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Dérivation : exercices

Les réponses (non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document

Exercice 1 :

Dériver la fonctionfdans les cas suivants :

1)f(x) =4x3+2x23x+1

2)f(x) =3x24x2

3)f(x) = (px+1)(x22)

4)f(x) = (2xpx)(x+4)

5)f(x) =114x

6)f(x) =32x1

7)f(x) =2x13x+2

8)f(x) =3x24x+12x3

9)f(x) = (5x2+1)2

Exercice 2 :

Déterminer une équation de la tangenteTà la courbe représentative de la fonctionfau point d"abscisseadans les cas suivants :

1)f(x) =3x2x+1 aveca=1.

2)f(x) =2x+1x2aveca=3.

3)f(x) =px

x aveca=9.

Exercice 3 :

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x2+2x1x

On noteCsa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1)Déterminer les abscisses des points de la courbeCoù la tangente est horizontale.

2)Existe t-il des points de la courbeCoù la tangente admet un coefficient directeur égal à2?

3)Déterminer les abscisses des points de la courbeCoù la tangente est parallèle à la droite d"équationy=23

x5.Réponses exercice 1 :

1)f0(x) =12x2+4x3

2)f(x) =12

(3x24x);f0(x) =12 (6x4) =3x2

3)f0(x) =12

px (x22)+(px+1)(2x)(formefg)1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net1

4)f0(x) =

212
px (x+4)+(2xpx)1 (formefg)

5)f0(x) =(4)(14x)2=4(14x)2(forme1f

6)f(x) =312x1;f0(x) =3(2)(2x1)2=6(2x1)2(forme1f

7)f0(x) =2(3x+2)(2x1)3(3x+2)2==7(3x+2)2(formefg

8)f0(x) =(6x4)(2x3)2(3x24x+1)(2x3)2==6x218x+10(2x3)2(formefg

9)f0(x) =2(10x)(5x2+1) =20x(5x2+1)(formef2)

Réponses exercice 2 :

1)T:y=f(1)+f0(1)(x1);f(1) =3;f0(x) =6x1;f0(1) =5;T:y=5x2

2)T:y=f(3)+f0(3)(x3);f(3) =7;f0(x) =5(x2)2;f0(3) =5;T:y=5x+22

3)T:y=f(9)+f0(9)(x9);f(9) =13

;f0(x) =12 px xpx x

2=12xpx

;f0(9) =154 ;T:y=154 x+12

Réponses exercice 3 :

Rappel : le coefficient directeur de la tangente au point d"abscisseaest égal àf0(a). La dérivée defest définie par :f0(x) =(2x+2)x(x2+2x1)x

2=x2+1x

2.

1)La tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul.

On résoud donc l"équationf0(x) =0. On obtientx=1 oux=1.

2)Cela revient à résoudre l"équationf0(x) =2 qui n"admet pas de solutions. Il n"y a donc pas de points répondant à la

question.

3)Les coefficients directeurs de la tangente et de la droite doivent être égaux.

Cela revient donc à résoudre l"équationf0(x) =23 . Le calcul donnex=p3 oux=p3. 2 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivationquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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