère un système qui peut se trouver dans deux états incompatibles. Il évolue par
étapes successives, en changeant d"état de manière aléatoire, les probabilités de transition étant suppo-
sées constantes.Une telle évolution est appelée
marc healéatoire e ntreles deux états.Exemple :Chaque matin, l"allumeur de lampadaire change l"état d"un lampadaire avec une probabilité de
0,8. Le lampadaire a deux états possibles : allumé (noté A) ou éteint (noté E). La probabilité de transition de A à E est 0,8, tout comme celle de E à A. La probabilité de transition de A à A, tout comme celle de E à E, est de 0,2. On a une marche aléatoire entre les états A et E. On peut modéliser cette situation par un schéma appelé graphe probabiliste (voir figure 1). .Figure1 - Un exemple de graphe probabilisteDéfinition :Soit une marche aléatoire entre deux états notés 1 et 2 avecpla probabilité de passer de
l"état 1 à l"état 2 etqla probabilité de passer de l"état 2 à l"état 1.On associe à cette marche aléatoire :
le graphe probabiliste qui sc hématiseles éc hangesen tre1 et 2 : Lamatrice de transition T: c"est la matrice dont les coefficientstijsont égaux aux probabilités de
transition d"un étatià un étatj. On a donc :T=::::::: p
q :::::::::Remarque :Chaque coefficient deTest dans l"intervalle[0; 1]et la somme des coefficients sur chacune
des lignes est égal à 1. On dit que cette matrice est sto chastique 1. Exemple : On reprend l"exemple précéden t.La matr icede transition es t:T=::::: :::::
:::: :::::Définition :Pour toutn2N, on note :l"év énementAn: " Le système est dans l"état 1 à l"étapen» etan=P(An)sa probabilité;
l"év énementBn: " Le système est dans l"état 2 à l"étapen» etbn=P(Bn)sa probabilité.
La matrice ligneMn=anbnest appeléerépartition de probabilités à l"étap en.Remarques : 1.On a an+bn=:::
2.On p eutremarquer que :
P An(An+1) =::: PAn(Bn+1) =::: PBn(An+1) =::: PBn(Bn+1) =:::Exemple :On reprend l"exemple précédent en supposant que le lampadaire est allumé au départ.
La répartition initiale des probabilités estM0=::: :::.On peut aussi remarquer que :
P An(An+1) =::: PAn(En+1) =::: PEn(An+1) =::: PEn(En+1) =:::Propriété :
Pour toutn2N, on aMn+1=MnTetMn=M0Tn.Démonstration (partielle) :Exemple :On reprend l"exemple précédent.
Au bout d"une semaine, la répartition de probabilités est : M :::=M0T:::=::: :::::: :::=:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Définition :On appellerépartition stable de probabilité toute répartition de probabilité Mtelle que
MT=M.Exercice :Avec les notations de l"exemple précédent, trouver la répartition stable de probabilités de deux
façons différentes.Propriété :(admise)Si(p;q)6= (0; 0)et si(p;q)6= (1; 1)alors :
Il existe
une unique répartition s tablede probabilité donné epar M=pp+qqp+qLa suite (Mn)converge versM, indépendamment de la répartition initialeM0.Remarque :Cette dernière propriété est hors-programme. Dans un exercice de BAC, tout ce qui concerne
l"étude de limite sera guidé.3 Marche aléatoire entre trois états
Le vocabulaire est exactement le même. On manipulera juste des matrices carrées d"ordre 3 et des matrices
lignes à 3 colonnes.On retrouve les mêmes résultats, y compris celle de la convergence vers la répartition stable.
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