Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e
exercice e de montrer qu'il n'exie pas de tribu A infinie dénombrable. Soit (EA) un ... Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé :.
12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus
Corrigé 27 (Mesure atomique mesure diffuse). Soit (E
Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps
Correction : On suppose que A est une tribu sur X. On a donc X ∈ A et si A Dans cet exercice on souhaite montrer que la tribu borélienne BR de R est ...
L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés
B} et on dit que T est la tribu de Ω induite par la tribu B de E. 2) Exemple : Ω Calculer pour chacune de ces mesures les mesures des ensembles suivants :.
1 Tribus
Correction exercice 6 : Si les An sont de mesure fini alors l'égalité est bien vrai. Il faut donc considérer une suite de An décroissantes de mesure infini.
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Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X
MESURE INTEGRATION
https://www.i2m.univ-amu.fr/perso/thierry.gallouet/licence.d/mes-int-pro.pdf
MESURE et INTEGRATION
26 juil. 2004 ... Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. 2 Tribus ... Corrigés d'exercices. 11.1 ...
Feuille 2
Décrire la tribu engendrée par les parties finies de X. Exercice 5. a) Soit A = {A1
Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003
corrigé d'exercice. Le barème n'est donné qu'à titre indicatif ... En particulier λd désigne la mesure de Lebesgue sur Rd muni de sa tribu borélienne Bor(Rd).
Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e
Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé : . On remarque que x ? ?x pour tout x ? E donc. ?.
L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés
Donc f?1(P(E) est engendré par A et est la tribu : {A AC
Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps
Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020). Exercice 1. Soit X un ensemble et A?P(X) un ensemble de parties de X. (1) Montrer que si A est une tribu
12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus
d'apr`es l'exercice précédent on en déduit que T est une tribu. —————————————————————————————– Corrigé 21 (Mesure trace et restriction d'une mesure).
Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
La théorie de la mesure est l'outil utilisé pour modéliser le hasard. 2.1 Tribus et mesures. 2.1.1 Tribus. Dans la suite on utilisera un ensemble ? que
Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
La théorie de la mesure est l'outil utilisé pour modéliser le hasard. 2.1 Tribus et mesures. 2.1.1 Tribus. Dans la suite on utilisera un ensemble ? que
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Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X
1 Tribus
On en déduit comme à l'exercice 3
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Mesure et Intégration
Les chapitres de ce polycopié se terminent par des exercices corrigés puisés dans mesure extérieure et en particulier la mesure de Lebesgue sur la tribu ...
Int´egration et probabilit´es
(cours + exercices corrig´es)L3 MASS, Universit´e de Nice-Sophia Antipolis
Sylvain Rubenthaler
Table des mati`eres
Introduction iii
1 D´enombrement (rappels) 1
1.1 Ensembles d´enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Th´eorie de la mesure 5
2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Int´egrales des fonctions ´etag´ees mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Fonctions mesurables et int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Int´egrales des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Int´egrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11
2.5 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Ensembles n´egligeables 17
4 Th´eor`emes limites 19
4.1 Stabilit´e de la mesurabilit´e par passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Th´eor`emes de convergence pour les int´egrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Int´egrales d´ependant d"un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Mesure produit et th´eor`emes de Fubini 29
5.1 Th´eor`emes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 37
6.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Esp´erance d"une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 In´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.1 Lois discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.6 Fonctions g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.7.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.7.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Variables ind´ependantes 53
7.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.1´Ev´enements et variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.1.2 Densit´es de variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Somme de deux variables ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Convergence de variables al´eatoires 61
8.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.3 Th´eor`eme central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4.1´Enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4.2 Corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Conditionnement 71
9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3.1´Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3.2 Corrig´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10 Variables gaussiennes 77
10.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10.2 Gaussiennes et esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A Table de la loi normale 81
Introduction
Le but de ce cours est d"introduire les notions de th´eorie de la mesure qui seront utilesen calcul des probabilit´es et en analyse. Il est destin´e aux ´etudiants qui veulent poursuivre
leurs ´etudes dans un master `a composante math´ematique. Pour un cours plus complet, se reporter `a la bibliographie. Informations utiles (partiels, barˆemes, annales, corrig´es, ...) : http ://math.unice.fr/≂rubentha/cours.html.PR´EREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l"´etudiant doit connaˆıtre, entre autres, les
d´eveloppements limit´es, les ´equivalents, les ´etudes de fonction, le d´enombrement, les nombre
complexes, la th´eorie des ensembles., les int´egrales et primitives usuelles, la trigonom´etrie
...etc ... iiiChapitre 1
D´enombrement (rappels)
1.1 Ensembles d´enombrables
D´efinition 1.1.1.Injection.
SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une injection si?x,y?E,f(x) =f(y)?x=y.D´efinition 1.1.2.Surjection.
SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une surjection si?z?F,?x?Etel quef(x) =z.D´efinition 1.1.3.Bijection.
SoitE,Fdes ensembles,f:E→Fest une bijection sifest une injection et une surjection. Proposition 1.1.4.SoientE,F,Gdes ensembles. Soientf:E→F,g:F→G. Alors [f etginjectives]?[g◦finjective]. D´emonstration.Soientx,ytels queg◦f(x) =g◦f(y). L"applicationgest injective doncf(x) =f(y). L"applicationfest injective doncx=y.D´efinition 1.1.5.On dit qu"un ensembleEest d´enombrable s"il existe une injection deE
dansN. Dans le cas o`uFest infini, on d´emontrer qu"il existe alors une bijection deEdans N. (Cela revient `a dire que l"on peut compter un `a un les ´el´ements deE.) Exemple 1.1.6.Tout ensemble fini est d´enombrable. Exemple 1.1.7.Zest d´enombrable car l"application f:Z→N k?→?2nsin≥0
-2n-1sin <0 est bijective (donc injective).01 23-1-2-30 2 413Fig.1.1 -´Enum´eration des ´el´ements deZ.
12CHAPITRE 1. D´ENOMBREMENT (RAPPELS)
Exemple 1.1.8.N×Nest d´enombrable car l"application f:N×N→N (p,q)?→(p+q)(p+q+ 1)2 +q est bijective (donc injective).0 129 5874
3 6Fig.1.2 -´Enum´eration des ´el´ements deN×N.
Exemple 1.1.9.L"ensembleQest d´enombrable. L"ensembleRn"est pas d´enombrable. Proposition 1.1.10.Si on aE0,E1, ...,En, ...des ensembles d´enombrables alorsE= E0?E1?E2? ···=?n≥0Enest un ensemble d´enombrable.
(En d"autres termes, une r´eunion d´enombrable d"ensembles d´enombrables est d´enombrable.)
D´emonstration.S Pour touti≥0,Eiest d´enombrable donc?fi:Ei→Ninjective. SoitF:?n≥0En→N×N
x?→(i,fi(x)) six?Ei Cette applicationFest injective. L"ensembleN×Nest d´enombrable donc il existeg:N×N→Ninjective. Par la proposition 1.1.4,g◦Fest injective. Donc?n≥0Enest d´enombrable.1.2 Exercices
Tous les exercices de ce chapitre n"ont pas un lien direct avec le cours. Par contre, ils constituent des r´evisions n´ecessaires `a la suite du cours. 1.2.1´Enonc´es
1) Rappel :Sif:E→FetA?F,f-1(A) ={x?E:f(x)?A}. SiC?E,f(C) =
{f(x),x?C}.On consid`ere l"applicationf:R→R,x?→x2.
(a) D´eterminerf([-3,-1]),f([-3,1]),f(]-3,1]). (b) D´eterminerf-1(]- ∞,2]),f-1(]1,+∞[),f-1(]-1,0]?[1,2[).2) Calculer les limites suivantes :
(a) lim x→0sin(x)log(1+x) (b) lim x→+∞?1 +2x x (c) lim x→01-cos(x)xsin(x)1.2. EXERCICES3
(d) lim x→01-(1+x)α1-(1+x)βpourα,β >0.3) Calculer les int´egrales suivantes :
(a)?+∞0x2e-xdx
(b)?+∞ e11(log(z))2zdz
(c) ?101(2-x)(1+x)dx
(d) ?π/4 0cos2(x)+sin2(x)cos
2(x)dx.
4) Int´egrales de Wallis
Pour toutn?N, on pose :
I n=?π/2
0 sinn(x)dx . (a) CalculerI0etI1. (b) Donner une relation de r´ecurrence entreInetIn+2. (c) En d´eduire que : ?p?N, I2p=(2p-1)(2p-3)...12p(2p-2)...2π2 etI2p+1=2p(2p-2)...2(2p+ 1)(2p-1)...1. 2pI2p+1= 1.
(e) En d´eduire la formule de Wallis : lim p→+∞1p2p(2p-2)...2(2p-1)(2p-3)...1?
2 (f) Montrer que?n?N,In≂n→+∞?π 2n.1.2.2 Corrig´es
(1) (a)f([-3,-1]) = [1,9],f([-3,1]) = [0,9],f(]-3,1]) = [0,9[. (b)f-1(]- ∞,2]) = [-⎷2,⎷2],f-1(]1,+∞[) =]- ∞,-1[?]1,+∞[,f-1(]-1,0]? [1,2[) ={0}?]-⎷2,-1]?[1,⎷2[. (2) (a) sin(x)log(1+x)≂x→0+xx = 1→x→0+1 (b) ?1 +2x x=exlog(1+2x )etxlog?1 +2x ?≂x→+∞2xx →x→+∞2 donc par continuit´e de la fonction exp :?1 +2x x→x→+∞e2 (c)1-cos(x)xsin(x)=(x2/2)+o(x2)x
2+o(x2)≂x→0x
22x2= 1/2
(d)1-(1+x)α1-(1+x)β=αx+o(x)βx+o(x)≂x→0αxβx
(a) on int`egre par parties : 0 x2e-xdx= [-x2e-x]+∞0+? 02xe-xdx
= 0 + [-2xe-x]+∞0+? 02e-xdx
= [-2e-x]+∞0= 2 (b) changement de variable :t= log(z),z=et,dz=etdt e11(log(z))2zdz=?
11t 2dt = [-1/t]+∞1= 14CHAPITRE 1. D´ENOMBREMENT (RAPPELS)
(c) on d´ecompose1(2-x)(1+x)=1/32-x+1/31+x(toujours possible pour une fraction ratio-
nelle `a pˆoles simples) et donc : 101(2-x)(1 +x)dx=?
-13 log(2-x) +13 log(1 +x)? 1 0 =13 log(4) (d) changement de variable :t= tan(x),x= arctan(t),dx=11+t2dtπ/4
0cos2(x) + sin2(x)cos
2(x)dx=?
π/4
01 + tan2(x)dx
= [tan(x)]π/4 0= 1 (3) (a)I0=?π/201dx=π2
,I1=?π/20sin(x)dx= [-cos(x)]π/2
0= 1. (b) On int`egre par parties pour toutn≥2 : I n+2=?π/2
0 sinn+1(x)sin(x)dx = [-sinn+1(x)cos(x)]π/20+ (n+ 1)?
π/2
0 sinn(x)cos2(x)dx = (n+ 1)(In-In+2) d"o`uIn+2=n+1n+2In. (c) D´emonstration par r´ecurrence de la formule pourI2p(d´emonstration similaire pour I2p+1) :
- c"est vrai enp= 0 - si c"est vrai jusqu"au rangpalorsI2p+2=2p+12p+2I2p=(2p+1)(2p-1)...1(2p+2)(2p)...2π22p+1=2p+12p, donc
lim p→+∞I 2pI2p+1= 1
(e) on d´eduit de la question pr´ec´edente : lim p→+∞π2 (2p-1)(2p-3)...12p(2p-2)...2?2(2p+ 1) = 1,
d"o`u la formule de Wallis (f) On fait la d´emonstration pournimpair . Soitn= 2p+ 1 : I2p+1=2p(2p-2)...2(2p+ 1)...1
⎷p2p+ 1?1
p2p(2p+ 2)...2(2p-1)...1?
2 p→+∞1?2(2p+ 1)⎷π .Chapitre 2
Th´eorie de la mesure
La th´eorie de la mesure est l"outil utilis´e pour mod´eliserle hasard.2.1 Tribus et mesures
2.1.1 Tribus
Dans la suite, on utilisera un ensemble Ω que l"on appellera"univers». Il contient tous les al´eas possibles. D´efinition 2.1.1.Une familleAde parties deΩest une tribu (surΩ) si elle v´erifie1.Ω? A
2.A? A ?Ac? A(stabilit´e par passage au compl´ementaire)
3.A0,A1,A2,··· ? A ? ?n≥0An? A(une r´eunion d´enombrable d"´el´ements deAest
dansA)Remarque 2.1.2.On rappelle que :
-Ac:={x?Ω :x /?A} - Une tribu est un ensemble de parties. Ces parties sont appel´ees"´ev´enements». Proposition 2.1.3.Stabilit´e par intersection d´enombrable. SoientAune tribu etA0,A1,A2,··· ? A, alors∩n≥0An? A. D´emonstration.On note pour toutn,Bn=Acn. Donc, par d´efinition d"une tribu,Bn? A,?n et?n≥0Bn? A. n≥0An=∩n≥0Bcn n≥0Bn? c( par d´efinition )? A.Exemple 2.1.4.Pour n"importe quel ensembleΩ,A={∅,Ω}est une tribu.
Exemple 2.1.5.Pour n"importe quel ensembleΩ, ,A=P(Ω)(les parties deΩ) est une tribu. Proposition 2.1.6.SoitA ? P(Ω), il existe une tribu not´eeσ(A)telle que siBest une tribu telle queA ? Balorsσ(A)? B. On dira queσ(A) est la plus petite tribu contenantA, ou encore queσ(A) est la tribu engendr´ee parA. 56CHAPITRE 2. TH´EORIE DE LA MESURE
D´efinition 2.1.7.Soit l"ensemble de parties deRsuivant :A={]a,b[:a,b?R? {+∞,-∞}}
(c"est l"ensemble des intervalles ouverts). La tribuσ(A)s"appelle la tribu des bor´eliens et se
noteB(R). Exemple 2.1.8.Soit[a,b]intervalle ferm´e deR. Les intervalles]-∞,a[,]b,+∞[sont dans B(R). La familleB(R)est une tribu donc]- ∞,a[?]b,+∞[? B(R)(stabilit´e par r´eunion d´enombrable), et donc aussi(]- ∞,a[?]b,+∞[)c= [a,b]? B(R)(stabilit´e par passage au compl´ementaire). De mˆeme, on peut montrer que tous les intervalles deRsont dansB(R), ainsi que tous les singletons (les ensembles de la forme{x},x?R).2.2 Mesures
Notation 2.2.1.Dans le calcul des mesures, on adopte les conventions de calcul suivantes (qui ne sont pas valables ailleurs) :?x?R,x+∞= +∞,0× ∞= 0. D´efinition 2.2.2.SoitΩun ensemble muni d"une tribuA. On dit queμest une mesure (positive) sur(Ω,A)si :1.μ:A →[0,+∞](elle peut prendre la valeur∞)
2.μ(∅) = 0
3. siA0,A1,A2,··· ? Aet sont deux `a deux disjointsalorsμ(?n≥0An) =?
n≥0μ(An). Quandμest une mesure sur (Ω,A) est telle queμ(Ω) = 1, on dit queμest une mesure de probabilit´e(cette d´efinition sera rappel´ee plus tard dans le cours). La tribuA contient tous les ´ev´enements possibles et, pourA? A,μ(A) est la probabilit´e queAse produise. D´efinition 2.2.3.Quandμest telle queμ(Ω)<∞, on dit queμest une mesure finie. D´efinition 2.2.4.Quand on a un ensembleΩavec une tribuAsurΩ, on dit que(Ω,A) est un espace mesurable. Si on a de plus, une mesureμsur(Ω,A), on dit que(Ω,A,μ)est un espace mesur´e. Exemple 2.2.5.Le triplet(N,P(N),card)est un espace mesur´e. Nous avons vu (exemple2.1.5) queP(N)est une tribu surN. De plus :
1. PourA? P(N), card(A)(=le nombre d"´el´ements deA) est bien dans[0,+∞].
2. La partie∅est de cardinal0.
3. SiA0,A1,··· ? P(N)sont deux `a deux disjoints, card(?n≥0An) =?
n≥0card(An). Proposition 2.2.6.Croissance et mesure d"une diff´erence Soit(Ω,A,μ)un espace mesur´e. SoitA,B? Atels queB?A. - Si, de plusμ(A)<+∞, alorsμ(A\B) =μ(A)-μ(B). (Rappel :A\B={x:x?A,x /?B}.)μ(A). Siμ(A)<+∞, nous avons alorsμ(A\B) =μ(A)-μ(B).Proposition 2.2.7.Sous-additivit´e.
Soit(Ω,A,μ)un espace mesur´e. SiA0,A1,A2,··· ? A(pas forc´ement deux `a deux disjoints).
n≥0μ(An).2.2. MESURES7
alors, par convention,B0=A0). Les ensemblesB0,B1,B2,...sont deux `a deux disjoints.Nous avons
μ(?n≥0An) =μ(?n≥0Bn)
(carB0,B1,B2,...deux `a deux disjoints) =? n≥0μ(Bn) n≥0μ(An)Proposition 2.2.8.Mesure d"une r´eunion croissante. Soit(Ω,A,μ)un espace mesur´e. SoientA0,A1,··· ? Atels queA0?A1? ··· ?An? A n+1?.... Alorsμ(?k≥0Ak) = limn→∞μ(An) D´emonstration.Posons pour toutk≥1,Bk=Ak\Ak-1(={x:x?Ak,x /?A+k-1}) et B0=A0.0AAB
1B12Les ensemblesB0,B1,B2,...sont deux `a deux disjoints. Donc
μ(?k≥0Ak) =μ(?k≥0Bk)
k≥0μ(Bk) = lim n→+∞n k=0μ(Bk)On a?n,?n
k=0μ(Bk) =μ(An). Doncμ(?k≥0Ak) = limn→+∞μ(An).Proposition 2.2.9.Mesure d"une intersection d´ecroissante.
Soit(Ω,A,μ)un espace mesur´e. SoientA0,A1,··· ? Atels queA0?A1? ··· ?An? A n+1?...et tels queμ(A0)<+∞. Alorsμ(∩k≥0Ak) = limn→+∞μ(An). D´emonstration.Posons pour toutk,Bk=Ak\Ak+1. Les ensemblesB0,B1,B2,...sont deux `a deux disjoints.8CHAPITRE 2. TH´EORIE DE LA MESUREAB
B0 1 A A120Nous avons∩k≥0Ak=A0\ ?k≥0Bk, donc (par la proposition 2.2.6)
μ(∩k≥0Ak) =μ(A0)-μ(?k≥0Bk) (mesure d"une r´eunion disjointe) =μ(A0)-? k≥0μ(Bk) =μ(A0)-limn→+∞n k=0μ(Bk) = lim n→+∞(μ(A0)-μ(B0)- ··· -μ(Bn)) (mesure d"une r´eunion disjointe) = limquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23[PDF] exercices corrigés valeurs propres d'une matrice
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