[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

´erifi´ee carRn"e?pas d´enombrable.

4) Ce n"e?pas toujours vrai (prendre par exemplean=bn=n). En revanche, le terme de gauche e?

´erieur ou´egal au terme de droite lorsque les deux suites sont born´ees, et l"´egalit´e e?v´erifi´ee lorsque

2 - MesuresExercice 1.(Lemme de Borel-Cantelli) (E;A; ) e?un espace mesur´e (e?une mesure positive) et que

1.Mon trerque

2.(Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

3.(Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit" >0. Montrer que pour presque-toutx2[0;1]

Corrig

´e :

1.On remarque que, pour tout n0et pour toutkn,

BBBBBB@\

CCCCCCA(Ak):

Ainsi,

0BBBBB@\

CCCCCAinfkn(Ak):(1)

0BBBBB@[

CCCCCAsup

a la limite quandn!+1dans (2). On peut aussi utiliser le r´esultat pr´ec´edent et raisonner en

Fnlimsup

Fnlimsup

Comme(F)<1, cela implique le r´esultat.

2.On a, pour tout n0,

0BBBBB@[

CCCCCAX

Or(limsupk!1Ak)([knAk)pour toutn0etP

3.P ourtout q1, on note

2+";pq

Ainsi,(Aq)2=q1+". Par cons´equent,

Exercice2.(Mesure surZ) Exi?e-t-il une mesure de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation?

Corrig

´e :

3 - TribusExercice 3.(Op´erations sur les tribus)

1.Soit Fune tribu de

2.Soit ( XY;F) un espace-produit mesur´e et:XY!Xla proje?ion canonique. L"ensemble

X:=f(F);F2 F ge?-il une tribu?

3.On consid `ere surN, pour chaquen0, la tribuFn=(f0g;f1g;:::;fng). Montrer que la suite de

4.( Partiel2010) Soit (E;A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB2(C).

Alexandra dit : alors n

A-t-elle raison?

5.Soien tX;Ydeux ensembles etf:X!Yune application. SoitA P(Y). Alexandra dit : alors

Corrig

´e :

1.- B=

Soit Cn=B\Dn2 FBavecDn2 F. AlorsS

L"ensembleFBe?donc bien une tribu surB.

2.On consid `ere pourX=Y=f0;1gla tribuFengendr´e par l"´el´ement (0;0)2XY. Il e?clair que

F=f?;XY;f(0;0)g;XYnf(0;0)gg:

3.P osons

4.Alexandr aa r aison.En e ffet, soitG=fB2(C);9D Cd´enombrable tel queB2(D)g. Montrons

Il e?clair queE2 G.

´enombrables) : on a[nAn2 G.

En conclusion,Ge?une tribu.

5.C eciser arevu l orsd uTD 3.

Exercice 4.Prouver queB(R2) =B(R)

Corrig

´e :

On fera cet exercice lors du TD3.

4 - DiversExercice 5.

1.Mon trerque pour tout >0, il exi?eOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue)

2.En d ´eduire que pour tout >0, il exi?eFun ferm´e d"int´erieur vide tel que pour toutA2 B(R) :

Corrig

´e :

1.Soit >0. NotonsQ=fqn;n1gles rationnels et posons :

2.P osonsF=Oc. AlorsFe?un ferm´e deRd"int´erieur vide. De plus, pour toutA2 B(R), on a

Exercice 6.(Ensembles de Cantor)

Soit (dn;n0) une suite d"´el´ements de ]0;1[, et soitK0= [0;1]. On d´efinit une suite (Kn;n0) de la

fac¸on suivante : connaissantKn, qui e?une r´eunion d"intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+1en

retirant dans chacun des intervalles deKnun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de

1.Mon trerque Ke?un compa?non d´enombrable d"int´erieur vide dont tous les points sont d"ac-

2.C alculerla mesure de Lebesgue de K.

3.On note K3l"ensemble de Cantor obtenu en posantdn=13

Corrig

´e :

1.Chaque ensembleKne?ferm´edoncKe?ferm´e.Deplus,K[0;1]doncKe?compa?.Montrons

e?dans l"intervalle de droite. En r´ep´etant ce proc´ed´e, on con?ruit une suite'(x)2 f0;1gN. On

2.On montreparr´ecurrenceque(Kn) = (1d0):::(1dn1).Or([0;1]) =1donc(K) = limn!1(Kn).

On a donc :

3.Il su ffit de regarder la bije?ion con?ruite dans la que?ion1entreKetf0;1gNet v´erifier que si

Exercice 7.Soit (

1.Donner des exem plesde mesures di ffuses et de mesures purement atomiques.

2.?ue peut-on dire d"une mesure qui e?diffuse et purement atomique?

3.Soit une mesure positive surA. Montrer qu"il exi?e une mesure diffusedet une mesure

4.Mon trerque l" ensembledes a tomespon ?uels d"une mesure-finiee?d´enombrable.

Corrig

´e :

1.La mesure de Lebesgue e ?diffuse, et la mesure de comptage surNe?purement atomique.

2.Elle e ?alors port´ee par l"ensemble de ses atomes pon?uels, qui e?vide car elle e?diffuse. Cette

3.Soit Dl"ensemble des atomes pon?uels de. Pour toutA2 A, on posed(A) =(A\Dc) et

4.Soit ( En)n1une suite d"ensembles deAde-mesure finie et d"union

6- Compl´ements (hors TD)Exercice 9.("Cardinal" d"une tribu) Le but de l"exercice e?de montrer qu"il n"exi?e pas de tribuA

´e parxpar,

1.Mon trerque les a tomesde Aforment une partition deE.

2.Mon trerque si Ae?au plus d´enombrable alorsAcontient ses atomes et que chaque´el´ement de

3.C onclure.

4.Donner une nouv elled ´emon?ration de que?ion3de l"exercice3.

Corrig

´e :

1.On remarque que x2xpour toutx2E, donc

Montrons maintenant que

2.Supposons que Asoit finie ou d´enombrable. Alors chaque atomexs"´ecrit comme une r´eunion au

3.Soit Bl"ensemble des atomes deAsuppos´ee finie ou d´enombrable. D"apr`es la que?ion2., on

´efinit une bije?ion'deP(B) dansApar,

4.Les tribusFnsonttoutesfiniesdoncS

´eparable localement compa?). On pose

S:=fx2Rn;(B(x;r))>0;pour toutr >0g:

Corrig

´e :

Soitx0tel que(B(x;rx)) =0,a fortioripour toutzcontenu dans

B(z;rxjzxj)B(x;rx) et donc(B(z;rxjzxj)) =0;