[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Etude de fonctions

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1Etude complète des fonctions suivantes

1.f1(x) =1+x2x

3(arctanxx1+x2).

2.f2(x) =jtanxj+cosx.

3.f3(x) =xln120+60x+12x2+x312060x+12x2x3.

4. 4 (x) =xe2xx 21.

5.f5(x) =1x

lnex1x

6.f6(x) =x+pjx21j.

7.f7(x) =e=lnx.

8.f8(x) =1+1x

x.

9.f9(x) =log2(1log12

(x25x+6)).

10.f10(x) =E(x)+(xE(x))2.

11.f11(x) =arcsinq1

2 x+arcsinq1 2 +x.

12.f12(x) =arcsinxx

13.f13(x) =e1=xpx+4.

14.f14(x) =arccos(1chx).

15.f15(x) =ln(y+py

21)ln(1+x1x)oùy=1+x21x2.

16.f16(x) =lnjshx1j.

17.f17(x) =x(xx).

18.f18(x) = (cosx+sinx)1=x.

19.f19(x) =3px

3+1px 21.

20.f20(x) =arcsin(2x1)+2arctanq1xx

21.f21(x) =ln(chx).

22.f22(x) =32x15:3x1xln3.

23.f23(x) =ln1e

x1.

Correction del"exer cice1 N1.f1est définie et de classeC¥surRen vertu de théorèmes généraux. De plus,f1est paire. On étudiera

f

1sur[0;+¥[(se méfier alors pour la dérivabilité en 0).

Etude en 0(à gauche et à droite).

f

1(x) =x!01x

3(1+x2)[xx33

+x55 +o(x5)x(1x2+x4+o(x4))] = (1+x2)(2x33 4x55 +o(x5)) = (1+x2)(23 4x25 +o(x2)) 23
2x215 +o(x2): . Puisquef1admeten0undéveloppement

limité d"ordre 1, le prolongement encore notéf1est dérivable en 0 etf01(0) =0.C1admet au point

d"abscisse 0 une tangente parallèle à(0x)d"équationy=23 . Enfin, puisquef(x)23 est, au voisinage de

0, du signe de2x215

, la courbe est localement en dessous de sa tangente. Etude en+¥(et¥).f1(x)x!+¥p2x!x!+¥0, et de mêmef1(x)!x!¥0.

Dérivée, variations.

Pourx>0,

f

0(x) = (3x

41x

2)(arctanxx1+x2)+1+x2x

3(11+x21x2(1+x2)2)

=3+x2x

4(arctanxx1+x2)+1+x2x

32x2(1+x2)2

3+x2x

4(arctanx+x1+x2+x43+x22x(1+x2))

3+x2x

4(arctanx+x(3+x2)+2x3(1+x2)(3+x2))=3+x2x

4g(x) où, pour tout réelx,g(x) =arctanx+3x3+x2. gest dérivable surRet pourxréel, g

0(x) =3(3+x2)2x2(3+x2)21+x2=

g

0est donc strictement négative sur]0;+¥[et par suite,gest donc strictement décroisante sur[0;+¥[.

Puisqueg(0) =0, pourx>0,g(x)<0. Finalement,f01est strictement négative sur]0;+¥[etf1est strictement décroissante sur[0;+¥[. Le tableau de variations def1n"apporte rien de plus.

Graphe1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2=3y=f1(x)2

2.f2est définie surD=Rn(p2

+pZ), paire et 2p-périodique.f2est continue surDen vertu de théorèmes généraux. On étudief2sur[0;p2 [[]p2 ;p].

Etude en

p2 f(x)x!p=2jtanxjetdonc, limx!p=2f(x)=+¥.C2admetladroited"équationx=p2 pourdroiteasymptote.

Dérivabilité et dérivée.

f

2est dérivable surRnp2

Zen vertu de théorèmes généraux et pourx=2p2

Z,f02(x) =e1cos

2xsinxoùe

est le signe de tanx. f

2est aussi dérivable à droite en 0 et(f2)0d(0) =1. Par symétrie,f2est dérivable à gauche en 0 et

(f2)0g(0) =1.f2n"est pas dérivable en 0.

De même,f2est dérivable à gauche et à droite enpavec(f2)0g(p) =1 et(f2)0d(p) =1, et n"est donc

pas dérivable enp.

Variations.

f

2est strictement décroissante sur]p2

;p]en tant que somme de deux fonctions strictement décroissantes sur]p2 ;p]. Puis, pourxélément de]0;p2 [,f02(x) =1cos

2xsinx>11=0.f02est strictement positive sur

]0;p2 [et doncf2est strictement croissante sur[0;p2

Graphe.1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6-7

123456

-1 y=f2(x) -3.Pour xréel, posonsP(x) =x3+12x2+60x+120. Pour tout réelx, on aP0(x) =3(x2+8x+20) =

3((x+4)2+4)>0.Pest une fonction polynôme de degré 3 strictement croissante surRet s"annule

donc une et une seule fois en un certain réel notéa. De plus,P(5)P(4)<0 eta2]5;4[. Enfin,Pest strictement négatif sur]¥;a[et strictement positif sur]a;+¥[. f

3est définie surRnfa;ag, et pourx2Rnfa;ag,

f

3(x) =xlnP(x)P(x)

=xlnjP(x)j+lnjP(x)j: 3

Notons quef3est impaire.

Dérivabilité et dérivée.

f

3est de classeC¥surRnfa;agen vertu de théorèmes généraux et pourx2Rnfa;ag,

f

03(x) =1P0(x)P(x)P0(x)P(x)=P(x)P(x)P0(x)P(x)P0(x)P(x)P(x)P(x):

Puis,

P(x)P(x)P0(x)P(x)P0(x)P(x)

= ((12x2+120)+(x3+60x))((12x2+120)(x3+60x)) = (x6+24x4720x2+14400)6(4x4120x2+2400) =x6; et doncf03(x) =x6P(x)P(x).

Etude en+¥.

f

3(x)x=x!+¥ln(1+12x

+o(1x ))+ln(112x +o(1x )) =24x +o(1x

On en déduit tout d"abord que lim

x!+¥f3(x) = +¥(resp.limx!¥f3(x) =¥, puis queC3admet en

+¥(resp.¥) la droite d"équationy=xpour droite asymptote et queC3est au-dessous (resp. au-dessus)

de cette droite au voisinage de+¥(resp.¥).

Variations.

D"une part,f03(0) =0. D"autre part, pourx>0,P(x)>0.f03est donc du signe deP(x)sur ]0;+¥[nfag. Ainsi,f03est strictement négative sur]0;a[et strictement positive sur]a;+¥[. On en déduit le tableau de variations def3.x0+1 f03(x)0+ 0+1 f3

11Graphe.

4

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7

123456

-1 -2 -3 -4 y=x y=f3(x)4.f4est définie surRnf1;1g. De plus, pourx6=0, f 4(1x ) =1x e2=x1=x21=1x e2xx 21=1f
4(x): Ce genre de constatation peut servir à calculer lim x!+¥f4(x)si l"on connait limx!0;x>0f4(x), obtenir les variations def4sur]0;1[si on les connait sur]1;+¥[... On peut aussi noter que8x2Rnf1;1g,f4(x)f4(x) =x2et donc, pourx6=0,f4(x) =x2f

4(x). Cette

constatation pourra être utile pour déduire l"étude def4en1 de l"étude en 1.

Etude en+¥et¥.

Puisque

2xx

21!x!¥0, on af4(x)x!¥xce qui montre déjà que limx!+¥f4(x) = +¥, limx!¥f4(x) =

¥et queC4admet en+¥et¥, une direction asymptotique d"équationy=x. Plus précisément,

2xx

21=x!¥2x

(11x

2)1=2x

+o(1x 2); puis, e 2xx

21=x!¥1+(2x

)+(2x )2+o(1x

2) =1+2x

+2x

2+o(1x

2):

On en déduit que

f

4(x) =x!¥x+2+2x

+o(1x

Par suite,C4admet la droite d"équationy=x+2 pour droite asymptote en+¥et¥. De plus, le signe

def4(x)(x+2)étant localement le signe de2x ,C4est au-dessus de son asymptote au voisinage de+¥ et au-dessous au voisinage de¥.

Etude en 1 (et -1).

Clairement, lim

x!1;x>1f4(x)=+¥etlimx!1;x>1f4(x)=¥. Ensuite, limx!1;x<1f4(x)=0etlimx!1;x<1f4(x)= 0.

On prolongef4par continuité à gauche en 1 en posantf4(1) =0, et de même en1 et on étudie la

dérivabilité du prolongement encore notéf4. f

4est continue sur]1;1], de classeC1sur]1;1[et pourx2]1;1[(voir dérivée-variations),

5 f

04(x) =x42x32x22x+1(x21)2e2xx

21!x!1;x<10:

D"après un théorème classique d"analyse,f4est de classeC1sur]1;1]et en particulier dérivable à

gauche en 1 etf0g(1) =0. De même,f4est dérivable à gauche en1 etf0g(1) =0.C4admet en ces points des demi-tangentes parallèles à l"axe(Ox).

Dérivée. Variations.

f

4est de classeC1surRnf1;1gen vertu de théorèmes généraux et pourx6=0,

f

04(x)f

4(x)= (lnjf4j)0(x) = (lnjxj+2xx

21)0(x) =1x

+2(x21)x(2x)(x21)2 et donc

8x6=0;f40(x) =x42x32x22x+1(x21)2e2xx

21;
ce qui reste vrai pourx=0 par continuité def04en 0. f

04est donc du signe deP(x) =x42x32x22x+1. Or, pourx6=0,

P(x) =x2((x2+1x

2)2(x+1x

)2) =x2((x+1x )22(x+1x )4) = =x2(x+1x (1p5)(x+1x (1+p5)) = (x2(1p5)x+1)(x2(1+p5)x+1); ce qui reste vrai pourx=0. Le premier trinôme a un discriminant égal à(p51)24=22p5<0 et donc8x2R;x2(1p5)x+1>0. Le deuxième trinôme a un discriminant égal à(p5+1)24=2+2p5>0 et admet donc deux racines réellesa=12 (1+p5+p2+p5)2;89::: >1 etb=12 (1+p5p2+2p5) =1a

0;34:::2]0;1[. On en

déduit le tableau de variation def4.x-1 -1 01+1 f04(x)++ 0--0 +

00;15:::+1+1

f4 -1-106;34:::Graphe. 6

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1234567

-1 -2 -3 -4 -5 -6 y=x+ 2 y=f4(x)5.Si x>0,ex1>0 et six<0,ex1<0. Donc, pourx6=0,>0 etf5est définie surR. Pourx6=0, f

5(x) =1x

lnex1x=1x ln(ex)1x lnex1x =1f(x): Donc, pour tout réel non nulx,f(x)+f(x) =1. Le point de coordonnées(0;12 )est centre de symétrie deC5.

Etude en 0.

f

5(x) =x!01x

ln(1+x2 +x26 +o(x2)) =1x ((x2 +x26 )12 (x2 )2+o(x2)) =12 +124
x+o(x): Ainsi,f5se prolonge par continuité en 0 en posantf5(0) =12 . Le prolongement, encore notéf5, admet en 0 un développement limité d"ordre 1 et est donc dérivable en 0 avecf05(0) =124 . Une équation de la tangente àC5en le point d"abscisse 0 esty=124 x+12 . Par symétrie, ce point est un point d"inflexion.

Etude en+¥.

f

5(x) =x!+¥1x

(ln(ex)+ln(1ex)lnx) =1lnxx +ln(1exx =1+o(1):

Donc, lim

x!+¥f5(x) =1. Par symétrie, limx!¥f5(x) =limx!¥(1f5(x)) =11=0. 7

Dérivée. Variations.

f

5est dérivable surRen vertu de théorèmes généraux (et donc surR) et pourx6=0, (puisque lnex1x

lnex1x =lnjex1jlnjxj), f

05(x) =1x

2lnex1x

+1x (exe x11x ) =1x

2(lnex1x

+xexe x11): f

05est, surR, du signe deg(x) =lnex1x

+xexe x1+1.gest dérivable surRet pourxréel non nul, g

0(x) =exe

x1+1x (2shx2 )2x2x(2shx2 )2=sh2x2 (x2 )2xsh2x2 L"inégalité shx>x, valable pourx>0, est classique (par exemple, la formule de TAYLOR-LAPLACE

à l"ordre 1 fournit pourx>0, shx=x+Rx

0(xt)sht dt>x.) Par suite,g0est strictement positive sur

]0;+¥[, et doncgest strictement croissante sur]0;+¥[. En tenant compte deg(0+) =0,gest donc

strictement positive sur]0;+¥[. Il en est de même def05etf5est strictement croissante sur]0;+¥[.

Par symétrie et continuité en 0,f5est strictement croissante surR.

Graphe.1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

1

y=f5(x)6.f6est définie et continue surR, dérivable surRf1;1gen vertu de théorèmes généraux.

Etude en 1.

f

6(x)f6(1) =x1+pjx21j x!1p2

pjx1j, ce qui montre quef6n"est pas dérivable en 1 mais queC6admet au point d"abscisse 1 deux demi-tangentes parallèles à(Oy).

Etude en -1.

f

6(x)f6(1) =x+1+pjx21j x!1p2

pjx+1j, ce qui montre quef6n"est pas dérivable en1 mais queC6admet au point d"abscisse1 deux demi-tangentes parallèles à(Oy).

Etude en+¥.

Au voisinage de+¥, on a

f

6(x) =x+x(11x

2)1=2=x+x(112x2+o(1x

2)) =2x12x+o(1x

ce qui montre tout à la fois que lim x!+¥f6(x) = +¥, puis que la droite d"équationy=2xest asymptote àC6en+¥et queC6est au-dessous de cette droite au voisinage de+¥.

Etude en¥.

Au voisinage de¥, on a,f6(x) =xx(1+o(1x

)) =o(1), et limx!¥f6(x) =0.

Dérivée. Variations.

Soitele signe dex21. Pourx6=1,

8 f

06(x) =1+2ex2

pe(x21)=pe(x21)+expe(x21):

Si10) oux>1,f06(x)>0.

Six<1, sgn(f06(x)) =sgn(x+px

21) =sgn(1xpx

21=etf06(x)<0.

Si 06x<1. sgn(f06(x)) =sgn(x+px

21) =sgn(x2(x21)) =sgn(1p2

x). D"où le tableau de variations def6:x-1 -1 1=p2 1 +1 f06(x)-+ 0-+ 0p2-1 f6 -1 1Graphe.

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

12345
-1 -2 y=f6(x)y= 2x9

7.1 2 3 4 5 6

123458.

9. 10.

1 2 3 4-1-2-3-4

1234
-1 -211.

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

112.

1 2-1-2

110
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
22.

23.1 2 3-1-2-3-4

123
-1 -211quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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