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1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D"UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES

1.4 Normes et conditionnement d"une matrice

Dans ce paragraphe, nous allons définir la notion de conditionnement d"une matrice, qui peut servir à établir une

majoration des erreurs d"arrondi dues aux erreurs sur les données. Malheureusement, nous verrons également que

cette majoration n"est pas forcément très utile dans des cas pratiques, et nous nous efforcerons d"y remédier. La

notion de conditionnement est également utilisée dans l"étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.

Pour l"étude du conditionnement comme pour l"étude des erreurs, nous avons tout d"abord besoin de la notion de

norme et de rayon spectral, que nous rappelons maintenant.

1.4.1 Normes, rayon spectralDéfinition 1.27(Norme matricielle, norme induite).On noteMn(IR)l"espace vectoriel (surIR) des matrices

carrées d"ordren. 1. On appelle norme matricielle sur Mn(IR)une norme? · ?surMn(IR)t.q. ?AB? ≤ ?A??B?,?A,B?Mn(IR)(1.56) 2.

On considèr eIRnmuni d"une norme? · ?. On appelle norme matricielle induite (ou norme induite) sur

M n(IR)par la norme? · ?, encore notée? · ?, la norme surMn(IR)définie par : ?A?= sup{?Ax?;x?IRn,?x?= 1},?A?Mn(IR)(1.57)

Proposition 1.28(Propriétés des normes induites).SoitMn(IR)muni d"une norme induite? · ?. Alors pour toute

matriceA?Mn(IR), on a :

1.?Ax? ≤ ?A? ?x?,?x?IRn,

2.?A?= max{?Ax?;?x?= 1,x?IRn},

3.?A?= max??Ax??x?;x?IRn\ {0}?

4.? · ?est une norme matricielle.

DÉMONSTRATION-1.Soit x?IRn\ {0}, posonsy=x?x?, alors?y?= 1donc?Ay? ≤ ?A?. On en déduit que?Ax??x?≤ ?A?et

donc que?Ax? ≤ ?A? ?x?. Si maintenantx= 0, alorsAx= 0, et donc?x?= 0et?Ax?= 0; l"inégalité

?Ax? ≤ ?A? ?x?est encore vérifiée. 2.

L "application?définie deIRndansIRpar :?(x) =?Ax?est continue sur la sphère unitéS1={x?IRn| ?x?=

1}qui est un compact deIRn. Donc?est bornée et atteint ses bornes : il existex0?IRntel que?A?=?Ax0?.

3.

Cette é galitérésulte du f aitque

?Ax??x?=?Ax?x??etx?x??S1etx?= 0. 4. Soient AetB?Mn(IR), on a?AB?= max{?ABx?;?x?= 1,x?IRn}.Or ?ABx? ≤ ?A??Bx? ≤ ?A??B??x? ≤ ?A??B?.

On en déduit que? · ?est une norme matricielle.Analyse numérique I, télé-enseignement, L361Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D"UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES

Définition 1.29(Rayon spectral).SoitA?Mn(IR)une matrice inversible. On appelle rayon spectral deAla

quantitéρ(A) = max{|λ|;λ?Cl, λvaleur propre deA}. La proposition suivante caractérise les principales normes matricielles induites. Proposition 1.30(Caractérisation de normes induites).SoitA= (ai,j)i,j?{1,...,n}?Mn(IR). 1.

On munit IRnde la norme? · ?∞etMn(IR)de la norme induite correspondante, notée aussi? · ?∞. Alors

?A?∞= maxi?{1,...,n}n j=1|ai,j|.(1.58) 2.

On munit IRnde la norme? · ?1etMn(IR)de la norme induite correspondante, notée aussi? · ?1. Alors

?A?1= maxj?{1,...,n}n i=1|ai,j|(1.59) 3. On munit IRnde la norme? · ?2etMn(IR)de la norme induite correspondante, notée aussi? · ?2. ?A?2= (ρ(AtA))12 .(1.60) En particulier, siAest symétrique,?A?2=ρ(A).

DÉMONSTRATION-La démonstration des points 1 et 2 f aitl"objet de l"e xercice29 page 71. On démontre ici uniquement

le point 3.

Par définition de la norme 2, on a :

?A?22= sup x?IRn ?x?2=1Ax·Ax= sup x?IRn ?x?2=1A tAx·x.

CommeAtAest une matrice symétrique positive (carAtAx·x=Ax·Ax≥0), il existe une base orthonormée

(fi)i=1,...,net des valeurs propres(μi)i=1,...,n, avec0≤μ1≤μ2≤...≤μntels queAfi=μifipour tout

i? {1,...,n}. Soitx=? i=1,...,nαifi?IRn. On a donc : A tAx·x=?? i=1,...,nμ iαifi?·?? i=1,...,nα ifi?=? i=1,...,nα

2iμi≤μn?x?22.

On en déduit que?A?22≤ρ(AtA).

Pour montrer qu"on a égalité, il suffit de considérer le vecteurx=fn; on a en effet?fn?2= 1, et?Afn?22=

A

tAfn·fn=μn=ρ(AtA).Nous allons maintenant comparer le rayon spectral d"une matrice avec des normes. Rappelons d"abord le théorème

de triangularisation (ou trigonalisation) des matrices complexes. On rappelle d"abord qu"une matrice unitaireQ?

M

n(Cl )est une matrice inversible telle queQ?=Q-1; ceci est équivalent à dire que les colonnes deQforment

une base orthonormale deCln. Une matrice carrée orthogonale est une matrice unitaire à coefficients réels; on a

dans ce casQ?=Qt, et les colonnes deQforment une base orthonormale deIRn.Théorème 1.31(Décomposition de Schur, triangularisation d"une matrice).SoitA?Mn(IR)ouMn(Cl )une

matrice carrée quelconque, réelle ou complexe; alors il existe une matrice complexeQunitaire (c.à.d. une matrice

telle queQt=Q-1et une matrice complexe triangulaire supérieureTtelles queA=QTQ-1.

Analyse numérique I, télé-enseignement, L362Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D"UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES

Ce résultat s"énonce de manière équivalente de la manière suivante : Soitψune application linéaire deEdansE,

oùEest un espace vectoriel normé de dimension finiensurCl. Alors il existe une base(f1,...,fn)deClet une

famille de complexes(ti,j)i=1,...,n,j=1,...,n,j≥itelles queψ(fi) =ti,ifi+? kLes deux énoncés sont équivalents au sens où la matriceAde l"application linéaireψs"écritA=QTQ-1, oùT

est la matrice triangulaire supérieure de coefficients(ti,j)i,j=1,...,n,j≥ietQla matrice inversible dont la colonne

jest le vecteurfj).

DÉMONSTRATION-On démontre cette propriété par récurrence sur n. Elle est évidemment vraie pourn= 1. Soit

n≥1, on suppose la propriété vraie pournet on la démontre pourn+ 1. Soint doncEun espace vectoriel surCl

de dimensionn+ 1etψune application linéaire deEdansCl. On sait qu"il existeλ?Cl(qui résulte du caractère

algébriquement clos deCl) etf1?Etels queψ(f1) =λf1et?f1?= 1; on poset1,1=λet on noteFle sous

espace vectoriel deEsupplémentaire orthogonal deClf1. Soitu?F, il existe un unique couple(μ,v)?Cl×Ftel que

ψ(u) =μf1+v. On note˜ψl"application qui àuassociev. On peut appliquer l"hypothèse de récurrence à˜ψ(car˜ψest

une application linéaire deFdansF, etFest de dimensionn). Il existe donc une base orthonorméef2,...,fn+1deF

et(ti,j)j≥i≥2tels que

˜ψ(fi) =?

2≤j≤it

j,ifj, i= 2,...,n+ 1.

On en déduit que

ψ(fi) =?

1≤j≤i≤nt

j,ifj, i= 1,...,n+ 1.Dans la proposition suivante, nous montrons qu"on peut toujours trouver une norme (qui dépend de la matrice)

pour approcher son rayon spectral d"aussi près que l"on veut par valeurs supérieures.Théorème 1.32(Approximation du rayon spectral par une norme induite).

1. Soit? · ?une norme induite. Alors

ρ(A)≤ ?A?,pour toutA?Mn(IR).

2. Soient maintenantA?Mn(IR)etε >0, alors il existe une norme surIRn(qui dépend deAetε) telle que la

norme induite surMn(IR), notée? · ?A,ε, vérifie?A?A,ε≤ρ(A) +ε.

DÉMONSTRATION-1. Soit λ?Clvaleur propre deAetxun vecteur propre associé, alorsAx=λx, et comme? · ?

est une norme induite, on a : ?λx?=|λ|?x?=?Ax? ≤ ?A??x?. On en déduit que toute valeur propreλvérifieλ≤ ?A?et doncρ(A)≤ ?A?.

2. SoitA?Mn(IR), alors par le théorème de triangularisation de Schur (théorème 1.31 ppécédent), il existe une base

(f1,...,fn)deClnet une famille de complexes(ti,j)i,j=1,...,n,j≥itelles queAfi=? j≤itj,ifj. Soitη?]0,1[, qu"on

choisira plus précisément plus tard. Pouri= 1,...,n, on définitei=ηi-1fi. La famille(ei)i=1,...,nforme une base

deCln. On définit alors une norme surIRnpar?x?= (?n i=1αiα i)1/2, où lesαisont les composantes dexdans la

base(ei)i=1,...,n.Notons que cette norme dépend deAet deη. Soitε >0; montrons que pourηbien choisi, on a

?A? ≤ρ(A) +ε. Remarquons d"abord que

Aei=A(ηi-1fi) =ηi-1Afiηi-1?

j≤it k,ifj=ηi-1? j≤it j,iη1-jej=?

1≤j≤iη

i-jtj,iej,

Analyse numérique I, télé-enseignement, L363Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015

1.4. NORMES ET CONDITIONNEMENT D"UNE MATRICE CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES

Soit maintenantx=?

i=1,...,nαiei.On a Ax=n? i=1α iAei=n? i=1?

1≤j≤iη

i-jtj,iαiej=n? j=1? n? i=jη i-jλi,jαi?e j.

On en déduit que

?Ax?2=n? j=1? n? i=jη i-jtj,iαi??n? i=jη i-jt j,iα i?, n? j=1t j,jt j,jαjα j+n? j=1? k,?≥j (k,?)?=(j,j)η k+?-2jtj,kt j,?αkα ≤ρ(A)2?x?2+ maxk=1,...,n|αk|2n? j=1? k,?≥j (k,?)?=(j,j)η k+?-2jtj,kt j,?. Commeη?[0,1]etk+?-2j≥1dans la dernière sommation, on a n? j=1? k,?≥j (k,?)?=(j,j)η k+?-2jtj,kt j,?≤ηCTn3,

oùCT= maxj,k,?=1,...,n|tj,k||tj,k|ne dépend que de la matriceT, qui elle même ne dépend que deA. Comme

max k=1,...,n|αk|2≤?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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