[PDF] Feuille 2 Décrire la tribu engendré

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Licence Math. Fond. 2004-05

Calcul Int´egral

Feuille 2

I. Op´erations ensemblistes et fonctions caract´eristiques Exercice 1.SoitEun ensemble. A toute partieAdeE, on associe sa fonction caract´eristique1Ad´efinie par1A(x) = 1 six?Aet1A(x) = 0 si x??A. a.SoientEun ensemble et (Ai)i?Iune famille de parties deE. Exprimer 1 ?iAiet1∩iAien fonction des1Ai. b.Si (Ai)i?Nest une suite de parties deE, on pose limsup iAi=? p≥0? n≥pA net liminfiAi=? p≥0? n≥pA n. Exprimer avec des quantificateurs puis en fran¸cais "courant" ce que signifie x?limsupiAietx?liminfiAi. c.Montrer que1limsupiAi= limsupi1Aiet1liminfiAi= liminfi1Ai. d.SiE=R,A2n= [-1,2+1/(n+1)[ etA2n+1=]-2-1/(n+1),1], calculer limsup nAnet liminfnAn.

II. Tribus

Exercice 2.SoitXun ensemble etYun sous-ensemble deX. a.Pour toute familleAde parties deX, on note?A:={A∩Y|A? A}. Montrer que, siAest une tribu surX, alors?Aest une tribu surY. D´ecrire simplement?Adans le cas o`uY? A. b.Pour toute familleAde partie deY, on noteA:={T?X|T∩Y? A}. Montrer que, siAest une tribu surY, alorsAest une tribu surX. Comparer les familles?AetA. c.On consid`ere une tribuAsurXengendr´ee par une familleFde partie de X(c"est-`a-direA=σ(F)). Montrer que?Aest la tribu surYengendr´ee par la famille ?F(c"est-`a-dire?A=σ(?F)). Exercice 3.Montrer que l"ensemble des parties deR2qui sont r´eunion finie de rectangles de la formeI×Jo`uIetJsont des intervalles deRest une alg`ebre de parties deR2, c"est-`a-dire est non vide, stable par union finie et passage au compl´ementaire. Exercice 4.SoitXun ensemble. D´ecrire la tribu engendr´ee par les parties finies deX.

Exercice 5.

a)SoitA={A1,...,An}une partition finie d"un ensembleE. D´ecrire la tribuσ(A). Quel est son cardinal? b.SoitA={A1,...}une partition d´enombrable d"un ensembleE. D´ecrire la tribuσ(A). Quel est son cardinal? I

0,1= [0,1[.

a.D´ecrire la tribuBnengendr´ee par lesIn,k`anfix´e. b.?Bnest-elle une tribu? Exercice 7.On consid`ere une tribuAsurX. Par d´efinition,∅ ?=A?X est unatomesi et seulement si:

B? A, B∩A?=∅ ?B?A.

a)On d´efinit, pourx?X,A(x) comme ´etant l"intersection de tous les ensembles mesurables contenantx. Montrer queA(x) est un atome contenant x. Montrer qu"un atomeAn"est pas forc´ement de la formeA(x). (Penser au casA={∅,X}.) Construire un exemple d"atome non-mesurable. Montrer que

A?=∅est un atome?? ?x?Xtel queA?A(x).

b)Montrer que deux atomes de la formeA(x) sont soit disjoints, soit ´egaux. En d´eduire que les atomesA(x) r´ealisent une partition deX. Quels sont les atomes siA=B? c)SiB? A, montrer queB=? x?BA(x). d)SoitC={A(x);x?X}. SiCest au plus d´enombrable, montrer que

C ? A, puis queA=σ(C).

e)SiCest fini, montrer que la tribu est finie. Dans ce cas, d´eterminer le cardinal deAen fonction du cardinal deC. D´ecrire toutes les tribus finies. f)SiCest infini, montrer que la tribu est non-d´enombrable. En d´eduire qu"une tribun"est jamais d´enombrable. g)On supposeXau plus d´enombrable. Montrer queC ? A, puis que A=σ(C). Ce r´esultat reste-t-il valable si on ne suppose pasXd´enombrable? D´ecrire toutes les tribus d"un ensemble au plus d´enombrable.

III. Tribus et topologie

Exercice 8.Soit (X,d) un espace m´etrique. Montrer que la famille

A={A?X;Aouvert ou ferm´e}

est une tribu si et seulement si (X,d) estdiscret(c"est-`a-dire,?x?X, ?ε >0 tel queB(x,ε)∩X={x}). Si cette condition est satisfaite, qui est A? Exercice 9.Soit (X,d), (Y,δ) espaces m´etriques. On consid`ere une partition au plus d´enombrable deX,X=? iX i, o`u chaqueXiest bor´elien. On munit chaqueXide la topologie induite par (X,d). Soitf: (X,d)→ (Y,δ). Montrer que fest bor´elienne?? ?i,f|Xiest bor´elienne. Exercice 10.Sif: (X,d)→(Y,δ) est continue sauf en un nombre fini de points, montrer quefest bor´elienne. Plus g´en´eralement, si l"ensemble des points de discontinuit´e defest au plus d´enombrable, montrer quefest bor´elienne. Sif:R→Rest r´egl´ee, montrer quefest bor´elienne. Cas particulier:fmonotone. Exercice 11.Sif, g: (X,d)→(Y,δ), sifest bor´elienne et si{x;f(x)?= g(x)}est au plus d´enombrable, alorsgest bor´elienne. Exercice 12.Soitf:R→Rcontinue `a gauche.´Etudier la suite de quefest bor´elienne.

IV. Propri´et´es de la mesure de Lebesgue

On admettra dans ce qui suit l"existence de la mesure de Lebesgue surR (d´esign´ee parλ).

Exercice 13.Montrer que

λ(A) = 0?Adense dansR??oA=∅.

Donner des contre-exemples `a l"implication r´eciproque. Exercice 14.Soientf,g:R→Rcontinues. Montrer que, sif=gp.p., alorsf=g. Sif,gsont seulement bor´eliennes ? Exercice 15.Calculer inf{λ(U) ;Uouvert dense dansR}. Exercice 16.SoitA? Bayant la propri´et´e (A+{n})∩A=∅, ?n?Z. Montrer qu"il existe une famille de bor´eliens (An)n?Z?[0,1[ tels que:An∩Am=∅,n?=m, etA=? Exercice 17.SoitA? B. SiIest un intervalle born´e tel queλ(A∩I) = λ(I) et siJ?Iest un intervalle, montrer queλ(A∩J) =λ(J). SiAa la propri´et´e ?Iintervalle born´e,λ(A∩I) =λ(I) ouλ(A∩I) = 0, montrer queλ(A) = 0 ouλ(R\A) = 0. Exercice 18. Un ensemble non bor´elienSoitVun espace vectoriel (de dimension finie ou non) sur le corpsK. Une famille (ei)i?Iest une base de Vsi et seulement si tout ´el´ementvdeVs"´ecrit de mani`ere unique sous la forme v=? finieλ iei, λi?K. Ici, "finie" indique le fait queλi= 0 sauf pour un nombre fini d"indicesi. Exemple:{1,X,X2,...}est une base deR[X]. On admet le r´esultat suivant: tout espace vectoriel admet une base. a)Soit (ei)i?Iune base deRconsid´er´e en tant qu"espace vectoriel surQ. On fixe uni0?Iet on consid`ere l"ensemble A={? finieλ iei;λi?Q,λi0= 0}. Montrer que (A+{λei0})λ?Qest une partition deR. En d´eduire que l"ensemble An"est pas bor´elien. (On pourra utiliser l"exercice??) Donner un exemple de fonction non-bor´elienne. Exercice 19.SoitAun bor´elien de mesure finie. Montrer que la fonction x?→λ((A+{x})∩A) est continue. (Commencer par le cas o`uAest un compact.) En d´eduire que, siλ(A)>0, alorsA-Aa l"int´erieur non vide.

V. Mesures abstraites

Exercice 20.Soitμune mesure bor´elienne localement finie surRet Aun bor´elien avecμ(A)>0. Montrer qu"il existe une suite d"intervalles non-d´eg´en´er´es (In) tels que limnμ(A∩In)μ(In)= 1. Exercice 21.Soit (An) une suite d"ensembles mesurables tels que? nμ(An) =μ(? nA n)<+∞. Montrer qu"il existe une suite (Bn) d"ensembles disjointstels queBn?An,μ(An\Bn) = 0 et? nB n=? nA n. Exercice 22. Lemme de Borel Cantelli.Soit (An) une suite d"ensembles mesurables tels que? nμ(An)<+∞. Montrer queμ(limsupAn) = 0. Exercice 23. Mesure image.Soitf:R→S1,f(t) =eıt. PourA?S1 bor´elien, on d´efinitμ(A) =λ(f-1(A)∩[x,x+2π[),x?R. Montrer que cette d´efinition ne d´epend pas du choix dex. Montrer queμest une mesure. De plus,μestinvariante par isom´etries, c"est-`a-direμ(O(A)) =μ(A), pour toute isom´etrie lin´eaireOdeR2.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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