Trigonalisation des matrices carrées
Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis- 4. L2PC Chapitre 1. Diagonalisation. Exemples. (1) Soit la matrice.
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
7.1.4 Théor`eme (Théor`eme de trigonalisation). o`u ni désigne l'ordre de multiplicité de la valeur propre ?i dans le polynôme caractéristique.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
exemple 4 : A a une valeur propre triple et un espace propre associé de dimension 1. Trigonaliser la matrice :...
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
4). Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure nous.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . 20 Le groupe GLn(K) est appelé le groupe linéaire des matrices d'ordre n.
Feuille de TD n 2 Supplémentaires trigonalisation
https://webusers.imj-prg.fr/~alexandru.oancea/2020-L2-LU2MA123/2MA123_TD2_FINAL_solutions.pdf
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. E2 est donc la droite vectorielle engendrée par v2 = (4 3
Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de
Diagonalisation et trigonalisation. Exercice 1 Soit A la matrice carrée d'ordre 3 telle que. 4A =.. ?3 4 3. 1. 0 3. ?1 4 1.
CAPES Algèbre linéaire Trigonalisation
(a) Montrer que si u est un endomorphisme nilpotent d'ordre r ? 1 Application : Trigonaliser les matrices suivantes :.
Forme normale de Jordan dune matrice
on commence par trigonaliser A c'est-à-dire par fabriquer une matrice P? telle valeur propre d'ordre 4
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Exercices de diagonalisation des matrices - LesMath
Cet exemple sera juste abord´e voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d’ordre 4 D’abord on remarque que (???Id)4 = 0 • La matrice I 4 • Si dim(E ?) = 1 alors il existe P telle que P?1AP = J 4(?) On trouve une base de Jordanisation en cherchant u tel que (???Id)3(u) 6= 0 • Si dim(E
Trigonalisation - Ensah-community
car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure Exercice 11 : [énoncé] a) u admet une valeur propre ? et le sous-espace propre associé est stable par v Cela assure que u et v ont un vecteur propre en commun e 1 On complète celui-ci en une base (e 1e 2 en) Les matrices de u et v
Searches related to trigonaliser une matrice dordre 4 PDF
Dans ce cas il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n ?1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses)etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à la?n «Dans »cettebase la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 ? 7 1 ?6 ?10 1 ?7 det(A??I3)= ¯ ¯ ¯
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Comment définir une matrice unité d'ordre?
Puisque les matrices peuvent être multipliées à la seule condition que leurs types soient compatibles, il y a des matrices unité de tout ordre. In est la matrice unité d'ordre n et est donc définie comme une matrice diagonale avec 1 sur chaque entrée de sa diagonale principale.
Comment noter les coefficients de la matrice unité d'ordre ?
Il est possible aussi de noter les coefficients de la matrice unité d'ordre n avec le symbole de Kronecker ; le coefficient de la i -ème ligne et j -ème colonne s'écrit : Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est trivialement déterminé par le contexte, nous pouvons la noter simplement I.
1 Triangularisation
SoientEun espace vectoriel de dimensionnet?un endomorphisme deEde matrice Adans une base donn´ee. On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit1,...,λnles valeurs propres (non n´ecessairement 2 `a 2 distinctes).
Th´eor`eme 1.1.Il existe une base telle queP´etant la matrice de changement de base la matriceP-1APestr triangulm`ere sup´erieure. P -1AP=(1?...?
0λ2?...?
0...0λi? ?
0...0λn)
La d´emonstration fournit une m´ethode de triangularisation. On va donc en donner les grandes lignes. Elle est bas´ee sur une m´ethode de r´ecurrence. On suppose donc que l"on sait d´emontrer le th´eor`eme `a l"ordren-1. Puis on cherche une valeur propreλet un vecteur propreede l"endomorphisme associ´e (ou ce qui est´equivalent de la matriceA).
On compl`ete en une base deE: (e,v2,...,vn). La matrice de?est dans cette base de la forme : ?λ L 0B?Soit siPest la matrice de passage
P -1AP=?λ L 0B? On applique `a la matriceB(n-1,n-1) l"hypoth`ese de r´ecurrence. C"es-`a-dire que l"on peut trouver des vecteursw2,...,wn(qui forment une base du sous-espace engendr´e par v2,...,vn) tels que si on noteP?la matrice de passage de (v2,...,vn) `a (w2,...,wn) la
matriceP?-1BP?est triangul`ere. Donc ?1 00P?-1?
P -1AP?1 0 0P?? =?1 00P?-1??λ L
0B?? 1 0 0P?? Soit ?1 00P?-1?
P -1AP?1 0 0P?? =?λ LP?0P?-1BP??
qui a les propri´et´es requises. 12 R´eduction de Jordan en dimension2et3
On va donner une autre mani`ere de proc´eder dans des cas particuliers. D"abord : D´efinition 2.1.On appelle r´eduite de JordanJk(λ)la matrice(k,k): ((((λ1 0...0λ1...
...0λ10...0λ)
Une matriceA(2,2), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable a une valeur propre doubleλ. Proposition 2.2.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente il existePtelle queP-1AP=J2(λ). On dira qu"on a jordanis´e la matrice. Une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suivante. On choisit un vecteurvtelle quew= (?-λId)(v)soit non nul. Alors(w,v) (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. On notera que comme on a suppos´eAnon diagonalisable on a ´elimin´e le casA=λI2qui a une valeur propre double. Pour une matriceA(3,3), ou un endomorphisme?, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n"est pas diagonalisable on a deux situations possibles : •Une valeur propre tripleλ. •Une valeur propre doubleλet une valeur propre simpleμ. Proposition 2.3.Sous l"hypoth`ese pr´ec´edente : Dans le premier cas on a toujours(?-λId)3= 0, par Caley Hamilton et par hypoth`ese ??=λId. •Sidim(Eλ) = 1il existePtelle que P -1AP=J3(λ) dim(Eλ) = 1ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2?= 0. •Sidim(Eλ) = 2il existePtel que P -1AP=?J2(λ) 00λ?
ceci a lieu si et seulement si(?-λId)2= 0. Pour le premier sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurwtel queu= (?-λId)2(w)soit non nul. Alors(u,v,w), avecv= (?-λId)(w), (dans l"ordre) est une telle base. On notera quewest un vecteur propre. Pour le second sous cas une base de Jordanisation est obtenue de la mani`ere suiv- ante. On choisit un vecteurvtel queu= (?-λId)(v)soit non nul. Alorsuest un vecteur propre. On compl`eteuen une base deEλparw,(u,v,w), (dans l"ordre) est la (une) base had oc. 2 •Dans le second cas on peut trouverPtelle que P -1AP=?J2(λ) 00μ?
On cherche un vecteurwpropre associ´e `aμ. Puis on cherche une base de¯Eλ= ker(?-λId)2. Par hypoth`ese ce sous-espace est de dimension2etdim(Eλ) = 1. On cherche un vecteurvde¯Eλtel queu= (?-λId)(v)?= 0,(u,v,w)fournit la base cherch´ee.Voici un exemple, soit la matriceA:
(2-2 2 2 2 21 1 2)
2 est valeur propre triple, le sous espace propre est de dimension 1, (1,1,-1) est vecteur
propre. On cherche un vecteur?wdeR3tel que (A-2I3)2(?w)?= 0. On peut prendre le vecteur u3= (0,0,1). Auquel cas on poseu2= (A-2I3)(u3) = (2,2,0) etu1= (A-2I3)(u2) =
(-4,4,4) et (u1,u2,u3) forment une base de jordanisation. Comme application on peut calculerAnpour tout entiern,n≥0. On poseN=A-2I3. On sait queN3= 0 (Caley Hamilton ou on fait un calcul direct). On ´ecrit A n= (2I3+N)n= 2nI3+n2n-1N+n(n-1)22n-2N2 par application de la formule de Newton, en utilisantN3= 0. CommeN2est ´egale `a (-2 2-4 2-2 42-2 4)
on laisse au lecteur le soin d"´ecrire les formules finales.Voici un autre exemple, soit la matriceA:
(1 0 1 -1 2 11-1 1)
1 est valeur propre double, 2 est valeur propre simple.
Le vecteure3= (1,0,1) est vecteur propre associ´e `a 2. Le vecteure3= (1,1,0) est vecteur propre associ´e `a 2,E1est de dimension 1. On cherche une base du sous-espace¯E2= ker(?-2Id)2. On constate quee1= (0,0,1) ete2= (1,0,1) forment une telel base et que (?-2Id)(e2) =e1.On a la base souhait´ee.
33 Sous-espaces caract´eristiques
Si?est un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionndont le polynˆome caract´eeistique est scind´e : c ?(X) = (-1)n(X-λ1)α1...(X-λr)αravec lesλi2 `a 2 distincts on d´efinit le sous-espace caract´erisqtique associ´e `aλipar
Eλi= ker(?-λiId)αi
Il est clair que
Eλi?¯Eλi
On admettra
E=¯Eλi?¯Eλ2?...?¯Eλr
4 Jordanisation en dimension4
Cet exemple sera juste abord´e, voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d"ordre 4. D"abord on remarque que (?-λId)4= 0. •La matriceI4. •Si dim(Eλ) = 1 alors il existePtelle queP-1AP=J4(λ). On trouve une base de Jordanisation en cherchantutel que (?-λId)3(u)?= 0. •Si dim(Eλ) = 2 alors il y a deux sous cas, soit (?-λId)2= 0. existePtelle que P -1AP=?J2(λ) 00J2(λ)?
On trouve une base de Jordanisation en cherchant deux vecteurs ind´ependantsxet vtel queu= (?-λId)(x)?= 0 etw= (?-λId)(v)?= 0, (w,v,u,x) est la base cherch´ee. soit (?-λId)2?= 0; alors il existePtelle que P -1AP=?J3(λ) 00λ?
On trouve une base de Jordanisation en cherchant un vecteurutel quew= (?- λId)2(u)?= 0, on posev= (?-λId)(v), on compl`ete la base du sous-espace propre parx, (w,v,u,x) est la base cherch´ee. •Enfin si dim(Eλ) = 3 alors il existePtelle que P -1AP=( (J2(λ) 0 0
0λ0
0 0λ)
On se reportera au cas (3,3).
45 Classification des matrices r´eelles et complexes(2,2)
r´ecapitulatifFaire le r´ecapitulatif au tableau.
6 Exponentielle de matrices
Cette section est rajout´ee ici en compl´ement en fin de l"alg`ebre lin´eaire. Etant donn´ee
une matrice carr´eeA(n,n) on poseAk= (a(k) i,j Proposition 6.1.Pour toute matriceAet tout(i,j)la s´erie num´erique de terme g´en´eral (index´e park)a(k) i,jk!converge absolument. D´efinition 6.2.La matriceeA= exp(A)est donn´ee par exp(A) = (? k≥0a (k) i,jk!) exp(( 10...0λ20...
...0λn) ((eλ10...
0eλ20...
...0eλn) •SiAB=BAalors exp(A+B) = exp(A)exp(B) = exp(B)exp(A) (exp(A))-1= exp(-A) exp(P-1AP) =P-1exp(A)P ddt(exp(tA)) =Aexp(tA) •Calculer exp(Nk). •Montrer que expJk(tλ) =etλ( (((((((((1tt22...tii!...tk-1(k-1)!0 1t ...tk-2(k-2)!
0... ... ... ...
0...1tt220... ...1t
0... ... ...1)
5quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] trigonalisation méthode de jordan
[PDF] trigonalisation matrice 3x3
[PDF] qu'est ce qu'internet definition
[PDF] diagonalisation et trigonalisation des endomorphismes
[PDF] qu'est ce qu'internet pdf
[PDF] valeur propre xcas
[PDF] socialisme pdf
[PDF] principes du communisme engels
[PDF] difference entre capitalisme socialisme et communisme
[PDF] le communisme pour les nuls
[PDF] capitalisme pdf
[PDF] différence entre socialisme et communisme
[PDF] gluten de blé farine
[PDF] blé gluten pourcentage
