[PDF] Valeurs propres Afin de localiser les valeurs

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Valeurs propres

Agrégation de mathématiques

Option modélisation

Septembre 2017

BenjaminBoutin

Université de Rennes 1

Ces notes de cours sont consacrées aux propriétés et à l"approximation des valeurs propres

de matrices deMn(C). La théorie de la réduction des endomorphismes en dimension finie est supposée acquise, aussi on mettra plutôt l"accent sur les résultats de localisation du spectre, les propriétés de continuité du spectre et sur les techniques d"approximation nu- mérique des valeurs et vecteurs propres.

Plan du cours

1 Rayon spectral, résultats élémentaires

3 4

3 Continuité des valeurs propres

5

4 Méthode de la puissance

8

5 Conditionnement du problème aux valeurs propres

9 1

Valeurs propres

Rappels

On se placera ici systématiquement sur le corps algébriquement closK=Cde sorte que tout polynôme

deK[X]soit scindé et donc tout endomorphisme surKntrigonalisable. Pour débuter, on rappelle les

résultats de trigonalisation remarquables suivants.

Théorème 1 (Réduction de Jordan)SoitAune matrice deMn(C). Il existeP2GLn(C)etT2Mn(C)triangulaire supérieure vérifiant

A=PTP1et telles que

8i2 f1;:::;n1g;8j2 fi+ 2;:::;ng; Ti;i+12 f0;1g; Ti;j= 0:Démonstration (principe):L"idée est d"obtenir le résultat de réduction de Jordan dans le cas d"endomor-

phismes nilpotents, cela se fait par les propriétés d"inclusion des noyaux itérés et la construction d"une base

adaptée à la forme de Jordan. Cette réduction particulière s"applique ici à la restriction deAà chacun de

ses sous-espaces caractéristiques (stables parA) :ker(AiI)i.

Pour une preuve détaillée, on pourra se reporter par exemple au livre de Gourdon [2].En conséquence, toute matriceA2Mn(C)est semblable à une matrice diagonale par blocs dont

chaque bloc prend la forme d"un bloc de Jordan :

T=P1AP=‰

Jk1(1) 0:::0

0Jk2(2)......

.........0

0:::0Jkm(m)“

On a ici noté les valeurs propres(i)1imdeA, qui ne sont pas nécessairement distinctes deux à

deux, et pour touti2[[1;m]],Jki(i)désigne un bloc de Jordan de tailleki1prenant la forme J k() =0 B

BBBBBBB@1 0:::0

0.........

............0 .........1

0::: :::01

C

CCCCCCCA:

Dans le cas diagonalisable, tous les blocs sont de taillek= 1. À noter que dans l"écriture par bloc

ci-dessus, les différents blocs de Jordan révèlent immédiatement une décomposition de Dunford deA

(comme somme d"une matrice diagonalisable et d"une matrice nilpotente qui commutent) :Jk() = I k+Jk(0).

Un résultat intéressant pour pouvoir tirer profit de la structure hermitienne (euclidienne) et du

produit scalaire canonique surCnest le théorème de réduction en base orthonormée suivant.

Théorème 2 (Théorème de Schur)SoitAune matrice deMn(C). Il existeP2Un(C)unitaire etT2Mn(C)triangulaire supérieure

vérifiantA=PTP?etPP?=I.Démonstration (principe):On peut démontrer ce résultat de trigonalisation en base orthonormée (pour

le produit scalaire hermitien) par exemple à partir d"une trigonalisation quelconque deA(A=PTP1)

et d"un procédé d"orthonormalisation de la base de trigonalisation (colonnes deP), qui se traduit matri-

ciellement par l"existence d"une factorisation QR :P=QRavecQ2Un(C)etR2Mn(C)triangulaire supérieure. Dès lorsA=Q(RTR1)Q?où le produitRTR1demeure triangulaire supérieure.2

Valeurs propres

1 Rayon spectral, résultats élémentaires

Définition 3SoitA2Mn(C). On définit respectivement le spectre et le rayon spectral deA: (A) :=¦2C;ker(AIn)6=f0g©; (A) := max¦jj; 2(A)©: Afin de localiser les valeurs propres d"une matrice, on se donnek kune norme subordonnée quel-

conque surMn(C), alors l"inégalité suivante permet de borner l"ensemble des valeurs propres dans le

plan complexe : (A) kAk: Un e xercice consiste à pr ouverqu"on a plus pré cisément (A) = inffkAk;k knorme subordonnéeg = lim k!1kAkk1=k: Attention cependant à ne pas assimiler(A)à une norme surMn(C)! Application à la localisation des racines d"un polynôme:

En s"appuyant sur lesmatrices compagnonsde polynômes et les normes matricielles explicites suivantes,

kAk1= maxjX ijaijj;kAk1= maxiX jjaijj;kAk2=È(A?A);

on obtient les estimations suivantes sur les racinesz2Cd"un polynômep2Cn[X]de coefficient dominant

égal à 1, respectivement dues initialement à Cauchy, à Montel, et à Carmichael-Mason :

ja0jja0j+ max(1;ja1j;:::;jan1j) jzj 1 + max(ja0j;:::;jan1j); ja0j1 +ja0j+:::+jan1j jzj max(1;ja0j+:::+jan1j); ja0j(1 +ja0j2+ja1j2+:::+jan1j2)1=2 jzj (1 +ja0j2+ja1j2+:::+jan1j2)1=2:

Un résultat élémentaire mais essentiel concerne le comportement des suites de puissances(Ak)k2N

et de la série(k2NAk)qui sont intrinséquement liés aux propriétés spectrales deA.

Proposition 4SoitA2Mn(C).

La suite(Ak)k2Nconverge vers 0 dansMn(C), et de manière équivalente la sériek2NAkest absolument convergente, si et seulement si(A)<1:

La suite(Ak)k2Nest bornée si et seulement si

(A)<1ou(A) = 1et82(A);jj= 1)est semi-simple:Démonstration (principe):Le premier point est unexercic eclassique. P ourle deuxième énoncé dans le

cas(A) = 1, on peut considérer le cas de blocs de Jordan associés à des valeurs propres de module1

(binôme de Newton surJk() =Ik+Jk(0)). Le détail est laissé enexercice .3

Valeurs propres

Application à la convergence d"une méthode linéaire récurrente:Les méthodes itératives pour la ré-

solution d"un système inversibleAx=breposent sur la définition d"une suite récurrente d"éléments deCn,

notés(xk)k0et définis à partir de la reformulation de l"équation sous forme d"équation de point fixe :

x=M1(Nx+b)avecA=MNetM2GLn(C): x 02Cn

8k0; xk+1=M1Nxk+M1b:

En pratique, on choisitMdiagonale (méthode de Jacobi) ou triangulaire (méthode de Gauss-Seidel) par

exemple, de sorte à ce que l"inversion deMxk+1=NXk+bsoit effectuée par un algorithme simple et rapide.

La convergence de la suite ainsi définie est garantie (et équivalente à) sous la condition(M1N)<1. On

peut le vérifier en notantek=xkxl"erreur à l"étapek0qui vérifie :ek= (M1N)k(x0x). Si on

souhaite garantir la convergence de(ek)k0vers 0 sans avoir à se soucier du choix de la donnée initiale

x

02Cn, il faut requérir que la suite matricielle(M1N)ktende vers 0 lorsquektend vers l"infini, ce qui est

équivalent à la propriété mentionnée.

Application à la stabilité d"une méthode linéaire récurrente:Considérons que la suite définie dans l"exemple

précédent soit imparfaitement calculée et entâchée d"erreurs (d"arrondi par exemple). Notons(yk)les éléments

réellement calculés, et0;0;1;:::2Cnces différentes erreurs avec : y

0=x0+02Cn

8k0; yk+1=M1Nyk+M1b+k:

On peut examiner la convergence de(yk)en s"intéressant à l"écartk=ykxk. On observe facilement que

k+1= (M1N)k+ket on obtient par récurrence la formule de Duhamel discrète suivante : k=Ak0+k1X j=0A k1jj: L"hypothèse(M1N)<1garantit qu"on peut se donner une norme subordonnéekksurMn(C)et la norme vectorielle attenante surCntelle que(M1N)C=kM1Nk<1et alors kkk k0ksup k2NkAkk+ sup j2NkjkX j0kAjk:

En conséquence, si les erreurs sont uniformément bornées, alors l"écart le sera également :

9C >0;8k0;kykxkk Ck0k+11Csup

jkjk:

À la limiteyk=x+ (xkx) + (ykxk)où le deuxième terme tend géométriquement vers 0, et le troisième

terme est borné par les erreurs d"arrondi. Observons ici que la constante(1C)1en facteur des erreurs

d"arrondi est d"autant plus grande queCest voisin de 1, i.e. lorsque la convergence de l"algorithme est lente.

Théorème 5 (de Hadamard)SoitA2Mn(C)une matrice à diagonale strictement dominante, i.e. telle que

8i2 f1;:::;ng;jaiij>X

j6=ijaijj: j6=ijaijj©. Alors (A)n[ i=1D i:4

Valeurs propres

àAI, si2(A)alorsAIn"est pas inversible et donc n"est pas à diagonale strictement dominante.

Ainsi il existe un indicei0tel que2Di0d"où2 [iDi.Démonstration du théorème de Hadamard:Par l"absurde, supposons qu"il existex2kerAavecx6= 0,

de ses coefficients (ou de continuité des valeurs propres en fonction des coefficients de la matrice). On

abordera plus loin une preuve de ce résultat utilisant le théorème de Rouché d"analyse complexe. Il suffit

alors d"appliquer ce principe au polynôme caractéristique de la matriceB(x)2Mn(C)définie à travers le

paramètrex2[0;1]par

B(x)ij=¨A

ij; i=j xA ij; i6=j: On a bien sûrB(1) =Aet(B(0)) =faii;1ing. Le relèvement continu des racines garantit qu"il existenfonctions continuesi: [0;1]!Ctelles quei(0) =aiiet[ifi(1)g=(A). xP j6=ijaijjgles disques correspondant : (B(x)) =[ ifi(x)g K(x) :=[ iD i(x): Chacune des applicationsx7!Di(x)et de même l"applicationx7!K(x)sont croissantes au sens de l"inclusion. En conséquence, si on noteI f1;:::;ngtel queM=[i2IDi(1)est une composante connexe deK(1), alors pour toutx2[0;1],[i2IDi(x)est aussi un sous-ensemble deM, totalement disjoint des

autres composantes connexes deK(1). En conséquence, les applications continues(i)i2I, qui sont à valeurs

dansK(1)et initialement dansM, sont également à valeurs dansMpour toutx2[0;1]. En particulier

fi(1)gi2IMqui contient donccard(I)valeurs propres deA(avec multiplicité).Cas des matrices irréductiblesLes résultats précédents admettent une version affaiblie dans le

cas de matrices à diagonale fortement dominante et irréductibles. On ne traitera pas ici ces propriétés

mais le lecteur pourra se reporter par exemple à [5, Sec. 4.5].

3 Continuité des valeurs propres

Certains résultats de cette partie sont une adaptation de la présentation du livre de D. Serre [5, Sec.

3.1.1]. Ils portent sur la continuité des valeurs propres.

Proposition 8SoitAune matrice deMn(C)supposée diagonalisable et soit2Cune valeur propre simple deA.

Alors il existe un voisinage ouvertVdeAdansMn(C)et une fonction:V !Cde classeC1telle que (A) =;

8B2 V; (B)2(B):5

Valeurs propres

Démonstration:La preuve repose sur l"emploi du théorème des fonctions implicites. Définissons l"applica-

tion suivante : :Mn(C)CCn!CCn (B;;Y)7!(kYk221;BYY)

Les zéros de cette application sont ni plus ni moins que les triplets(B;;Y)pour lesquelsest valeur propre

deBetYun vecteur propre associé unitaire. On se place au voisinage d"un triplet(A;;X)satisfaisant

aux hypothèses requises par la proposition. De sorte à mettre en oeuvre le théorème des fonctions implicites

pour exprimer ces zeros sous la forme(;Y) =(B), calculons la différentielle partielle de en le couple

(;Y): (A;+;X+Y) = (kX+Yk221;A(X+Y)(+)(X+Y)) = (kXk221;AXX) + (2X?Y;AYXY) +o(;Y) Ainsid(;Y) (A;;X) : (;Y)7!(2X?Y;AYXY)est un endomorphisme deCCndont on doit à présent simplement vérifier l"inversibilité. Supposons(;Y)2ker(d(;Y) (A;;X)). Alors2X?Y= 0etAYXY= 0. En appliquantAI à la deuxième égalité on obtient :(AI)2Y=(AI)X= 0puisqueXest vecteur propre. Ainsi Y2ker(AI)2= ker(AI)puisqueAest diagonalisable, etker(AI) =Vect(X)puisqueest valeur propre simple. Donc il existe2Ctel queY=X. La première équationX?Y= 0indique alors quekXk22= 0et donc= 0. Par suiteY= 0et= 0.

Le théorème des fonctions implicites s"applique et garantit l"existence d"ouvertsVdansMn(C),JdansC

etOdansMn(C), d"une fonction ayant la même régularité que , i.e. de classeC1, définie surVà valeurs

dansJ Otelle que

A2 V;(;X)2J O;

8(B;;Y)2 V J O; (B;;Y) = 0,(;Y) =(B):Le résultat précédent est seulement local, et tombe en défaut dès qu"on approche une matrice com-

portant par exemple un bloc de Jordan non-trivial, le contre-exemple suivant illustre cette observation.

Contre-exemple:On considère la fonction de classeC1(R;M2(R)), définie par x0‹ On a facilement :(A(x)) =fpx;+pxgsix0et(A(x)) =fipx;ipxgsix0. On observe que le spectre est continuement paramétrable au voisinage dex= 0mais pas de manièreC1. Dans la suite de cette partie, nous proposons une approche plus globale qui permet de démontrer

le résultat de continuité que l"on peut déjà observer sur le contre-exemple précédent. Bien sûr, en

contrepartie on n"obtiendra pas de résultat de régularité plus forte sur les valeurs propres comme par

la méthode précédente.

Lemme 9 (Une conséquence du théorème de Rouché)Soit un entiern2N. On munitCn[X]de la norme notéekk, obtenue parkPk= max0jnjpjjoù

les(pj)sont les coefficients dePdans la base canonique. FixonsP2Cn[X]etx2Cune de ses racines, de multiplicité notée2N?. Notons >0la distance dexà l"ensemble des autres racines dePetD=fz2C:jzxj goù

2]0;[est fixé.

Alors il existe >0tel que tout polynômeQ2Cn[X]à distance au plusdePcompte exactement

racines dansD(avec leur multiplicité).Démonstration:Avec les hypothèses annoncées, notons

le lacet orienté correspondant à la frontière@D.

PuisquePne s"annule pas sur

et que est un domaine borné, il existe deux constantes >0et >0 telles que 8z2 jP(z)j ;nX j=0jzjj: 6

Valeurs propres

Par ailleurs par des majorations élémentaires on obtientjP(z)Q(z)j kPQkde sorte que pourvu que l"on choisisse >0vérifiant < =alors pour toutz2 et toutQ2Cn[X]tel quekPQk : jP(z)Q(z)jLe théorème de Rouché assure alors que le nombre de zéros dePetQdansDsont égaux.Une difficulté subsiste pour en arriver à la continuité des valeurs propres, qui concerne la topologie

avec laquelle on travaille sur les spectres, afin de tenir compte des éventuelles multiplicités. Pour ce

faire, on définit l"application~qui à une matriceA2Mn(C)associe len-uplet~(A)2Cnde ses

valeurs propres, chacune étant répétée avec sa multiplicité algébrique. Afin de supprimer l"arbitraire,

on se place plutôt au niveau du quotientCn=deCnpar la relation d"équivalence induite par les permutations d"indices. Autrement dit : étant donnésa;b2Cn,absi et seulement si il existe une permutationsdef1;:::;ngtelle que pour touti,as(i)=bi, on note alorscl(a)la classe d"équivalence correspondante.

Le résultat de continuité ne concerne pas à proprement parler l"application de spectremais plutôt

celle qui àAassocie la classe d"équivalencecl(~(A))qui tient compte des multiplicités algébriques

éventuelles. Il reste à préciser la topologie pour laquelle on est en mesure de quantifier le résultat.

On munitCn=de la distance suivante, qui est la restriction de la distance de Hausdorff sur les parties deCaux ensembles ànéléments avec répétition. Étant donnésa;b2Cn=, d

H(a;b) = mins;t2nmax1injas(i)bt(i)j:

Un corrolaire de la proposition précédente est le suivant :

Théorème 10 (Continuité des valeurs propres)L"applicationcl(~())est continue deMn(C)muni de la topologie induite par une norme (subordon-

née par exemple), dansCn=muni de la topologie pour la distancedH.Démonstration:L"application:Mn(C)!Cn[X]qui à une matrice associe son polynôme caracté-

ristique est clairement continue, en particulier en munissantCn[X]de la topologie induite par la dis-

tanced(P;Q) =kPQkintroduite précédemment. Fixons désormais un polynômeP2Cn[X]et notons = minfjxyj; P(x) =P(y) = 0; x6=ygla plus petite distance entre deux de ses racines.

Soit >0qu"on peut supposer inférieur à=3. D"après le lemme précédent, pour toute racinexdeP,

il existe alorsx>0tel que pour tout polynômeQ2Cn[X]vérifiantkPQk< xl"ensembleD(x;)

contient autant de zéros dePavec multiplicité (i.e. seulementxavec sa multiplicité algébriquex) que de

zéros deQcomptés avec multiplicité. Pour s"abstraire de la dépendance apparente enx, on peut retenir= minxxde sorte que pour tout polynômeQ2Cn[X]vérifiantkPQk< , chacun des ensembleD(x;)contienne autant de zéros de

Qque de zéros deP(i.e.x). Par ailleurs, en comptant les racines ainsi constituées,Qn"admet pas de

racines en dehors desD(x;), oùxdécrit les racines deP.

Par conséquent en notantZPlen-uplet des zéros dePavec multiplicité etZQcelui deQ, on peut majorer

lemins;t2npar le choix de permutation obtenue via la propriété précédente, à savoir : dquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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