[PDF] SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES





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2 Marche aléatoire entre deux états

Étude de marches aléatoires. Terminale S Spécialité maths. 2 Marche aléatoire entre deux états. Définition : On considère un système qui peut se trouver 



Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

aléatoire introduite dans le nouveau programme de spécialité de Terminale S. L'étude de marches aléatoires simples à nombre d'états(1) fini constitue dans 



SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES

à. 2. 3 . Page 5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 5. Un tel schéma est appelé un graphe. A B et C sont appelés les sommets du.



Marches aléatoires

Marches aléatoires. Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles. Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2015-2016. 1 Présentation.



Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices

Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices suite. Page 1. Une marche aléatoire. Monsieur l'indécis a trois amis A B et C. A chaque étape 



Chapitre 2 - Marches aléatoires

financiers une marche aléatoire est décrite par un processus stochastique en indiquent que le mouvement brownien ne s'arrête jamais et qu'il augmente ...



Marches aléatoires

Niveau : spécialité maths Première + Terminale. Marches aléatoires La marche aléatoire unidimensionnelle peut s'expliquer comme un.



Marches aléatoires

Niveau : spécialité maths Première + Terminale. Marches aléatoires La marche aléatoire unidimensionnelle peut s'expliquer comme un.



Contrôle de mathématiques

25 thg 5 2016 Marche aléatoire. (11 points) ... 1) Faire un graphe probabiliste illustrant cette marche aléatoire. ... terminale s spé ...



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Terminale S(1) sous le titre « Matrices et suites » : Mais pour des élèves de terminale



Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices

Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices suite Page 1 Une marche aléatoire Monsieur l’indécis a trois amis A B et C A chaque étape de sa marche aléatoire : S’il est chez A il va chez B ou C avec une probabilité de 1/3 pour B S’il est chez B il va chez A ou C avec une probabilité de 3/4 pour A



Marches aléatoires Présentation et objectifs

La marche aléatoire unidimensionnelle peut s’expliquer comme un jeu On place un pion à l’origine d’un axe gradué et on le déplace avec cette règle : à chaque unité de temps le pion avance d’un pas (1 unité de longueur) soit à gauche soit à droite et de manière équi-probable



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Repr´esenter les r´esultats avec en abcisse n et en ordonn´ee la valeur de S n avec S 0 = 0 Joindre les points par des segments de droite 2) Homog´en´eit´e spatiale Montrer que P(S n = jS 0 = a) = P(S n = j +bS 0 = a+b) (1 1) Indication : Montrer que les deux cot´es sont ´egaux a P(P n 1 X i = j ?a) 3) Homog´en´eit´e

  • A) Graphe et Matrice de Transition

    On se déplace toujours d'un sommet à l'autre en suivant le sens des flèches la probabilitéchaque déplacement (ou non déplacement) sur une arrête se situe sur le sommet (cercle) sur lequel on arrive ? Il faut prendre en compte du sommet de départ Exemple d'un graphe de marche aléatoire avec 4 sommets:

  • B) Matrice de Transition

    Les probabilités de transition du premier sommet vers les autre sommet se retrouvent sur la première lignede la matrice ? Celle du deuxièmes sommet vers les autres sommet se situe sur la 2ème ligne ? Il en va ainsi de suite pour chaque sommet ?Chaque ligne correspond au probabilités d'un sommet vers les autres La somme des coefficients d'une même l...

  • C) Marche Aléatoire à Deux États

    Propriété: Toute matrice de transition d'une marche aléatoire à deux états est de la forme: () où a = p1,2 et b = p2,1

Qu'est-ce que la marche aléatoire?

La notion de « marche aléatoire » signifie, dans le cadre des marchés efficients, que la variation de prix d’un titre est décorrélée de son prix passé. Ce caractère aléatoire rend impossible de prévoir ces futures évolutions de prix.

Quels sont les États d'une marche aléatoire?

Dans une marche aléatoire, l'état du processus à l'étape n+ 1 ne dépend que de celui à l'état n, mais non de ses états antérieurs. Ainsi, la probabilité que l'attaquant C possède le ballon ne dépend que de la position précédente du ballon (en Aou en B) mais non de ses positions antérieures. 3) Probabilité de transition

Quelle est la matrice de transition d'une marche aléatoire?

Marches aléatoires Définition : La matrice de transitiond'une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé sur la ligne iet la colonne jest la probabilité de transition du sommet jvers le sommet i. Définition : La matrice colonne des états de la marche aléatoire après nétapes

Comment définir une marche aléatoire convergente?

Etude asymptotique d'une marche aléatoire Définition :Si la suite P n)des états d'une marche aléatoire convergente vérifient P n+1 =MP n alors la limite Pde cette suite définit un état stablesolution de l'équation P=MP. Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition Msur un graphe à deux sommets où 0

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite

U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques u n et v n définies pour tout entier naturel n par u n =n 2 et v n =3n+1 . b) Soit deux suites numériques couplées u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =2 v 0 =4 et u n+1 =2u n -3v n +1 v n+1 =-u n +5v n -4

On pose pour tout entier naturel n :

U n u n v n

On pose encore :

A= 2-3 -15 et B= 1 -4 . On a alors U 0 2 4 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n +B . En effet : AU n +B= 2-3 -15 u n v n 1 -4 2u n -3v n +1 -u n +5v n -4 u n+1 v n+1 =U n+1 c) Soit une suite numérique u n définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : u 0 =2 u 1 =-1 et u n+2 =2u n+1 +3u n . On pose pour tout entier naturel n : U n u n u n+1

On pose encore :

A= 01 32
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On a alors U 0 2 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . En effet, AU n 01 32
u n u n+1 u n+1 3u n +2u n+1 u n+1 u n+2 =U n+1

2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes

U n de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a U n+1 =AU n où A est une matrice carrée de taille p. Alors, pour tout entier naturel n, on a : U n =A n U 0

. Démonstration : On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation :

U 0 =A 0 U 0 car A 0 =I p

• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie :

U k =A k U 0 - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 : U k+1 =A k+1 U 0 U k+1 =AU k =AA k U 0 =AA k U 0 =A k+1 U 0

• Conclusion : La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit :

U n =A n U 0

. Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices Vidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I Soit deux suites numériques couplées

u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u 0 =1 v 0 =-1 et u n+1 =3u n -v n v n+1 =-2u n +2v n

Calculer

u 6 et v 6 . On pose pour tout entier naturel n : U n u n v n

On pose encore :

A= 3-1 -22 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3On a alors U 0 1 -1 et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : U n+1 =AU n . On alors U n =A n U 0 et donc en particulier U 6 =A 6 U 0 . Soit en s'aidant de la calculatrice : U 6 3-1 -22 6 1 -1

2731-1365

-27301366 1 -1 4096
-4096

On en déduit que

u 6 =4096 et v 6 =-4096

. II. Convergence de suites de matrices colonnes Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes

U n de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U n

sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues. Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente. Exemples : Vidéo https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s a) La suite

U n définie pour tout entier naturel n par U n n 2 3n+1 est divergente car lim n→+∞ n 2 et lim n→+∞

3n+1=+∞

. b) La suite U n définie pour tout entier naturel n non nul parquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32