[PDF] chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

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CHAPITRE

7Trigonalisation et diagonalisation

des matrices Sommaire1 Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Une obstruction au caract

`ere diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . .11

4 Caract

´erisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . .12

5 Matrices diagonalisables : premi

`eres applications . . . . . . . . . . . . .15

6 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .

17

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Nous abordons dans ce chapitre les probl

`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c"est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. On pr´esente quelques cons´equences th´eoriques importantes de ce r

´esultat.

Le probl

`eme de la diagonalisation est plus´epineux. Une matrice n"est pas en g´en´eral dia- gonalisable, c"est- `a-dire semblable`a une matrice diagonale. Dans ce chapitre, on s"int´eressera aux obstructions au caract `ere diagonalisable. En particulier, nous donnerons une caract´erisation de nature g

´eom´etrique des matrices diagonalisables.

Nous pr

´esentons deux applications imm´ediates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d"une matrice diagonalisable et la r

´esolution des syst`emes diff´erentiels

lin ´eaires d´efinis par une matrice diagonalisable. Nous reviendrons sur ces deux applications dans les prochains chapitres, notamment dans le cas o `u ils mettent en jeu des matrices non diagonalisables. x1 Trigonalisation des matrices

7.1.1. D

´efinition.-Une matriceAdeMn(K)est ditetrigonalisabledansMn(K), siAest semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(K). C"est-`a-dire, s"il existe une matrice 1 2

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

inversiblePdeMn(K)et une matrice triangulaire sup´erieureT`a coefficients dansKtelles que

A=PTP1:(7.1)

On notera que toute matrice triangulaire sup

´erieure´etant semblable`a une matrice triangu- laireinf a une matrice triangulaire inf´erieure.

7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer

que la matriceAest semblable`a une matrice de la forme 2 6 664
0...B 03 7 775
o `uBest une matrice deMn1(K).

7.1.3. Caract

´erisation des matrices trigonalisables.-Le r´esultat suivant fournit une ca- ract ´erisation des matrices trigonalisables.7.1.4 Th ´eor`eme (Th´eor`eme de trigonalisation).-Une matriceAdeMn(K)est trigonalisable dansMn(K)si, et seulement si, son polynˆome caract´eristiquepAest scind´e

surK.Preuve.La condition est n ´ecessaire. SiAest une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est

semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure : t=2 6 664
1

02...............

00n3 7 775

Le polyn

ˆome caract´eristique de la matriceTest scind´e : p

T= (1)n(x1):::(xn):

D"apr `es la proposition 6.3.3, deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique. Ainsi,pA=pTet par suite le polynˆome caract´eristique deAest scind´e surK.

La condition est suffisante. On proc

`ede par r´ecurrence surn. Toute matrice deM1(K)est trigonalisable. On suppose que tout matrice deMn1(K), dont le polynˆome caract´eristique est scind ´e, est trigonalisable, montrons que cela est vrai pour toute matrice deMn(K). SoitA2 Mn(K), telle que le polynˆomepAsoit scind´e surK. Le polynˆomepAadmet donc au moins une racinedansK. Consid´erons un vecteur propreedansKnassoci´e`a la valeur propre. Compl´etons le vecteureen une baseB= (e;e2;:::;en)deKn. SoituA l"endomorphisme deKnassoci´e`a la matriceA,i.e., l"endomorphisme d´efini, pour tout vecteur xdeKn, paruA(x) =Ax. On a u

A(e) =Ae=e;

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES3

par suite, la matrice de l"endomorphismeuAexprim´e dans la baseBest [uA]B=2 6 664
0...B 03 7 775;
o `uBest une matrice deMn1(K). La matriceA´etant semblable`a la matrice[uA]B, il existe une matrice inversiblePdeMn(C), telle que P 1AP=2 6 664
0...B 03 7 775:

De plus, d"apr

`es 6.3.8, le polynˆome caract´eristique du blocBdivise le polynˆome caract´eristique

de la matriceA, il est donc scind´e comme ce dernier. Par hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceB

est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, il existe une matrice inversibleQdans M n1(K), telle quet0=Q1BQsoit triangulaire sup´erieure. En multipliant par blocs, on a : 2 6

6641 00

0...Q 03 7 7751
P 1AP2 6

6641 00

0...Q 03 7 775=2
6 664

0...Q1BQ

03 7 775
2 6 664

0...T0

03 7 775:

En posant

R=P2 6

6641 00

0...Q 03 7 775;
la derni `ere´egalit´e s"´ecrit R 1AR=2 6

6641 00

0...Q 03 7 775:
Ainsi,Aest semblable`a une triangulaire sup´erieure.

7.1.5. Trigonalisation surC.-Voici une premi`ere cons´equence importante du th´eor`eme de

trigonalisation.D"apr nul deC[x]est scind´e surC. Par suite, on a 4

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES7.1.6 Proposition.-Toute matriceAdeMn(C)est trigonalisable dansMn(C).Notons que toute matriceAdeMn(R)peut toujours se trigonaliser dansMn(C). En effet,

si le polyn ˆome carat´eristique deAest scind´e surR,Aest trigonalisable dansMn(R). Sinon, le polyn ˆomepAest toujours scind´e dansMn(C). Il existe alors une matrice inversiblePet une matrice triangulaireTdeMn(C)telles queA=PTP1.

7.1.7. Exemple.-La matrice suivante deM4(R)

A=2 6

6401 1 1

1 0 1 1

0 0 01

0 0 1 03

7 75
admet pour polyn

ˆome caract´eristique

p

A= (x2+ 1)2:

Ce polyn

ˆome n"est pas scind´e dansR[x], la matriceAn"est donc pas trigonalisable dans M

4(R). Cependant, il est scind´e dansC[x]:

p

A= (xi)2(x+i)2:

La matrice est trigonalisable. Posons

P=2 6

6411 1 0

i0i i

0 1 0 1

0i0i3 7 75:

Le premier et troisi

`eme vecteur colonne de la matricePsont des vecteurs propres associ´es aux valeurs propresietirespectivement. Les deux autres vecteurs colonnes compl`etent ces vecteurs en une base de trigonalisation. On a A=P2 6

64i1 0 0

0i0 0 0 0i1

0 0 0i3

7

75P1;avecP1=12

2 6

641i1 0

0 0 1i

1i0i

0 0 1i3

7 75:

7.1.8. Somme et produit des valeurs propres.-Le th´eor`eme de trigonalisation nous permet

de relier des invariants d"une matrice, tels que sa trace et son d

´eterminant,`a ses valeurs propres.

Si une matriceAest trigonalisable, semblable`a une matrice triangulaire sup´erieureT, alors les valeurs propres deA´etant les racines du polynˆomepA, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matriceT. ´Etant donn´ee une matriceAdeMn(C), alors son polynˆome caract´eristique est scind´e surC: p

A= (1)n(x1):::(xn):

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES5

La matriceAest semblable`a une matrice triangulaireT,i.e., il existe une matrice inversibleP telle que P 1AP=2 6 664
1

02...............

00n3 7 775
Etant semblables, les matricesAetTont mˆeme trace et mˆeme d´eterminant, on en d´eduit que la trace (resp. le d ´eterminant) deAest´egale`a la somme (resp. le produit) des valeurs propres, compt

´ees avec leur ordre de multiplicit´e. Pr´ecis´ement, on a7.1.9 Proposition.-SoitAune matrice deMn(C)de polynˆome caract´eristique

p

A= (1)n(x1)n1:::(xp)np;

o

`unid´esigne l"ordre de multiplicit´e de la valeur propreidans le polynˆome caract´eristique.

Alors,

i)trace(A) =n11+:::+npp, ii)det(A) =n11:::npp.

Plus g

´en´eralement, pour tout entierk1, on a

iii)trace(Ak) =n1k1+:::+npkp, iv)det(Ak) =k:n11:::k:npp.7.1.10. Exemples.-Dans l"exemple 6.3.5, on a montr´e que la matriceA=01 1 0 poss `ede deux valeurs propresieti; la somme de ces valeurs propres est´egale`a la trace deA et leur produit est le d

´eterminant deA.

Dansl"exemple6.3.6,onamontr

R =cossin sincos estSpC(R) =fei;eig. La proposition pr´ec´edente, nous permet de retrouver les relations trigonom

´etriques bien connues :

trace(R) = 2cos=ei+ei; detR= 1 =eiei:

7.1.11 Exercice.-Montrer qu"une matrice deMn(R)est inversible si, et seulement si, elle

n"admet pas de valeur propre nulle.

7.1.12. Exemple.-Dans l"exemple 7.3.4, nous avons montr´e que la matrice

A=2 6

66400 1.........

00 1 11 13 7 775
6

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

admet pour valeur propre0, d"ordre de multiplicit´e g´eom´etriquen2, par suite le polynˆome

caract

´eristique s"´ecrit sous la forme

p

A= (1)nxn2(x2+x+):

D ´eterminons les autres valeurs propres deA. Supposons que p

A= (1)nxn2(x1)(x2):

D"apr `es la proposition 7.1.9,1et2satisfont les relations trace(A) =1+2 trace(A2) =21+22 avec A 2=2 6

66411 1.........

11 1 11n3 7 775:
Ainsi,trace(A) = 1ettrace(A2) = 2n1, par suite,1et2satisfont les deux relations

1+2= 1

21+22= 2n1

Comme(1+2)2=21+22+ 212, le syst`eme pr´ec´edent se r´eduit`a

1+2= 1

12= 1n

Donc1et2sont solutions de l"´equation

2+ (1n) = 0:

D"o `u

1=1 +p4n32

; 2=1p4n32

Le spectre deAest donc

Sp(A) =

0;1p4n32

;1 +p4n32

Les sous-espaces propres sont d

´efinis par

E

0= Vect(2

6

666641

1 0... 03 7

77775;2

6

666640

1 1... 03 7

77775; ::: ;2

6

666640

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