[PDF] Contrôle de mathématiques 25 thg 5 2016 Marche





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2 Marche aléatoire entre deux états

Étude de marches aléatoires. Terminale S Spécialité maths. 2 Marche aléatoire entre deux états. Définition : On considère un système qui peut se trouver 



Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

aléatoire introduite dans le nouveau programme de spécialité de Terminale S. L'étude de marches aléatoires simples à nombre d'états(1) fini constitue dans 



SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES

à. 2. 3 . Page 5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 5. Un tel schéma est appelé un graphe. A B et C sont appelés les sommets du.



Marches aléatoires

Marches aléatoires. Terminale S spécialité - Lycée Saint-Charles. Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2015-2016. 1 Présentation.



Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices

Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices suite. Page 1. Une marche aléatoire. Monsieur l'indécis a trois amis A B et C. A chaque étape 



Chapitre 2 - Marches aléatoires

financiers une marche aléatoire est décrite par un processus stochastique en indiquent que le mouvement brownien ne s'arrête jamais et qu'il augmente ...



Marches aléatoires

Niveau : spécialité maths Première + Terminale. Marches aléatoires La marche aléatoire unidimensionnelle peut s'expliquer comme un.



Marches aléatoires

Niveau : spécialité maths Première + Terminale. Marches aléatoires La marche aléatoire unidimensionnelle peut s'expliquer comme un.



Contrôle de mathématiques

25 thg 5 2016 Marche aléatoire. (11 points) ... 1) Faire un graphe probabiliste illustrant cette marche aléatoire. ... terminale s spé ...



Mise en page 1

Terminale S(1) sous le titre « Matrices et suites » : Mais pour des élèves de terminale



Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices

Douine – Terminale S – Activités – Chapitre 5 spé – Matrices suite Page 1 Une marche aléatoire Monsieur l’indécis a trois amis A B et C A chaque étape de sa marche aléatoire : S’il est chez A il va chez B ou C avec une probabilité de 1/3 pour B S’il est chez B il va chez A ou C avec une probabilité de 3/4 pour A



Marches aléatoires Présentation et objectifs

La marche aléatoire unidimensionnelle peut s’expliquer comme un jeu On place un pion à l’origine d’un axe gradué et on le déplace avec cette règle : à chaque unité de temps le pion avance d’un pas (1 unité de longueur) soit à gauche soit à droite et de manière équi-probable



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Repr´esenter les r´esultats avec en abcisse n et en ordonn´ee la valeur de S n avec S 0 = 0 Joindre les points par des segments de droite 2) Homog´en´eit´e spatiale Montrer que P(S n = jS 0 = a) = P(S n = j +bS 0 = a+b) (1 1) Indication : Montrer que les deux cot´es sont ´egaux a P(P n 1 X i = j ?a) 3) Homog´en´eit´e

  • A) Graphe et Matrice de Transition

    On se déplace toujours d'un sommet à l'autre en suivant le sens des flèches la probabilitéchaque déplacement (ou non déplacement) sur une arrête se situe sur le sommet (cercle) sur lequel on arrive ? Il faut prendre en compte du sommet de départ Exemple d'un graphe de marche aléatoire avec 4 sommets:

  • B) Matrice de Transition

    Les probabilités de transition du premier sommet vers les autre sommet se retrouvent sur la première lignede la matrice ? Celle du deuxièmes sommet vers les autres sommet se situe sur la 2ème ligne ? Il en va ainsi de suite pour chaque sommet ?Chaque ligne correspond au probabilités d'un sommet vers les autres La somme des coefficients d'une même l...

  • C) Marche Aléatoire à Deux États

    Propriété: Toute matrice de transition d'une marche aléatoire à deux états est de la forme: () où a = p1,2 et b = p2,1

Qu'est-ce que la marche aléatoire?

La notion de « marche aléatoire » signifie, dans le cadre des marchés efficients, que la variation de prix d’un titre est décorrélée de son prix passé. Ce caractère aléatoire rend impossible de prévoir ces futures évolutions de prix.

Quels sont les États d'une marche aléatoire?

Dans une marche aléatoire, l'état du processus à l'étape n+ 1 ne dépend que de celui à l'état n, mais non de ses états antérieurs. Ainsi, la probabilité que l'attaquant C possède le ballon ne dépend que de la position précédente du ballon (en Aou en B) mais non de ses positions antérieures. 3) Probabilité de transition

Quelle est la matrice de transition d'une marche aléatoire?

Marches aléatoires Définition : La matrice de transitiond'une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé sur la ligne iet la colonne jest la probabilité de transition du sommet jvers le sommet i. Définition : La matrice colonne des états de la marche aléatoire après nétapes

Comment définir une marche aléatoire convergente?

Etude asymptotique d'une marche aléatoire Définition :Si la suite P n)des états d'une marche aléatoire convergente vérifient P n+1 =MP n alors la limite Pde cette suite définit un état stablesolution de l'équation P=MP. Propriété : On considère une marche aléatoire de matrice de transition Msur un graphe à deux sommets où 0

Contrôle de mathématiques chapitre4 :les matrices25mai2016

Contrôle de mathématiques

Jeudi 19 mai 2016

Exercice1

Produit de matrices(2 points)

On donne les matrices suivantes :A=?20 3015 25?

etB=?45 5060 50? Calculer, en détaillant les calculs, le produitAB.

Exercice2

Système(3 points)

On donne le système suivant : (S) :???????6x+3y=1

4x-2y=3

1) Quelle est la matriceMassociée à ce système.

2) Pourquoi cette matriceMest-elle inversible?

3) Déterminer l'inverse de la matriceMpuis résoudre le système (S).

Exercice3

Matrice idempotente(4 points)

Une matrice carréeAest dite idempotente siA2=A.

1) Soit une matriceA=?a b

c d? . Traduire par un système queAest idempotente.

2) Résoudre le système dans les cas suivants :

a)b=0 (4 matrices possibles) b)b=1 (On exprimeraAen fonction dea)

Exercice4

Marche aléatoire(11 points)

Sur les sommet d'un triangle ABC, un pion initialement en A suit une marche aléatoire. À chaque

étape, on tire au hasard un jeton dans une boîte de 25 jetons (3 rouges, 4 verts et 18 blancs) puis

on le remet.

•Lorsqu'on est en A :Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré

est blanc, le pion reste en A.

•Lorsqu'on est en B :Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré

est blanc, le pion reste en B.

•Lorsqu'on est en C :Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré

est blanc, le pion reste en C.

1) Faire un graphe probabiliste illustrant cette marche aléatoire.

2) Pour tout entier natureln, on notean,bnetcnles probabilités que le pion soit respectivement

sur les sommets A, B et C à l'étapen.

Exprimeran+1,bn+1etcn+1en fonction dean,bnetcn.

paul milan1terminale s sp´e contrˆole de math´ematiques

3) On considère les matrices :

X n=?a nbncn?etT=((((((((((0,72 0,12 0,16

0,12 0,72 0,16

0,12 0,16 0,72))))))))))

a) Donner la matriceX0et montrer queXn+1=XnT. b) En déduire queXn=X0Tn.

4) On admet queT=PDP-1avec :

P -1=(((((((((((((((((((((3

10371104111

10-1100

0 1

11-111)))))))))))))))))))))

etD=((((((((((1 0 00 0,6 0

0 0 0,56))))))))))

a) À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matriceP. On pourra remarquer que l'on peut écrireP=(P-1)-1et que ces coefficients sont entiers. b) Montrer queTn=PDnP-1pour toutnnon nul. c) Donner sans justification les coefficients de la matriceDn.

5) Onnoteαn,βn,γnlescoefficientsdelapremièrelignedelamatriceTnainsi:Tn=((((((((((α

nβnγn n=3

10+710×0,6n

n=37-77×0,6n+40×0,56n 110

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième

ligne. a) Exprimeranetbn, puiscnen fonction deαnetβn. b) Déterminer les limites des suites (an), (bn) et (cn). c) Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'étapes de cette marche aléatoire? paul milan2terminale s sp´equotesdbs_dbs30.pdfusesText_36