[PDF] Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de

View - Download Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de

Previous PDF

Next PDF

Universit´e Paris DiderotMA3 - Ann´ee 2010/11

D´epartement de Sciences ExactesL2 Mass

Feuille d"exercices n

◦6 : Diagonalisation et trigonalisation de matrices; applications

Diagonalisation et trigonalisation

Exercice 1SoitAla matrice carr´ee d"ordre 3 telle que 4A=(( -3 4 3 1 0 3 -1 4 1))

1) D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

2) En d´eduire le calcul deAn.

3) D´eterminer les vecteursx?R3tels que la suite de vecteurs (Anx)n?1converge dansR3. Quelle est alors la

limite de cette suite? Exercice 2Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est A=(( 0 1 0 -4 4 0 -2 1 2))

1. Calculer le polynˆome caract´eristique deA. Montrer quefest trigonalisable surR. L"endomorphismef

est-il diagonalisable surR?

2. Trouver une matrice inversiblePet une matrice triangulaire sup´erieureTtelles queA=PTP-1.

sup´erieure.

3. On cherche `a calculer les puissancesTnpour tout entiern?0.

(a) Montrer queTpeut s"´ecrire sous la formeT=λ(Id+N), o`uλest un r´eel etNest une matrice

v´erifiantN2= 0. (b) On rappelle que la formule du binˆome (A+B)n=n? k=0C knAkBn-k

est valide pour deux matrices carr´ees et de mˆeme ordreAetBquicommutent, c"est-`a-dire v´erifiant

AB=BA. En d´eduire une expression simple pourTnpour tout entiern?0.

4. En d´eduire une expression pourAnpour tout entiern?0.

Exercice 3SoitA=?2-1

3-1?

1. V´erifier par un calcul direct queA3=-I. En d´eduire une expression deAn.

2. Retrouver ce r´esultat en diagonalisant (surC) la matriceA.

Exercice 4[suite r´ecurrente lin´eaire d"ordre 2, cas diagonalisable]

I.Structure des solutions d"une ´equation de r´ecurrence lin´eaire d"ordre2.On consid`ere l"ensembleSdes

suites (un)n?0`a valeurs r´eelles.

1. Montrer queSforme un espace vectoriel. On pr´ecisera quelles sont les op´erations d"addition et de multi-

plication par un scalaire, ainsi que le vecteur nul.

2. On consid`ere l"´equation de r´ecurrence suivante, pourune suite (un)n?0de r´eels :

?n?N, un+2=un+3

2un+1.(1)

Montrer que l"ensembleEdes suites (un)n?0qui v´erifient l"´equation de r´ecurrence (2) est un sous-espace

vectoriel deS.

3. Donner une base deEet en pr´eciser la dimension.Indication :on pourra v´erifier que l"applicationf:

E→R2d´efinie parf(u) = (u0u1) est un isomorphisme. II. ´Etude matricielle.Consid´erons la matrice `a coefficients r´eels :

A=?0 113

2?

1. Montrer que la matriceAest diagonalisable surR. Trouver une matrice inversibleP?M2(R) telle que

la matriceP-1APest diagonale, et calculerAnpour tout entiern?1.

2. Soit (un)n?0une suite `a termes r´eels. Pour toutn?N, posonsXn=?unu

n+1?. Montrer que (un)n?0v´erifie l"´equation de r´ecurrence (2) si et seulement siXn+1=AXnpour tout entiern?0.

3. En d´eduire l"expression deunen fonction den,u0etu1.

4. SoitFle sous-espace vectoriel deEform´e des suites (un)n?0telles que la s´erie?unest convergente.

Quelle est la dimension deF?

Exercice 5[suite r´ecurrente lin´eaire d"ordre 2, cas trigonalisable] Soita?R. On consid`ere la matrice `a

coefficients r´eels suivante :

A=?0 1

-a1 +a? On noteEleR-espace vectoriel des suites (un)n?0de nombres r´eels telles que ?n?0, un+2= (1 +a)un+1-aun.

1. Montrer que la matriceAest trigonalisable surRpour toute valeur dea, et queAest diagonalisable sur

Rsia?= 1.

2. On suppose dans cette question quea?= 1.

(a) Trouver une matrice inversiblePtelle queA=PDP-1, o`uDest une matrice diagonale. Que devient la base de vecteurs propres deAlorsquease rapproche de la valeur 1? (b) CalculerAn, pour toutn?N(en supposant toujoursa?= 1). Trouver une base du sous-espace vectorielFdes suites born´ees deE.

3. On consid`ere maintenant le casa= 1, et on se propose de calculer par deux m´ethodes la valeur deAn

pour toutn?1.

(a)Premi`ere m´ethode : calcul alg´ebrique.Trouver une matrice inversiblePtelle queA=PTP-1, o`u

Test une matrice triangulaire sup´erieure. Donner l"expression deTnpour tout entiern?1, et en d´eduire l"expression deAn.Indication :on calculera d"abordT2etT3, pour proposer une expression deTnqu"on prouvera rigoureusement par r´ecurrence.

(b)Deuxi`eme m´ethode : argument de continuit´e.Montrer que la matriceAn, vue comme fonction du

param`etrea, est continue ena= 1. Utiliser l"expression calcul´ee pr´ec´edemment deAn, poura?= 1,

pour en d´eduire la valeur deAnpoura= 1. (c) Donner dans le casa= 1 une base du sous-espace vectorielFdes suites born´ees deE.

Exercice 6Soitnun entier positif, et soitEleR-espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou

´egal `an.

1. Rappeler pourquoiCE= (1,X,···,Xn) est une base (souvent appel´ee canonique) deE.

2. SoitPun ´el´ement deE. Montrer que (X2-1)P??+ (2X+ 1)P??E.

3. Soitfl"application deEd´efinie parf(P) = (X2-1)P??+ (2X+ 1)P?.

(a) Montrer quefest un endomorphisme deE, et ´ecrire sa matrice dans la baseCE. (b) D´eterminer les valeurs propres def. L"endomorphismefest-il diagonalisable? (c) On prend dans cette questionn= 3. Calculer une base de vecteurs propres def.

Application aux syst`emes diff´erentiels

Exercice 7[utilisation de l"exponentielle de matrice] On reprend dans cet exercice des notions vues en cours.

1. LorsqueAest diagonale, exprimer la matrice exp(tA), pour toutt?R.

2. Plus g´en´eralement siA=?A10

0A2? , montrer que exp(tA) =?exp(tA1) 0

0 exp(tA2)?

3. SupposonsA=αI+TavecTtriangulaire sup´erieure avec des z´eros sur la diagonale.Montrer queTm= 0,

o`umest la taille de la matrice, et la formule exp(tA) =etαm-1? k=0T k k!.

4. Montrer que siA=PBP-1alors exp(A) =Pexp(B)P-1.

5. D´eduire des questions pr´ec´edentes un proc´ed´es de calcul de exp(tA).

6. SoitX0un vecteur deRn. Montrer que

X(t) = exp(tA)X0

est solution de l"´equation diff´erentielle matricielle suivante : X ?=AX, X(0) =X0. Exercice 8[syst`eme diagonalisable] On consid`ere le syst`eme diff´erentiel suivant : (E)???x ?= 8x-18y+ 27z y ?=-3x+7 2y-6z z ?=-4x+ 7y-11z avec les conditions initiales : x(0) =x0, y(0) =y0, z(0) =z0. 1.

´Ecrire le syst`eme (E) ci-dessus sous la formeX?=AX, pour une certaine matriceAde taille 3×3 `a

coefficients r´eels qu"on d´eterminera, et o`uX(t) est le vecteur de coordonn´ees :

X(t) =((

x(t) y(t) z(t)))

2. Remarquer que les vecteursv1=?

-3 211?
, v 2=? 03 21?
, v

3=?121?

,sont vecteurs propres deA, associ´es aux valeurs propres 2,-1

2et-1. En d´eduire une matrice inversiblePet une matrice diagonaleDtelles

queA=PDP-1.

3. On poseX(t) =PY(t). Montrer queXest solution du syst`eme (E) si et seulement si les coordonn´eesu,

vetwdeYsont solutions d"un syst`eme diff´erentiel diagonal. Traduire les conditions initiales surx,yet

zen condition initiale surY.

4. Donner l"expression deY(t) en r´esolvant le syst`eme diagonal, et en d´eduire l"expression dex,yetz.

5. Donner l"expression deY(t) en calculant exp(tA).

Exercice 9[syst`eme trigonalisable]

I.Rappel sur la r´esolution des ´equations diff´erentielles affines par la m´ethode de variation de la constante.

Soit l"´equation diff´erentielle `a r´esoudre : x ?(t) = 2x(t) +f(t).(2) o`ufest une fonction de classeC1surR.

1. Soitxetydeux solutions de l"´equation (2). Montrer que la fonctionx-yest solution de l"´equation

diff´erentielle lin´eaire suivante : z ?= 2z.(3)

2. En d´eduire que toute solutionxde l"´equation (2) s"´ecrit sous la formex(t) =z(t) +r(t), o`urest une

solution fix´ee de (2), ditesolution particuli`ere, et o`uzparcourt l"ensemble des solutions de (2).

3. Chercher une solution particuli`ere de (2) sous la former(t) =k(t)exp(2t). En d´eduire la solution de (2)

satisfaisant la condition initialx(0) =x0.

4. R´esoudre le mˆeme syst`eme diff´erentiel en calculant exp(tA).

II.R´esolution d"un syst`eme diff´erentiel non diagonalisable.

1. Soit le syst`eme diff´erentiel suivant :

(E)?????x ?=x+y+z y ?= 2y+ 2z z ?=x-y+ 3z Exprimer le syst`eme (E) sous la formeX?=AX, o`uAest une matrice 3×3 `a coefficients r´eels.

2. Trouver une matrice inversiblePet une matrice triangulaire sup´erieure telles queA=PTP-1.

3. En posantY=P-1X, montrer que les coordonn´eesu,vetwdeYsatisfont un syst`eme diff´erentiel

triangulaire. R´esoudre ce syst`eme triangulaire en utilisant la m´ethode de la variation de la constante.

4. En d´eduire l"expression de l"unique solutionx,y,zdu syst`eme (E) satisfaisant les conditions initiales

x(0) =y(0) =z(0) = 1.

5. R´esoudre le mˆeme syst`eme diff´erentiel en calculant exp(tA).

Exercice 10Soit un syst`eme diff´erentiel lin´eaire `a coefficients constants donn´e par une matrice de taillen×n:

X ?(t) =AX(t).

On consid`ere les propri´et´es suivantes.

(S) Stabilit´e : pour toutes les solutions on a lim t→+∞X(t) = 0. (B) Toutes les solutions restent born´ees quandttend vers l"infini. Pouvez-vous caract´eriser ces propri´et´es en terme des valeurs propres de la matriceA?quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

[PDF] trigonaliser une matrice exemple

[PDF] trigonalisation méthode de jordan

[PDF] trigonalisation matrice 3x3

[PDF] qu'est ce qu'internet definition

[PDF] diagonalisation et trigonalisation des endomorphismes

[PDF] qu'est ce qu'internet pdf

[PDF] valeur propre xcas

[PDF] socialisme pdf

[PDF] principes du communisme engels

[PDF] difference entre capitalisme socialisme et communisme

[PDF] le communisme pour les nuls

[PDF] capitalisme pdf

[PDF] différence entre socialisme et communisme

[PDF] gluten de blé farine

[PDF] blé gluten pourcentage