Calculs sur les matrices PDF On fait ceci pour toutes

Puis calculer A-1. Exercice 8 – Appliquer avec précision aux matrices M et N suivantes l'algorithme du cours qui détermine si une matrice est inversible et

Calculs sur les matrices

On fait ceci pour toutes les matrices élémentaires Eij avec 1 ? i j ? n ce qui implique. A = B. Correction de l'exercice 4 ?. Notons A = (aij)

Exercices de mathématiques - Exo7

avec A = (2 1. 3 7. ) X = (x y. ) Y = ( 1. ?2. ) On trouve la solution du système en inversant la matrice : X = A. ?1. Y. L'inverse d'une matrice 2×2 se

Exercices avec Solutions

Soit une matrice A(N M) de caractères (N?20 et M?30). Ecrire un algorithme qui. 1- Recherche un élément dans la matrice A. 2- Calcule le nombre de voyelles

Review Exercise Set 20

Exercise 1: Use Gaussian elimination to find the solution for the given system of equations. 3x + y - z = 1 Perform row operations to reduce the matrix ...

Exercise Set 1.4

Know the properties of the matrix transpose and its relationship with invertible matrices. Answer: 10. Use the matrix A in Exercise 4 to verify that.

Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE

Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés Matrices et Changements de Bases ... l'ingalité (?1 ? x2 < 0) n'a pas de solutions.

Exercise Set 1.2

Answer: 8. In Exercises 9–12 solve the linear system by Gaussian elimination. in the general solution of the linear system with augmented matrix B?

Exercise Set 5.1

Find bases for the eigenspaces of the matrices in Exercise 9. Answer: (a). (b). 12. By inspection find the eigenvalues of the following matrices:.

Exo7

Calculs sur les matrices

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Opérations sur les matrices

Exercice 1Effectuer le produit des matrices :

2 1 3 2 11 1 2 1 2 0 3 1 4 0 @11 0 1 41

2 1 21

A0 @a b c c b a

1 1 11

A 0 @1a c 1b b 1c a1 A

SoitA(q) =cosqsinq

sinqcosq pourq2R. CalculerA(q)A(q0)etA(q)npourn>1. SoientAetB2Mn(R)telles que8X2Mn(R), tr(AX) =tr(BX). Montrer queA=B. Que peut-on dire d"une matriceA2Mn(R)qui vérifie tr(AtA) =0 ? Exercice 5Calculer (s"il existe) l"inverse des matrices : a b c d 0 @1 2 1 1 21 2211
A0 @1¯a¯a2 a1¯a a 2a11 A (a2C)0 B

B@0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 01

C CA 0 B

BBBBB@1 1 1

0 1 0 1 1 00 11 C

CCCCCA0

BBBBBB@1 2 3n

0 1 2...

... 0 1 2 00 11 C

CCCCCCA

SoitA=0

@1 0 2 01 1 12 01 A . CalculerA3A. En déduire queAest inversible puis déterminerA1. 1. Montrer que I+Mest inversible (si(I+M)X=0, calculert(MX)(MX)). 2.

Soit A= (IM)(I+M)1. Montrer quetA=A1.

A= (ai;j)2Mn(R)telle que :

8i=1;:::;njai;ij>å

j6=i ai;j:

Montrer queAest inversible.

Indication pourl"exer cice2 NIl faut connaître les formules de cos(q+q0)et sin(q+q0).Indication pourl"exer cice3 NEssayer avecXla matrice élémentaireEij(des zéros partout sauf le coefficient 1 à lai-ème ligne et laj-ème

colonne).Indication pourl"exer cice4 NAppliquer la formule du produit pour calculer les coefficients diagonaux deAtAIndication pourl"exer cice6 NUne fois que l"on a calculéA2etA3on peut en déduireA1sans calculs.Indication pourl"exer cice7 NMantisymétrique signifietM=M.

1. Si Yest un vecteur alorstYY=kYk2est un réel positif ou nul.

2.IMet(I+M)1commutent.Indication pourl"exer cice8 NPrendre un vecteurX=0

B @x 1... x n1 C Atel queAX=0, considérer le rangi0teljxi0j=maxjxij ji=1;:::;n.3

Correction del"exer cice1 NSiC=ABalors on obtient le coefficientcij(situé à lai-ème ligne et laj-ème colonne deC) en effectuant le

produit scalaire dui-ème vecteur-ligne deAavec lej-éme vecteur colonne deB.

On trouve

2 1 3 2 11 1 2 =3 0 5 1 1 2 0 3 1 4 0 @11 0 1 41

2 1 21

A =1 72 6 5 7 0 @a b c c b a

1 1 11

A 0 @1a c 1b b 1c a1 A =0 @a+b+c a2+b2+c22ac+b2 a+b+c2ac+b2a2+b2+c2

3a+b+c a+b+c1

ACorrection del"exer cice2 NA(q)A(q0) =cosqsinq

sinqcosq cosq0sinq0 sinq0cosq0 cosqcosq0sinqsinq0cosqsinq0sinqcosq0 sinqcosq0+cosqsinq0sinqsinq0+cosqcosq0 cos(q+q0)sin(q+q0) sin(q+q0)cos(q+q0) =A(q+q0)

Bilan :A(q)A(q0) =A(q+q0).

Nous allons montrer par récurrence surn>1 queA(q)n=A(nq).

C"est bien sûr vrai pour n=1.

Fixons n>1 et supposons queA(q)n=A(nq)alors

A(q)n+1=A(q)nA(q) =A(nq)A(q) =A(nq+q) =A((n+1)q)

C"est donc vrai pour tout n>1.

Remarques :

On aurait aussi la formule A(q0)A(q) =A(q+q0) =A(q)A(q0). Les matricesA(q)etA(q0) commutent. En f aitil n"est pas plus dif ficilede montrer que

A(q)1=A(q). On sait aussi que par définitionA(q)0=I. Et on en déduit que pourn2Zon aA(q)n=A(nq).

En ter megéométrique A(q)est la matrice de la rotation d"angleq(centrée à l"origine). On vient de

montrer que si l"on compose un rotation d"angleqavec un rotation d"angleq0alors on obtient une

rotation d"angleq+q0.Correction del"exer cice3 NNotonsEijla matrice élémentaire (des zéros partout sauf le coefficient 1 à lai-ème ligne et laj-ème colonne).

SoitA= (aij)2Mn(R). Alors

AEij=0

BBBBBBB@0 00a1i0

0 00a2i0

0 00aji0

0 00ani01

CCCCCCCA

La seule colonne non nulle est laj-ème colonne.

La trace est la somme des éléments sur la diagonale. Ici le seul élément non nul de la diagonale estaji, on en

déduit donc tr(AEij) =aji (attention à l"inversion des indices). Maintenant prenons deux matricesA;Btelles que tr(AX) =tr(BX)pour toute matriceX. Alors pourX=Eij

on en déduitaji=bji. On fait ceci pour toutes les matrices élémentairesEijavec 16i;j6nce qui implique

A=B.Correction del"exer cice4 NNotonsA= (aij), notonsB=tAsi les coefficients sontB= (bij)alors par définition de la transposée on a

b ij=aji.

Ensuite notonsC=ABalors par définition du produit de matrices le coefficientscijdeCs"obtient par la

formule : c ij=nå k=1a ikbkj:

Appliquons ceci avecB=tA

c ij=nå k=1a ikbkj=nå k=1a ikajk: Et pour un coefficient de la diagonale on ai=jdonc c ii=nå k=1a2ik: La trace étant la somme des coefficients sur la diagonale on a : tr(AtA) =tr(C) =nå i=1c ii=nå i=1nå k=1a2ik=å

16i;k6na2ik:

Si on change l"indicekenjon obtient

tr(AtA) =å

16i;j6na2ij:

Donc cette trace vaut la somme des carrés de tous les coefficients.

Conséquence : si tr(AtA) =0 alors la somme des carréså16i;j6na2ijest nulle donc chaque carréa2ijest nul.

Ainsiaij=0 (pour touti;j) autrement ditAest la matrice nulle.Correction del"exer cice5 N1.si le déterminant adbcest non nul l"inverse est1adbcdb

c a 2. 14 0 @4 04 3 1 2 22 01
A 5

3.si jaj 6=1 alors l"inverse est11a¯a0

@1¯a0 a1+a¯a¯a 0a11 A 4. 13 0 B

B@2 1 1 1

12 1 1

1 12 1

1 1 121

C CA 5. 0 B

BBBBB@11 00

0 11 0

... 0 11

0 0 11

CCCCCA

6. 0 B

BBBBBB@12 1 00

12 1 0

(0)12 11 C

CCCCCCACorrection del"exer cice6 NOn trouve

A 2=0 @34 2 111

1 2 01

A etA3=0 @5 0 2 0 3 1 12 41 A Un calcul donneA3A=4I. En factorisant parAon obtientA(A2I) =4I. DoncA14 (A2I) =I, ainsi

Aest inversible et

A 1=14 (A2I) =14 0 @24 2 121
1 211 A

:Correction del"exer cice7 NAvant de commencer la résolution nous allons faire une remarque importante : pourX=0

B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAun vecteur

(considéré comme une matrice à une seule colonne) alors nous allons calculer tXX: t

XX= (x1;x2;;xn)0

B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCA=x21+x22++x2n:

On notekXk2=tXX:kXkest lanormeou lalongueurdu vecteurX. De ce calcul on déduit d"une part que tXX>0. Et aussi quetXX>0 si et seulement siXest le vecteur nul. 1. Nous allons montrer que I+Mest inversible en montrant que si un vecteurXvérifie(I+M)X=0 alors X=0. 6

Nous allons estimer

t(MX)(MX)de deux façons. D"une part c"est un produit de la formetYY=kYk2et donc t(MX)(MX)>0.

D"autre part :

t (MX)(MX) =t(MX)(X)car(I+M)X=0 doncMX=X tXtM(X)cart(AB) =tBtA tX(M)(X)cartM=M tXMX tX(X) =tXX =kXk2

Qui est donc négatif.

Seule possibilitékXk2=0 doncX=0 (= le vecteur nul) et doncI+Minversible. 2. (a)

Calculons A1.

1=(IM)(I+M)11=(I+M)11(IM)1= (I+M)(IM)1

(n"oubliez pas que(AB)1=B1A1). (b)

Calculons

tA. t

A=t(IM)(I+M)1

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Calculs sur les matrices On fait ceci pour toutes

Calculs sur les matrices

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Opérations sur les matrices

Exercice 1Effectuer le produit des matrices :

2 1 21

1 1 11

SoitA(q) =cosqsinq

B@0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 01

BBBBB@1 1 1

CCCCCA0

BBBBBB@1 2 3n

0 1 2...

CCCCCCA

SoitA=0

Soit A= (IM)(I+M)1. Montrer quetA=A1.

A= (ai;j)2Mn(R)telle que :

8i=1;:::;njai;ij>å

Montrer queAest inversible.

2.IMet(I+M)1commutent.Indication pourl"exer cice8 NPrendre un vecteurX=0

On trouve

2 1 21

1 1 11

3a+b+c a+b+c1

ACorrection del"exer cice2 NA(q)A(q0) =cosqsinq

Bilan :A(q)A(q0) =A(q+q0).

C"est bien sûr vrai pour n=1.

Fixons n>1 et supposons queA(q)n=A(nq)alors

A(q)n+1=A(q)nA(q) =A(nq)A(q) =A(nq+q) =A((n+1)q)

C"est donc vrai pour tout n>1.

Remarques :

SoitA= (aij)2Mn(R). Alors

AEij=0

BBBBBBB@0 00a1i0

0 00a2i0

0 00aji0

0 00ani01

CCCCCCCA

Appliquons ceci avecB=tA

16i;k6na2ik:

Si on change l"indicekenjon obtient

16i;j6na2ij:

3.si jaj 6=1 alors l"inverse est11a¯a0

B@2 1 1 1

12 1 1

1 12 1

1 1 121

BBBBB@11 00

0 11 0

0 0 11

CCCCCA

BBBBBB@12 1 00

12 1 0

12 1 0

CCCCCCACorrection del"exer cice6 NOn trouve

1 2 01

Aest inversible et

CCAun vecteur

XX= (x1;x2;;xn)0

CCA=x21+x22++x2n:

Nous allons estimer

D"autre part :

Qui est donc négatif.

Calculons A1.

1=(IM)(I+M)11=(I+M)11(IM)1= (I+M)(IM)1

Calculons

A=t(IM)(I+M)1