[PDF] TD 5 : Dérivées. Exercice 2 (Calcul de dé

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Universite Claude Bernard Lyon 1PCSI L1 UE TMB

http ://licence-math.univ-lyon1.fr/doku.php?id=p13 :tmb :pagePrintemps 2013

TD 5 : Derivees.

EXERCICES OBLIGATOIRES.

Exercice 1 (Theoreme des accroissement et regle de l'H^opital).

1)Montrer que :8x2]1;+1[;x

1+xln(1 +x)x.

Indication : Selon la valeur dex, appliquer le theoreme des accroissement nis at7! ln(1 +t)sur[x;0]ou sur[0;x].

2)En appliquant la regle de l'H^opital, montrer que limx!0sinx

x = 1, puis que limx!01cosx x 2=1 2

Exercice 2 (Calcul de derivees).

1.Pour chacune des fonctions suivantes, determiner le domaine de denition, le domaine de

derivabilite et calculer la derivee. a)f(x) =p 2+x 2+x2; b)f(x) = (x3+ 7x+ 1)p x 3+ 1; c)f(x) =1 p

1+x2cos2x

d)f(x) =e1 x 31
p x 2+1; e)f(x) = lnjcos(x=2)j;f)f(x) =x3cosx+ sin2x; g)f(x) = (sinx)cosx; h)f(x) = arccosx+1 p 2 i)f(x) = arcsinp x; 1x 1+x; k)f(x) = arctan(lnx2).

2.Montrer que la fonction suivante est derivable surRet calculer sa derivee :

f(x) ={ 1 2 (3x2) six <1 1 x six1.

Exercice 3 (

Etude de fonction).Etudier les fonctions suivantes (tableau de variations et graphe) : a)f(x) = arcsin(2x21); b)f(x) = arctan3x

1x2;c)f(x) = arcsin2x

1+x22arctanx;

d)f(x) = th1 x

Exercice 4 (Polyn^omes de Taylor).

Trouver le polyn^ome de Taylor a l'ordre 2 des fonctions suivantes : a)f(x) =1

1+xautour dex0= 0 et dex0= 1;g(x) =1

(x+1)2autour dex0= 0; h(x) = (1 +x)(2Q) autour dex0= 0; b)f(x) = sin(3x) autour dex0= 0 et dex0= 2 ;g(x) = sh(2x) autour dex0= 0; c)f(x) =e2xautour dex0= 0 et dex0= 1;g(x) = ln(1+2x) autour dex0= 0 etx0= 1. d)f(x) = cos2xautour dex0= 0 et dex0= 2 e)f(x) =p

1 + arcsinxautour dex0= 0.

EXERCICES FACULTATIFSExercice 5Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer le domaine de d´efinition, le domaine de

d´erivabilit´e et calculer la d´eriv´ee. a)f(x) = (x

2+ 1)?x3-1,b)f(x) =(x-1)

3 ⎷x+ 1, c)f(x) =1 x3+ 1,d)f(x) =x-lnx, e)f(x) =? cos2(x) + 1,f)f(x) =13tan

3(x)-tan(x) +x,

g)f(x) =xlnx,h)f(x) = ln? x2+ 1, i)f(x) =e 1 x-1⎷x2+ 1,j)f(x) = ln1 + sinx1-sinx, k)f(x) =?

1-x2arcsinx,l)f(x) =x1 +x2+ arctanx,

m)f(x) =arcsinx x,n)f(x) = arctan1x, o)f(x) =?sinx x? x sinx. Exercice 6Etudier les fonctions suivantes (tableau de variations et graphe) : a)f(x) =x

2(x-2)2,b)f(x) =x2(x-1)3,

c)f(x) =?

1-cos(x)

1 + cos(x),d)f(x) = arcsin2x1 +x2,

e)f(x) = thx-1 chx.

Exercice 7Montrer que la fonctionf(x) =|x

2-3|est continue surR. Est-elle d´erivable surR?

Etudier les variations et tracer le graphe de cette fonction. Exercice 8En utilisant la formule de Taylor, montrer que, pour toutx≥0, on a x-x 2 2 2+x 3 3. Pour quelles valeurs dex≥0 peut-on dire quex-x 2

2est une valeur approch´ee de ln(1 +x) `a 10

-3 pr`es? Exercice 9Trouver le polynˆome de Taylor `a l"ordre 2 des fonctions suivantes : a)f(x) = 1 exautour dex0= 0 et dex0= 1; b)f(x) = ln(1 + sinx) autour dex 0= 0; c)f(x) = arcsin(2x) autour dex

0= 0 et dex0= 1;

d)f(x) = sh(x+x

2) autour dex0= 0;

e)f(x) = ch(x+x

2) autour dex0= 0;

f)f(x) =

1⎷1-xautour dex0= 0.

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