Exercice 10-9 : Localisation des valeurs propres – théorèmes de
Exercice 10-9 : Localisation des valeurs propres – théorèmes de Guerschgorin a) Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre ? ...
Ift 2421 Chapitre 7 Introduction aux valeurs propres et aux vecteurs
Chapitre 7. La localisation des valeurs propres. Corollaires : 1. Les valeurs propres de la matrice A sont aussi éléments de l'union des disques Di.
Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les
Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato. 22 septembre 2009.
Application du théorème de Sylvester à la localisation des valeurs
en somme et différence de carrés des formes quadratiques et à? autre part
Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution
Exercice 1. Localisation des valeurs propres. 1. Rappeler et démontrer le théorème de Gershgorin. 2. Localiser les valeurs propres des matrices suivantes.
Valeurs propres
Afin de localiser les valeurs propres d'une matrice on se donne · une norme subordonnée quel- conque sur Mn(C)
Observateurs de systèmes linéaires. Application à la détection et
Observateur de fonctionnelles linéaires. TSAVP. Technique standard d'affectation des valeurs propres. DLF. Détection et localisation de fautes.
Chapitre IV: Calcul numérique de valeurs propres
? ? C est valeur propre de A ? Mn(C) ssi il existe u ? Cn tel valeurs propres. Section 2: Localisation des valeurs propres ...
Localisation des valeurs propres dune matrice complexe
L'objectif principal de ce problème est d'établir le théorème de Gerschgorin ci-dessous qui permet de localiser les valeurs propres d'une matrice carrée
Valeurs propres
La théorie de la réduction des endomorphismes en dimension finie est supposée acquise aussi on mettra plutôt l'accent sur les résultats de localisation du.
[PDF] Localisation des valeurs propres ? théorèmes de Guerschgorin
Il s'agit de démontrer les deux théorèmes de Guerschgorin a) Si x est un vecteur propre associé à la valeur propre ? on a Ax = ?x ou encore n ? j=1
[PDF] Valeurs propres vecteurs propres - Exo7 - Cours de mathématiques
1 Valeurs propres et vecteurs propres 1 1 Motivation ? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que
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Afin de localiser les valeurs propres d'une matrice on se donne · une norme subordonnée quel- conque sur Mn(C) alors l'inégalité suivante permet de borner l'
[PDF] Chapitre 11 – Valeurs propres – Vecteurs propres 1 Introduction
Chapitre 11 – Valeurs propres – Vecteurs propres 1 Introduction 1 Probl`eme : Soit A = Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres ?
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1 Valeurs propres vecteurs propres sous-espaces pro- pres Soenit E un espace vectoriel et ? quelle que soit la base choisie ag pdf Par exemple : 1
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Localisation des valeurs propres Proposition 1: soit A ? Mn(C) alors ?(A) ? {z ? C tel que z?A } quelque soit la norme induite
[PDF] Ift 2421 Chapitre 7 Introduction aux valeurs propres et aux vecteurs
La localisation des valeurs propres Les disques de Guerschgorin sont définis par : { } D a r i ii i = ? ? ? ? i = 1 à n Théorème :
[PDF] Fiche Méthode 12 : Trouver les valeurs propres de A (ou de f)
On donne ensuite les principales techniques pour attraper les valeurs propres : • la méthode pour les matrices triangulaires (il suffit de savoir lire) ; • la
Brève communication Localisation de valeurs propres régions de
LOCALISATION DE VALEURS PROPRES REGIONS DE GUDKOV par Michèle CHAMBAT 0) Résumé — R S Varga [2] a introduit le domaine minimal de Gerschgörin de
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Valeurs propres Diagonalisation Plan 1 Valeurs et vecteurs propres 2 Diagonalisation d'une matrice MTH1007: alg`ebre linéaire
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Ift24211 Chapitre 7Ift 2421
Chapitre 7
Introduction
aux valeurs propres et aux vecteurs propresIft24212 Chapitre 7Définition :Si A est une matrice de nxn, alors un vecteur non nul x est ditvecteur propre de A si
Axx=l l est appelé valeur propre de A,et x vecteur propre de A correspondant à l.Exemple :A=-éûú30
81x=é
ûú1
2Si l>1 Dilatation.
Si 0 Si l<0 Changement de direction.
Ift24213 Chapitre 7Calcul analytique des valeurs propreset des vecteurs propres()Axx IAx= -=l l0Nous avons une solution non nulle ssi ()detAI-=l0Équation caractéristique de A.Les valeurs satisfaisant cette équation sont les valeurs propres de A.Exemple :A=-é ûú32
10 llIA-=é ûú10
0132
10 ()detdetll lIA-=--é ûú32
1 L'équation caractéristique de
A est ll2320-+= Ift24214 Chapitre 7Exemple : trouver les valeurs propres de: A=--é
ûú21
52
et trouver les vecteurs propres de: A=--é
ú1000
137
026
det 1000
137
026-
úl l l Les valeurs propres sont: l1=10, l2=4 et l3=-1
l 1=10 1000
137
026101
2 31
2 3--é
úx x xx x x 0 137
240
0 01 123
23x
xxx xx-- = x x x1 2 31
2 331
33=
l 2=4 1000
137
02641
2 31
2 3--é
úx x xx x x 6 77
220
0 01 123
23x
xxx xx-- = x x x1 2 30
1 1= l 3=-1 1000
137
02611
2 31
2 3--é
úx x xx x x 11 27
270
0 01 123
23x
xxx xx-- = x x x1 2 30
1 2 7= Ift24215 Chapitre 7La localisation des valeurs propres : Théorème de Gerschgorin
Axx=l axxijj jn i =å=1lpour i = 1 à n. axaxijj jjin iii =¹å=-1()l Si nous choisissons xi tel que xxijj=maxl-==¹åaax x iiijj i jjin 1l-££=¹=¹ååaax
xaiiijj i jjin ij jjin 11 Posonsraiij
jjin ==¹å1 C'est à dire la sommation des valeurs absolues des éléments de la ligne i sauf aii. Ift24216 Chapitre 7La localisation des valeurs propres Les disques de Guerschgorin sont définis par :{}Dariiii=-£ll, i = 1 à n. Théorème :
Les valeurs propres de la matrice A sont éléments de l'union des disques Di. SDi in ==1U Note :
1. On vérifie toutes les possibilités pour i = 1 à n qui
pourraient vérifier xxijj=max pour chaque valeur (vecteur) propres. 2. Puisque les valeurs propres peuvent être complexes,
nous obtenons des disques dans le plan complexe. 3. Si la matrice A est symétrique, les valeurs propres sont
réelles et les disques deviennent de simples intervalles. 4. aii : centre du disque. ri : rayon du disque.
Ift24217 Chapitre 7Exemple :
A=- ú411
111
206{}Dar1111=-£ll,raij
j1 23
==å.l-£42 l peut être complexe : lll=+RIi ()()llRIi-+-£402 ()()llRI-+£4222 ()()llRI-+-£40422 D 1 : centre = (4,0), rayon = 2
D 2 : centre = (1,0), rayon = 2
D 1 : centre = (-6,0), rayon = 2
Ift24218 Chapitre 7La localisation des valeurs propres Corollaires :
1. Les valeurs propres de la matrice A sont aussi éléments de
l'union des disques DiT construit à partir de sa transposée AT : SDT iT in ==1U Note : En effet, A et AT ont les mêmes valeurs propres. 2. Les valeurs propres de la matrice A appartiennent donc à
l'intersection de S et ST :()lÎÇSST 3. Une borne supérieure pour la plus grande valeur propre est
donc :l£é ï====ååminmax,maxinij
jn jnij in aa1111KK Ift24219 Chapitre 7Exemple (suite) : pouvons nous améliorer le résultat ? A T=- ú412
110
116
D Tquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
Si l<0 Changement de direction.
Ift24213 Chapitre 7Calcul analytique des valeurs propreset des vecteurs propres()Axx IAx= -=l l0Nous avons une solution non nulle ssi ()detAI-=l0Équation caractéristique de A.Les valeurs satisfaisant cette équation sont les valeurs propres de A.Exemple :A=-éûú32
10 llIA-=éûú10
013210 ()detdetll lIA-=--é
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1L'équation caractéristique de
A est ll2320-+= Ift24214 Chapitre 7Exemple : trouver les valeurs propres de:A=--é
ûú21
52et trouver les vecteurs propres de:
A=--é
ú1000
137026
det 1000
137
026-
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Les valeurs propres sont: l1=10, l2=4 et l3=-1
l 1=10 1000137
026101
2 312
3--é
úx x xx x x 0 137240
0 01 123
23x
xxx xx-- = x x x1 2 31
2 331
33=
l 2=4 1000
137
02641
2 31
2
3--é
úx x xx x x 6 77220
0 01 123
23x
xxx xx-- = x x x1 2 30
1 1= l 3=-1 1000
137
02611
2 31
2
3--é
úx x xx x x 11 27270
0 01 123
23x
xxx xx-- = x x x1 2 30
1 2 7= Ift24215 Chapitre 7La localisation des valeurs propres :
Théorème de Gerschgorin
Axx=l axxijj jn i =å=1lpour i = 1 à n. axaxijj jjin iii =¹å=-1()l Si nous choisissons xi tel que xxijj=maxl-==¹åaax x iiijj i jjin1l-££=¹=¹ååaax
xaiiijj i jjin ij jjin 11Posonsraiij
jjin ==¹å1 C'est à dire la sommation des valeurs absolues des éléments de la ligne i sauf aii. Ift24216 Chapitre 7La localisation des valeurs propres Les disques de Guerschgorin sont définis par :{}Dariiii=-£ll, i = 1 à n.Théorème :
Les valeurs propres de la matrice A sont éléments de l'union des disques Di. SDi in ==1UNote :
1. On vérifie toutes les possibilités pour i = 1 à n qui
pourraient vérifier xxijj=max pour chaque valeur (vecteur) propres.2. Puisque les valeurs propres peuvent être complexes,
nous obtenons des disques dans le plan complexe.3. Si la matrice A est symétrique, les valeurs propres sont
réelles et les disques deviennent de simples intervalles.4. aii : centre du disque. ri : rayon du disque.
Ift24217 Chapitre 7Exemple :
A=-ú411
111206{}Dar1111=-£ll,raij
j1 23==å.l-£42 l peut être complexe : lll=+RIi ()()llRIi-+-£402 ()()llRI-+£4222 ()()llRI-+-£40422 D
1 : centre = (4,0), rayon = 2
D2 : centre = (1,0), rayon = 2
D1 : centre = (-6,0), rayon = 2
Ift24218 Chapitre 7La localisation des valeurs propresCorollaires :
1. Les valeurs propres de la matrice A sont aussi éléments de
l'union des disques DiT construit à partir de sa transposée AT : SDT iT in ==1U Note : En effet, A et AT ont les mêmes valeurs propres.2. Les valeurs propres de la matrice A appartiennent donc à
l'intersection de S et ST :()lÎÇSST3. Une borne supérieure pour la plus grande valeur propre est
donc :l£éï====ååminmax,maxinij
jn jnij in aa1111KK Ift24219 Chapitre 7Exemple (suite) : pouvons nous améliorer le résultat ? A T=-ú412
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