[PDF] Mesure et Intégration Les chapitres de ce polycopié

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REPUBLIQUEALGERIENNEDEMOCRATIQUEETPOPULAIREMINISTERE DE L"ENSEIGNEMENTSUPERIEUR ET DELARECHERCHESCIENTIFIQUEUNIVERSITEABDELHAMIDIBNBADIS-MOSTAGANEMFaculté des Sciences Exactes et de l"InformatiqueDépartement de Mathématiques etd"InformatiquePolycopié de coursMesure et IntégrationCours et exercicesd"applicationsRéalisépar:MENAD AbdallahTroisième année licence Mathématiques LMDAnnée Universitaire 2019-2020

Table des matières

Introduction 1

1 Tribus et mesures 3

1.1 Rappels sur la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Limites d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Fonctions caractéristiques d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Algèbres et tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Tribu engendrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Tribu image directe, tribu image réciproque . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 La tribu borélienne ou tribu de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Propriétés des mesures, mesures extérieures, mesures complètes . . . 16

1.4.2 Esemble négligeable et mesure complètes . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 Mesures extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1 Mesure de Lebesgue surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2 Mesure de Lebesgue surRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Fonctions mesurables "Variables aléatoires" 40

2.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1 Caractérisation de la mesurabilité et stabilité deL0(E). . . . . . . . 41

2.1.2 Opérations sur les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Fonction caractéristique ou indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1 Fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.2 Deuxième caractérisation de la mesurabilité . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Quelques propriétés des applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Propriétés vraies presque partout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Egalité presque partout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Convergence p.p et convergence en mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.1 Convergence presque uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.2 Convergence essentiellement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 2

3 Fonctions Intégrables 60

3.1 Intégrale d"une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Intégrale d"une fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.1 Théorème de la convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.2 Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Mesures et probabilités de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.1 Mesure de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 L"espaceL1des fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1 L"éspace L

1(Cas complexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.2 Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4.3 Applications du Théorème de la convergence dominée . . . . . . . . . 71

3.5 comparaison entre l"intégrale de Lebesgue et l"intégrale de Riemann . . . . . 72

3.5.1 Intégrabilité au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Les espaces L

p(16p6+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 Les espaces L

p(16p <+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.2 Inégalité de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.3 Inégalité de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6.4 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7 L"espace L

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Produit d"espaces mesurés 96

4.0.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1 Théorème de Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.1 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Bibliographie 112

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de L"enseignement Superieur et de la

Recherche Scienti...que

Université Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem

Faculté des Sciences Exactes et Informatique

Département de Mathématiques et Informatiques

Polycopié

Mesure et Intégration

Cours et exercices d"applications

Réalisé par :

Mr MENAD Abdallah

Année Universitaire : 2019-20120

1

Introduction

Ce cours à destination des étudiants de troisième année licence Mathématiques LMD comporte la matière deMesure et Intégration. Il contient l"essentiel du cours avec des exemples et des exercices d"applications sont proposés avec des solutions en ...n de chaque

chapitre pour permettre à l"étudiants de tester ses connaissances et de se préparer aux tests

et aux examens ...naux. Ce polycopié est inspiré du cours qui a été fait par Mr Medeghri Ahmed et Bouziani

Fatima durant les années 2012-2015 au sein du département de mathématiques à l"université

Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem.

D"après ma petite expérience, lors de l"enseignement de cette matière durant quelques

années, j"ai décidé de préparer ce polycopié qui contient toutes les notions fondamentales

liées à cette matière.

formation o¢ ciel suivant le cannevas donné par le ministère appliqué actuellement dans tous

les départements des Universitée Algériennes. Nous supposons que le lecteur a une bonne connaissances de la topologie usuelle deR, les premiers principes de la théorie des ensembles et le concept d"intégration au sens de

Riemann.

Comme ce polycopié est un cours, nous avons pris le parti de démontrer presque tous les

résultats d"une façon complète, c"est-à-dire sans renvoyer au cours de la preuve à un résultat

bien connu ou en admettant un résultat auxiliaire di¢ cile. Nous avons d"ailleurs inclus un

nombre considérable d"exercices résolus tels qu"ils ont été testés dans le cadre de travaux

dirigés, ou ont fait l"objet de devoirs de re‡exion ou de contôle des connaissances. Il va de

soi que le lecteur aura intérêt a essayer de résoudre le problème sans lire la solution au

préalable. Les chapitres de ce polycopié se terminent par des exercices corrigés puisés dans

les fonds des séries de T.D de l"équipe pédagogique du département de Mathématiques de

l"Université Abdelhamid Ibn Badis Mostaganem.

L"originalité de ce polycopié réside dans son contenu, inspiré sans vergogne de la litérature

existante. Venons-en à une description plus précise de ce que l"on trouvera dans ce polycopié. Dans lepremier chapitre, nous donnerons rapidement les propriétés utiles concernant

les opérations sur les ensembles, la dénombrabilité, les limites d"ensembles et les fonctions

caractéristiques d"ensembles. Nous présentons, par la suite la notion de tribu particulièrement

mesure extérieure et en particulier la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens. Lesecond chapitrecontient les propriétés générales des fonctions mesurables notament les applications numériques mesurables qui seront désignées parL0, nous étudierons la convergence presque partout et la convergence en mesure. Autroisième chapitre, nous aborderons et traiterons la notion d"intégration par rap-

port à une mesure positive. En premier lieu, nous ferons l"étude pour les fonctions numériques

mesurables et nous donnerons le Théorème de convergence monotone (ou de Beppo-Levi) et

ses conséquences. Nous étudierons ensuite l"intégrale d"une fonction numérique mesurable et

nous ...nirons par une comparisation de l"intégrale de Lebesgue avec l"intégrale de Riemann.

En...n, nous donnerons un aperçu général sur la construction de l"espaceL1et le théorème

de convergence dominée dans cet espace. 2 Nous consacrons dansle quatrième chapitreà l"étude de la mesure produit, notamment les Théorèmes de Fubini et quelques applications.

En...n vu les erreurs répétées souvent dans les copies des examens de cette matière, j"ai

constaté que la majorité des étudiants ne donnent pas l"importance au cours et ils font des exercices en se basant directement sur les corrigés. Je conseille alors les étudiants de lire

d"abord le cours attentivement, de faire tous les exemples cités après chaque résultat donné

et en...n de passer à résoudre les exercices proposés sans retourner au corrigé. Les solutions

Finalement, j"espère que ce document pourra aider les étudiants qui veulent maîtriser cette partie mathématiques. Comme toute entreprise humaine n"est infaillible, nous tenons à la ...n de cette petite introduction, à solliciter la haute bienveillance de nos lecteurs de nous faire parvenir toutes leurs remarques via notre adresse E-mail : abdallah_menad@yahoo.com

Chapitre 1

Tribus et mesures

1.1 Rappels sur la théorie des ensembles

Dans toute la suite, on considère un ensemble de baseE. On rappelle queP(E)désigne la famille de tous les sous-ensembles deE. Pour tout sous-ensemblesAetBdeEon a A c=fx2E:x =2Ag; le complémentaire deAdansE:

AB=fx2E:x2Aetx =2Bg

=A\Bc=A(A\B)

AB=BA= (AB)[(BA) = (A[B)(A\B):

1.1.1 Dénombrabilité

Il est essentiel, pour tou ce qui concerne la théorie de la mesure de savoir distinguer ce qui est dénombrable de ce qui ne l"est pas. Dé...nition 1.1L"ensembleXest ditdénombrables"il existe une bijection entreXetN.

En d"autre termes, on peut écrire

X=fxn:n2Ng=fx0;x1;:::;xn;:::g;

c"est-à-dire tout ensemble dénombrable pouvant être indexé parN(ou si on peut énumérer

tous ses éléments). Remarque 1.11. Tout ensemble ...ni est dénombrable.

2.N;Z;Qsont dénombrables maisRn"est pas dénombrable.

3. Toute partie d"un ensemble dénombrable est dénombrable.

4. Si pour tout entiern2N, l"ensembleAnest dénombrable, alors+1[

n=1A nest dénombrable.

5. La propriété 4) reste vraie si l"on remplace la suite(An)n>1par la famille dénombrable

(Ai)i2I, c"est-à-dire avecIdénombrable. 3 4

6. Tout produit d"un nombre ...ni d"ensembles dénombrables est dénombrable.

En général, les familles dénombrables ou les propriétes qui s"expriment en termes de

dénombrabilité sont notées avec le pré...xepour témoigner de leur caractère dénombrable

(exemples :algèbre,additivité).

1.1.2 Limites d"ensembles

Dé...nition 1.2SoitEun ensemble non vide et(An)n>1une suite de parties deE, on dé...nit la limite superieure et inferieure de la suite(An)n>1parlimAn= limnsupAn:=\ n>1[ k>nA k=+1\ n=1+1[ k=nA k: lim A n= limninfAn:=[ n>1\ k>nA k=+1[ n=1+1\ k=nA k:

Remarque 1.2Notons que

lim A nlimAn k>nA kAk,8k>n; donc k>nA k\ n>1[ k>nA k=limAn; d"où n>1\ k>nA klimAn:

Proposition 1.1(Suite convergente d"ensembles)

1. Si(An)nest croissante i.e

A nAn+1;8n>1; alors limAn= limAn=+1[ n=1A n:

2. Si(An)nest décroissante i.e

A n+1An;8n>1; alors limAn= limAn=+1\ n=1A n: Dans les deux cas on dira que la suite(An)nest convergente. 5 Pour les suites réelles, rappelons que si(an)nest une suite dansR, on dé...nit lim nsupan= infn>1sup k>na k: lim ninfan= sup n>1infk>nak:

Ces deux nombres existent toujours dans

R= [1;+1]:

De même si(fn)nest une suite de fonction d"un ensembleEdansR; fn:E!R, on dé...nitlimnsupfnetlimninffncomme fonctions deEdansR limnsupfn (x) = infn>1sup k>nf k(x): limninffn (x) = sup n>1infk>nfk(x):

1.2 Fonctions caractéristiques d"ensembles

Rappelons que la fonction caractéristique (ou indicatrice)Ad"une partieAdeXest la fonctionA:X!Rdé...nie par

A(x) =1, six2A

0, six =2A:

Cette fonction ne prend donc que deux valeurs1ou0selon qu"elle est évaluée surAou non. La fonction caractéristique véri...e les propriétés suivantes

Proposition 1.2SoientXun ensemble non vide etA,BX

1. SiA\B=;alorsA[B=A+B:

2.Ac= 1Aet siBAalorsAB=AB:

3. Si(An)nune suite de parties deXon a alors

lim

An= limninfAnetlimAn= limnsupAn:

De plus si lesAnsont disjoints deux à deux, alors +1[ n=1A n=+1X n=1 An

1.3 Algèbres et tribus

Dé...nition 1.3(algèbre de Boole) : SoientEun ensemble quelconque non vide etP(E) l"ensemble des parties de l"ensembleE: A P(E)est unealgèbre(de Boole) si pour toutA;B2 A:

1.f;;Xg 2 A

6

2.Ac=EA2 A

3.A\B2 A

4.A[B2 A

C"est unesemi-algèbre(notée) si les conditions 1) et 3) sont véri...ées et que le com- plémentaire d"un élément deest réunion ...nie d"éléments de: Remarque 1.3L"algèbreAengendrée par une semi-algèbre est constituée des réunions ...- nies de parties de Dé...nition 1.4(Tribu oualgèbre) : SoientEun ensemble etT P(E)un ensemble des parties deE.Test une tribu oualgèbre surEsi : 1.E2T

2.Test stable par le passage au complémentaire

8A2T; Ac2T:

3.Test stable par la réunion dénombrable

8(An)n2NT;S

n2NA n2T:

1.T=f;;EgTribu grossière.

2.T=P(E)Tribu discrète.

Remarque 1.4?2T;?=Ec

Test stable par intersection dénombrable

8(An)n2NT;T

n2NA n2T: T n2NA n=S n2NAcn c

En général, la tribu est stable par n"importe quelle suite dénombrable d"opérations sur les

ensembles.

Remarque 1.5SiTest une tribu surEalors

i)E2TcarE=;C ii)Si(An)n>1est une suite deTalorsT n2NA n2T. iii)SiA;B2TalorsAB; AB2Tcar

AB=A\Bc2TetAB= (AB)[(BA)2T:

Proposition 1.3Test une tribus surEsi et seulement si

1.; 2T:

7

2.Test stable par complémentation et intersection ...nie.

3. Si(An)n>1est une suite deTdisjoints deux à deux (i.eAi\Aj=;;8i6=j), alors

S n2NA n2T:

Preuve.La condition nécessaire est évidente. Pour montrer qu"elle est su¢ sante, il su¢ t

de montrer queTest stable par réunion dénombrable, soit donc(An)n>1une suite deTet posons8< :B 1=A1 B n=An\ n1S i=1A i c ; n>2; d"après l"hypothèse (2) de la proposition on aBn2Tpour toutn>1. Pour toutn6=m, si n > mon a B m\BnAm\Bn=Am\An\Ac1\:::\Acm\:::\Acn1=;; d"où B m\Bn=;;8n6=m; d"autre part, il est clair que +1S n=1B n+1S n=1A n:

Pour l"inclusion inverse, six2+1S

n=1A n, il existen>1tel quex2An:On poserla plus petiten>1qui véri...ex2Ani.e r= minfn2N;x2Ang; alors x2Ar;x =2Ar1;x =2Ar2;:::etx =2A1; ce qui donnex2Br;alors x2+1S n=1B n: Nous avons montré que lesBnsont disjoints deux à deux et +1S n=1A n=+1S n=1B n; donc d"après (3) de la proposition, on a +1S n=1A n2T: 8

1.3.1 Tribu engendrée

Proposition 1.4Soit(Ti)iune famille de tribus sur l"ensembleE. AlorsT i2IT iest une tribu surE:

Preuve.On aE2Ti,8i2IdoncE2\

i2IT i:Maintenant soit A2\ i2IT i=)A2Ti;8i2I =)Ac2Ti;8i2I(carTiTribu) =)Ac2\ i2IT i: Soit fAngn2N\ i2IT i; alors (An)n2N\ i2IT i=) 8n2N; An2\ i2IT i =) 8n2N;8i2I; An2Ti =) 8i2I;[ n2NA n2Ti n2NA n2\ i2IT i: Donc i2IT

iest une Tribu surE:Remarque 1.6La réunion d"une famille de tribus n"est pas forcément une tribu.

Exemple 1.1Soit

E=fa;b;cg

T

1=f?;fag;fb;cg;Eg

T

2=f?;fbg;fa;cg;Eg

T

1etT2sont des tribus, mais

T

1[T2=f?;fag;fbg;fa;cg;fb;cg;Eg

ne l"est pas car fag [ fbg=fa;bg=2T1[T2:

Remarque 1.7SiA2TetBA;B2T

fb;cg 2T1maisfbg fb;cg n"appartient pas àT1: 9 Dé...nition 1.5(Tribu engendrée) SoientEun ensemble etCun sous ensemble deP(E). On appelletribu engendréeparCnotée(C), la plus petite tribu contenantC. Donc c"est la tribu intersection de toutes les tribus contenantC. (C) =\T; Ttribu,CT

Exemple 1.21.(f?g) =(E) =fE;?g:

2. SoitA2P(E)telle queA6=EetA6=?, alors

(A) =f?;E;A;Acg:

3.E=N,A=ffng;n2Ng,(A) =P(E):

1.3.2 Tribu image directe, tribu image réciproque

Theorème 1.1Soitf:E!Fune application. Montrer que

1. SiTest une Tribu surEalors

T

0=BF:f1(B)2T;

est une Tribu surF. (Tribu image directe).

2. SiT0est une Tribu surFalors

f

1(T0) =f1(B) :B2T0;

est une Tribu surE. (Tribu image réciproque).

Preuve.Soitf:E!Fune application1. On a

T

0=BF:f1(B)2T;

et

FFetf1(F) =E2T,

donc F2T0: -Soit

B2T0=)BFetf1(B)2T;

et on a B cF; d"autre part, on a f

1(Bc) =f1(B)c2T(carTstable par complémentaire),

donc B c2T0: 10

Maintenant soit

(Bn)n2NT0=) 8n2N;Bn2T0 =) 8n2N;BnFetf1(Bn)2T; donc n2NB nFetf1([ n2NB n) =[ n2Nf

1(Bn)2T;

(carTstable par[dénombrable), donc n2NB n2T0; d"où le résultat.

2. On a

f

1(T0) =f1(B) :B2T0;

est une Tribu surE a)

E=f1(F)etF2T0=)E2f1(T0):

b)Soit

A2f1(T0) =)A=f1(B); B2T0

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