Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps PDF

exercice e de montrer qu'il n'exie pas de tribu A infinie dénombrable. Soit (EA) un ... Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé :.

12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Corrigé 27 (Mesure atomique mesure diffuse). Soit (E

L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

B} et on dit que T est la tribu de Ω induite par la tribu B de E. 2) Exemple : Ω Calculer pour chacune de ces mesures les mesures des ensembles suivants :.

1 Tribus

Correction exercice 6 : Si les An sont de mesure fini alors l'égalité est bien vrai. Il faut donc considérer une suite de An décroissantes de mesure infini.

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Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X

MESURE INTEGRATION

https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/thierry.gallouet/licence.d/mes-int-pro.pdf

MESURE et INTEGRATION

26 juil. 2004 ... Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 2 Tribus ... Corrigés d'exercices. 11.1 ...

Feuille 2

Décrire la tribu engendrée par les parties finies de X. Exercice 5. a) Soit A = {A1

Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

corrigé d'exercice. Le barème n'est donné qu'à titre indicatif ... En particulier λd désigne la mesure de Lebesgue sur Rd muni de sa tribu borélienne Bor(Rd).

Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé : . On remarque que x ? ?x pour tout x ? E donc. ?.

L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Donc f?1(P(E) est engendré par A et est la tribu : {A AC

Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020). Exercice 1. Soit X un ensemble et A?P(X) un ensemble de parties de X. (1) Montrer que si A est une tribu

12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

d'apr`es l'exercice précédent on en déduit que T est une tribu. —————————————————————————————– Corrigé 21 (Mesure trace et restriction d'une mesure).

Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS

La théorie de la mesure est l'outil utilisé pour modéliser le hasard. 2.1 Tribus et mesures. 2.1.1 Tribus. Dans la suite on utilisera un ensemble ? que

Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS

La théorie de la mesure est l'outil utilisé pour modéliser le hasard. 2.1 Tribus et mesures. 2.1.1 Tribus. Dans la suite on utilisera un ensemble ? que

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Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X

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Mesure et Intégration

Les chapitres de ce polycopié se terminent par des exercices corrigés puisés dans mesure extérieure et en particulier la mesure de Lebesgue sur la tribu ...

Théorie de la mesure et intégrationUniversité de Genève (1) Mon trerq uesi Aest une tribu, alorsAest une algèbre d"ensembles. Correction :On suppose queAest une tribu surX. On a doncX2Aet siA2 Aalors A c2 A. Il s"agit de montrer que siA;B2 A, alorsA[B2 A. On considèreC2 A!définie par C

0=A;C1=BetCn=;=Xcpour toutn2. On aS

n2!Cn=A[B. De plus commeA est une tribu,S n2!Cn2 A, doncA[B2 A. Ainsi,Aest une algèbre d"ensembles. (2) Mon trerque si Aest une algèbre d"ensembles, alorsAest un anneau d"ensembles. Correction :SoitAune algèbre d"ensemble. Il s"agit de montrer queAest non-vide - cela fait partie de la définition d"algèbre - et que pour toutA;B2 A,AnB2 A. On considère donc A;B2 A. On aAnB= (Ac[B)c. CommeAest une algèbre,Ac2 A, puisAc[B2 Aet enfin

AnB2 A.

(3) Donner un exemple d"anneau d"ensem blesqui n"est pas une algèbre d"ensem bles. Correction :On peut prendre,P(R+): c"est une algèbre d"ensembles surR+, mais pas surR, carR=2 P(R+). De manière générale, un anneau d"ensemblesAsurXest une algèbre d"ensemble si et seulement siX2 A. (4) Soit X=ZetA=fAXjAouXnAest finig. Montrer queAest une algèbre d"ensembles surXmais pas une tribu. Correction :L"ensemble vide est fini par définition, doncZ2 AcarZc=;. SoitA2 A, de deux choses l"une : soitAest fini soitAcest fini. SiAest fini alorsA= (Ac)c est fini et doncAc2 A. SiAcest fini alorsAc2 A. Soient maintenantA;B2 A, on considère deux cas :AetBfinis, etAcouBc(ou les deux) fini. SiAetBsont finis,A[Best fini et doncA[B2 A. On passe au deuxième cas. On a (A[B)c=Ac\Bcet cet ensemble est manifestement fini, doncA[B2 A.

Ainsi,Aest une algèbre.

Pour toutn2!, le singletonfngest fini doncfng 2 A. Mais!=S n2!fngn"est pas fini et son complémentaire dansZnon plus, donc! =2 Aet doncAn"est pas une tribu. Exercice 2.SoitAun anneau. Montrer l"implicationA;B2 A )A\B2 A. Correction :SoientA;B2 A. On a :A\B= (A[B)n((AnB)[(BnA). CommeAest un anneau, A[B,(AnB)et(BnA)sont dansA, on en déduit que(AnB)[(BnA)2 Aet finalement que

A\B2 A.

Exercice 3.Dans cet exercice, on souhaite montrer que la tribu borélienneBRdeRest engendrée par

la familleF=fR>aja2Qg, i.e. queBR=(F). (1) Mon trerque tout sous-ensem blede la forme R(b1n+1)est dansF. Comme(F)est stable par passage au complémentaire,R(b1n+1)est dans(F). Comme ceci est vrai pour toutn2!,

On en déduit que

R a, or on sait queRasont dans(F), donc]a;b[2 F. (3)

Soit Wun ouvert deR. Montrer que

W=[ ]a;b[W; a;b2Q]a;b[:

On pourra utiliser le fait queQest dense dansR.

Correction :NotonsV=S

]a;b[W; a;b2Q]a;b[. On a clairementVW. On veut montrer l"autre inclusion. Soitx2W, commeWest ouvert, il est voisinage de chacun de ses points, en particulier dex. Il existe donc >0tel que]x;x+[W. CommeQest dense dansR, on peut se donner a;b2Qtel que x < a < x < b < x+: On a doncx2]a;b[]x;x+[W. De plus, on a clairement]a;b[V, doncx2V. Ceci montre queWVet finalement queW=V. (4) En déduire que tout ouv ertWdeRappartient à(F). Correction :D"après la question précédente, tout ouvert deRs"écrit comme une union d"in-

tervalles ouvert à bornes rationnelles. Il n"y a qu"un nombre dénombrable de tels intervalles. De

plus on sait que chacun de ses intervalles est dans(F), comme(F)est une tribu, elle est stable par union dénombrable et donc tout ouvert deRest dans(F). (5)

Conclure.

Correction :On vient de montrer que la tribu(F)contient tous les ouverts deRdonc on a B R(F). Inversement, tous les ensembles dansFsont des ouverts deR, donc(F) BR, et finalement(F) =BR. Exercice 4.SoientXun ensemble eth:X!R0une application. Montrer que l"application :P(X)!R0définie par(A) =P x2Ah(x)est une mesure.

Correction :On rappelle que la notion de somme positive utilisée ici est donnée par la première

définition du cours. Avec cette définition, on a bien(;) = 0. Il s"agit maintenant de vérifier que si

A2 P(X)!est disjoint, alors

n2!A n! =X n2!(An):

Par définition, on a :

n2!A n! = sup FS n2!An F???( X x2Ff(x)) et X n2!(An) = sup E! E???( X n2E(An)) = sup E! E???8 :X n2Esup F nAnF n???( X x2Fnf(x)) 9>= = sup E! E???8 >>:sup (Fn)n2EF nAn8n2E F n???8n2E( X n2EX x2Fnf(x))9>>>= = sup E! E???8 >>:sup (Fn)n2EF nAn8n2E F n???8n2E8 :X x2S n2EFnf(x)9 ;9

La troisième égalité est vraie car on fait commuter un sommefinieet unsup. SiEest un sous-ensemble

fini de!et si pour tout élément deE,Fnest un sous-ensemble fini deAn,S n2EFnest un sous-ensemble fini deS n2!An. Ceci implique que X n2!(An) [ n2!A n!

Réciproquement,

SiFest un sous-ensemble fini deS

n2!An, en posantFn=An\FetE=fn2!:Fn6=;g, on a F=S n2EFnet les ensemblesEetFnsont finis. Ceci montre que n2!A n! X n2!(An):

Finalement,

n2!A n! =X n2!(An): W=[ n2!i '(n)4 n+1;'(n) +4 n+1h 2X n2!14 n+1=24 114
=23 ?????? ??X? ???An???? ????? ?????? ????S n2!An=;? ?? ? ?????

0 =' [

n2!A n! =X n2!'(An) =X n2!0 = 0 ?? ????'S n2!AnP

1 =' [

n2!A n! ='(An0)X n2!'(An) ?? ????'S n2!AnP n2!? x??y? ?? ? ?fx;yg=fxg t fyg? ????

1 ='(fx;yg)6='(fxg) +'(fyg) = 1 + 1 = 2:

????? ??????B??X? ?? ? '(Bn ;) +'(B\ ;) ='(B) +'(;) ='(B)?? '(BnX) +'(B\X) ='(;) +'(B) ='(B): '(BnA) +'(B\A) ='(fyg) +'(fxg) = 26='(B): R 1=' [ k2!B k! 6X k2!'(Bk) = 0: X? (An)n2!2 P(X)!? ???? ????i? ?? ? ? i n2!A n! X n2! i(An)X n2!'(An); ????'S n2!AnP ?????(A)(B)? i(A) :=8 >:0??A=;;

1i+ 1??A??? ??? ??? ????;

+1??A??? ?????; A:=S n2!An??? ???? ????? ???? ??? ??? ???? ???? ?????? ?? A??? ???? ?? ???? ???An???? ???? ?? ????? ? i(A) = 0 =X n2!' i(An): i(A) =1i+ 1='i(An0)X n2!' i(An): ????? ?? A??? ?????? ???? ?? ??????n0??? ???An0??? ????? ?? ????? ? i(A) = +1='i(An0)X n2!' i(An); (nk)k2!? ?? ? ????? ? X n2!' i(An)X k2!' i(Ank) =X k2!1i+ 1= +1='i(A): ????? ???? ???? ??? ???? ?? ? ????'i(A)P ???? ????n2!? ?? ?(An) = infi2I'i(An) = infi2I1i+1= 0??(!) = infi2I'i(!) = inf i2I+1= +1? ????? +1= [ n2!A n! 6X n2!(An) = 0: H s(A) := inf(Fi)i2I2R(A)X i2I(diam(Fi))s ???? ????? ??????A??Rd? ????(An)n2!2 P(Rd)? ???? ??????n?? ???????(Fni)i2In2 R(An)? ?? ???????(Fi)i2I??? F H s n2!A n! X k2I(diam(Fk))s=X n2!X i2In(diam(Fni))s:quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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