Trigonalisation des matrices carrées
Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis- 4. L2PC Chapitre 1. Diagonalisation. Exemples. (1) Soit la matrice.
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
7.1.4 Théor`eme (Théor`eme de trigonalisation). o`u ni désigne l'ordre de multiplicité de la valeur propre ?i dans le polynôme caractéristique.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
exemple 4 : A a une valeur propre triple et un espace propre associé de dimension 1. Trigonaliser la matrice :...
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
4). Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure nous.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . 20 Le groupe GLn(K) est appelé le groupe linéaire des matrices d'ordre n.
Feuille de TD n 2 Supplémentaires trigonalisation
https://webusers.imj-prg.fr/~alexandru.oancea/2020-L2-LU2MA123/2MA123_TD2_FINAL_solutions.pdf
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. E2 est donc la droite vectorielle engendrée par v2 = (4 3
Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de
Diagonalisation et trigonalisation. Exercice 1 Soit A la matrice carrée d'ordre 3 telle que. 4A =.. ?3 4 3. 1. 0 3. ?1 4 1.
CAPES Algèbre linéaire Trigonalisation
(a) Montrer que si u est un endomorphisme nilpotent d'ordre r ? 1 Application : Trigonaliser les matrices suivantes :.
Forme normale de Jordan dune matrice
on commence par trigonaliser A c'est-à-dire par fabriquer une matrice P? telle valeur propre d'ordre 4
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Exercices de diagonalisation des matrices - LesMath
Cet exemple sera juste abord´e voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d’ordre 4 D’abord on remarque que (???Id)4 = 0 • La matrice I 4 • Si dim(E ?) = 1 alors il existe P telle que P?1AP = J 4(?) On trouve une base de Jordanisation en cherchant u tel que (???Id)3(u) 6= 0 • Si dim(E
Trigonalisation - Ensah-community
car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure Exercice 11 : [énoncé] a) u admet une valeur propre ? et le sous-espace propre associé est stable par v Cela assure que u et v ont un vecteur propre en commun e 1 On complète celui-ci en une base (e 1e 2 en) Les matrices de u et v
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Dans ce cas il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n ?1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses)etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à la?n «Dans »cettebase la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 ? 7 1 ?6 ?10 1 ?7 det(A??I3)= ¯ ¯ ¯
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Comment définir une matrice unité d'ordre?
Puisque les matrices peuvent être multipliées à la seule condition que leurs types soient compatibles, il y a des matrices unité de tout ordre. In est la matrice unité d'ordre n et est donc définie comme une matrice diagonale avec 1 sur chaque entrée de sa diagonale principale.
Comment noter les coefficients de la matrice unité d'ordre ?
Il est possible aussi de noter les coefficients de la matrice unité d'ordre n avec le symbole de Kronecker ; le coefficient de la i -ème ligne et j -ème colonne s'écrit : Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est trivialement déterminé par le contexte, nous pouvons la noter simplement I.
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE
L2 Mathematiques.
Mathematiques: ALGEBRE LINEAIRE II
Cours Elisabeth REMM
Chapitre 3Trigonalisation des matrices carrees
1.Matrices trigonalisables
1.1.Matrices triangulaires.Denition 1.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.
Elle est dite triangulaire superieure si elle est de la forme (1)T=0 B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej < i.Par exemple, toute matrice diagonale est triangulaire superieure. Denition 2.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC. Elle est dite triangulaire inferieure si elle est de la forme T=0 B BBB@a1;10 00 0
a2;1a2;200 0..................
a n1;1an1;2an1;3an1;n10 a n;1an;2an;3an;n1an;n1 C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej > i.12 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Pour simplier le langage, lorsque nous parlerons de matrice triangulaire, il s'agira de ma-trices triangulaires superieures. L'autre cas sera donc toujours precise.Proposition 1.Toute matrice triangulaire deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres
distincres ou confondues. SiTest la matrice triangulaire (1), ses valeurs propres sont k=ak;k,k= 1;n:Demonstration.En eet, le polyn^ome caracteristique de (1) est det(TXIn) = det0 B BBB@a1;1X a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2X a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1X an1;n
0 0 00an;nX1
C CCCAEn developpant ce determinant, on obtient
det(TXIn) = (a1;1X)(a2;2X)(an1;n1X)(an;nX): Les racines de ce polyn^omes sont donca1;1;a2;2;;an;n:1.2.Matrices trigonalisables.Denition 3.SoitM2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.
Elle est dite trigonalisable si elle est semblable a une matrice triangulaire, c'est-a-dire, s'il existe une matrice inversiblePtelle queT=P1MP=0
B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
CCCCAOn en deduit
Proposition 2.Toute matrice trigonalisable deMn(K)admet toujoursnvaleurs propresdistincres ou confondues.Une grande partie de ce chapitre est destinee a etudier la reciproque de cette proposition.
Elisabeth Remm 3
2.Trigonalisation des matrices carrees complexes
Le resultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:Theoreme 1.Toute matrice complexeM2 Mn(C)est trigonalisable.Demonstration.Demontrons par recurrence surn?1?
(1) Toute matrice carree complexe d'ordre 1 s"ecritM= (a1;1d. Elle est donc trigonalisble. (2) Soitn1 xe. Supposons que toute matrice complexe d?ordren?1 soit trigonalis- able. Considerons une matriceM2 Mnn+ 1(C). Nous avons vu, dans le cahpitre precedent, que toute matrice complexe d'ordrepadmettaitpvaleurs propres distinctes ou confondues. AinsiMadmetn+ 1 valeurs propres disctinctes ou pas. Soitune valeur propre deM. Il existe un vecteur propre non nulv6= 0 attache a ?: Mv=v: Commevest non nul, nous pouvons completer la famillefvgen une baseB=fv= e1;e2;;en+1gdeCn+1. SoitPla matrice inversible obtenue en mettant en colonnes
les vecteursv=e1;e2;;en+1. CommeMv=v;la matrice semblable M1=P1MP
est de la forme0 BBBB@ a
1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0an1;2an1;3an1;n1an1;n
0an;2an;3an;n1an;n1
C CCCA SoitNla matrice complexe d'ordrendenie a partir deM1: N=0 B B@a2;2a2;3a2;n1a2;n...............
a n1;2an1;3an1;n1an1;n a n;2an;3an;n1an;n1 C CA D'apres l'hypothese de recurrence, il existe une baseB1=fv1;;vngdeCntelle que siQest la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteursvi, la matrice d'ordren N1=Q1NQ
soit triangulaire (superieure). Considerons la matriceP1d'ordren+ 1 denie par P1=1 0nt0nQ
ou 0 n= (0;0;;0), alors M2=P11M1P1= B
t0nN1 avecB= (b1;;b1;3;;b1;n+1). On en deduit queM2est une matrice triangulaire. (3) La propriete est donc vraie a l'ordren+ 1. Elle est vraie quel que soitn1.4 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Exemples
(1) Soit la matrice M=0 @13 4 47 867 71
A
Son polyn^ome caracteristique est
CM(X) =(X+ 1)2(X3):
Les valeurs propres sont1= 3, racine simple et2=1, racine double. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;2;2). L'espace propre associe a la valeur double2est de dimension 1 et engendre par le vecteur v2= (1;2;1). La matrice n'est donc pas diagonalisable. Pour trigonaliser la matrice,
il sut de completer la famille librefv1;v2gen une base deC3. Soitv3= (1;0;0) (ce choix est loin d'^etre unique). La famillefv1;v2;v3gest bien une base. La matrice de changement de base est P=0 @1 1 1 2 2 02 1 01
A qui est de determinant2 donc non nul, ce qui montre bien que la famillefv1;v2;v3g est une base. La matrice semblableT=P1MPs'ecrit T=0 @3 0a 01b 0 011 A (les valeurs propres sont sur la diagonale). On peut calculer les parametresaetbsoit en calculantP1MP, soit plus simplement, en ecrivant que0 @13 4 47 867 71
A0 @1 0 01 A =a0 @1 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
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