[PDF] Chapitre III: Réduction dendomorphisme: diagonalisation et





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Feuille de TD n 3 Diagonalisation trigonalisation

https://webusers.imj-prg.fr/~alexandru.oancea/2020-L2-LU2MA123/2MA123_TD3_%20FINAL_solutions.pdf



chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des syst`emes différentiels.



Chapitre III: Réduction dendomorphisme: diagonalisation et

27 mars 2021 Diagonalisation. Trigonalisation. Polynômes d'endomorphismes-Polynôme minimal. Plan. 1. Diagonalisation. Valeurs propres et vecteurs propres ...



R´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES

2.4 Crit`eres de diagonalisation. 2.5 Méthode de diagonalisation – Exemples. 3 Trigonalisation. 3.1 Matrices triangulaires – endomorphismes trigonalisables.



Réduction des endomorphismes (Alg`ebre 3)

3 Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie. 26. 3.1 Préliminaires . Un endomorphisme f de E est diagonalisable si et seule-.



Feuille de TD n 3 Diagonalisation trigonalisation

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Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

2 Diagonalisation d'un endomorphisme d'une matrice. 5. 2.1 Définitions . 3.3 Exemples de trigonalisation . ... 4.1 Diagonaliser une matrice .



ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . . 8 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . 20.



Réduction des endomorphismes

Trigonalisation des endomorphismes et des matrices . On dit que la matrice A est diagonalisable si l'endomorphisme de Kn canoniquement.



TD 4. Diagonalisation et trigonalisation

Diagonalisation et trigonalisation. Exercice 1. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie 2 et de base B = (e1e2). Considérons les endomorphismes de 



Diagonalisation et trigonalisation - sorbonne-universitefr

Diagonalisation et trigonalisation Alg ebre et analyse fondamentales - Paris 7 - O Bokanowski - Septembre 2015 Pour ce cours il est important de conna^ tre le th eor eme donnant les divers crit eres de diago-nalisation des endomorphismes (savoir calculer les sous-espaces propres d’un endomorphisme)





Réduction d’endomorphismes Chap 07 : cours complet

Théorème 3 1 : comparaison des spectres réels et complexes Définition 3 2 : polynôme caractéristique d’une matrice carrée Théorème 3 2 : lien entre valeurs propres d’un endomorphisme et d’une matrice 4 Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées



Chapitre 4 : Réduction des endomorphismes

4 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables Définition Soit f ?L(EE) diagonalisable Soit ?? une valeur propre de f On note Ev?=?{Ef()v?v} G = GG E? est un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace propre associé à ? Proposition Soient f un endomorphisme diagonalisable de E et ?? une valeur propre de f



Chapitre 2 Diagonalisation des endomorphismes et des matrices

2 L2PC Chapitre 4 Diagonalisation 6 3 Crit ere de diagonalisation 23 Introduction: Sur les matrices d’un endomorphisme Soient Eun K-espace vectoriel de dimension nie (K = R ou C) et f : E!Eun endo-morphisme de E Nous avons vu qu’ etant donn ee une base B= fe 1; ;e ngde E on associe a f une matrice M



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{ sur C on pourra montrer la connexit¶e des matrices diagonalisables et de l’ensemble des matrices poss¶edant n valeurs propres distinctes † les endomorphismes normaux sont diagonalisables; † classi?cation des coniques (projective et euclidienne) † Burnside: G sous-groupe de GLn(Calors: G ?ni G d’exposant ?ni

Qu'est-ce que la réduction des endomorphismes et la diagonalisation des matrices ?

La réduction des endomorphismes et la diagonalisation des matricespermettent de simplifier considérablement un certain nombre de calculs, comme par exemple le calcul de puissances d'une matrice, ou la résolution de systèmes différentiels linéaires. Sans entrer dans les détails, on peut en donner quelques exemples ici.

Comment créer un endomorphisme diagonalisable ?

C’est donc a vous de bien pr¶eciser les choses. †il faut suremen^ t commencer par introduire les d¶e?nitions sur valeurs propres, espaces propres et donner la d¶e?nition d’un endomorphisme diagonalisable (les sous-espaces propres sont en somme directe, si cette somme directe est l’espace tout entier alors l’endomorphisme est dit diagonalisable);

Quelle est la matrice d'un endomorphisme?

Matrice d'un endomorphisme D2 : La matrice de dans la base de est une matrice carrée d'ordre où que l'on note ou Mat. avec , . Pour retenir : Les coordonnées de dans la base forment la -ème colonne de .

Est-ce que l'endomorphisme est diagonalisable ?

L'endomorphisme considéré est donc diagonalisable. Diagonalisation, polynôme caractéristique On a vu dans l'exemple ci-dessus un cas où la recherche de valeurs propres se ramenait à une recherche de racines d'un polynôme. Cette situation n'était pas un cas particulier, comme on va le voir. Soit une valeur propre de l'endomorphisme .

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Chapitre III: Réduction d"endomorphisme:

diagonalisation et trigonalisation

Pr. Abdellatif Sadrati

Université Moulay-Ismail, F.S.T Errachidia.

abdo2sadrati@gmail.com

27 mars 2021

Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal Plan

1Diagonalisation

Valeurs propres et vecteurs propres d"un endomorphisme

Polynôme caractéristique

Sous-espace propre

Critères de diagonalisation

Méthode de diagonalisation-Exemple

2Trigonalisation

Endomorphisme trigonalisable

Exemples de trigonalisation

3Polynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Polynômes d"endomorphismes

Polynôme minimal

Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal Valeurs propres et vecteurs propres d"un endomorphisme Dans tout le chapitreK=RouCetn2N.SoitEun espace vectoriel surKetfun endomorphisme deE.Définition On dit que2Kestvaleur propredefs"il existe un vecteurnon n ulx deEtel quef(x) =x;xest alors appelévecteur propredefassocié à la valeur propre.Remarque

Tous les multiples

non n ulsd"un vecteur propre defsont encore des vecteurs propres defpour la même valeur propre. L"ensemble des valeurs

propres d"un endomorphismefs"appellespectredefet est notésp(f).En effet, siv=xest un multiple dex, avec6= 0, alors

f(v) =f(x) =f(x) =x=x=v:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal Valeurs propres et vecteurs propres d"un endomorphisme

Exemple

Sifest une homothétie d"un espace vectorielE,f=a:IdE, alors tout

vecteur non nul est un vecteur propre associé à la valeur proprea.L"exemple que nous donnons ici concerne un espace vectoriel réel de

dimension infinie.Exemple SoitEl"espace vectoriel des fonctions deRdansR, indéfiniment dérivables. L"applicationu:E!Equi à une fonction associe sa dérivée est un endomorphisme deE. Alors pour tout réel, la fonction f (t) = exp(t)est un vecteur propre associé à la valeur propre, car f

6= 0etu(f) =f0=f.f

(t) =et=)u(f)(t) = (et)0=et=f(t) =)u(f) =f:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal Valeurs propres et vecteurs propres d"un endomorphisme Dans le théorème suivant nous caractérisons de manière plus précise les valeurs propres d"un endomorphisme.Théorème Soitf2L(E)etun scalaire. Les assertions suivantes sont

équivalentes :

(i)est valeur propre def; (ii)L"endomorphismefIdEn"est pas injectif, c"est-à-dire son noyau vérifie ker(fIdE) =fx2E=(fIdE)(x) = 0g 6=f0g; (iii)det(fIdE) = 0; (iv)det(MIn) = 0, oùMest la matrice defdans n"importe quelle base

deE.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal Valeurs propres et vecteurs propres d"un endomorphisme

Démonstration.

Pour quesoit valeur propre defil faut et il suffit qu"il existe un vecteur non nulxdeEtel quef(x) =x=)f(x) =idEx, c"est-à-dire que l"on ait (fidE)(x) = 0, ou encore que le noyauker(fidE)6=f0g. Ceci entraine l"équivalence de(i)et(ii). Pour que l"endomorphismefidEde l"espace vectoriel de dimensionn finieEne soit pas injectif il faut et il suffit qu"il ne soit pas bijectif, c"est-à-dire que son déterminant soit nul, d"où l"équivalence de(ii)et(iii). Enfin par définition du déterminant d"un endomorphisme,(iii)et(iv)sont

équivalentes.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Polynôme caractéristique

Définition

Lepolynôme caractéristiquedef2L(E)est défini par C f(X) = det(fXidE): SiEest unK-espace vectoriel, alorsCf(X)2K[X]. De plus, siMest la matrice defdans une base quelconqueBdeE, alors C

f(X) = det(MXIn) =CM(X):Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Polynôme caractéristique

Théorème

Les valeurs propres d"un endomorphismefsur unK-espace vectorielE sont exactement les racines de son polynôme caractéristique qui sont dans

K.Démonstration.

On a les équivalences suivantes :

2Kest valeur propre def()fIdEest non injectif

()det(fIdE) = 0 ()Cf() = 0

()est une racine deCfdansK:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Polynôme caractéristique

SoitM= (mij)1i;jnune matrice d"ordrenà coefficients dansK. SoitX une indéterminé, alors on peut écrire :

MXIn=0

B

BBBBB@m

11Xm 12: : : m1n

m

21m22X: : : m 2n

m n1mn2: : :m nnX1 C

CCCCCAProposition

Le polynôme caractéristique d"une matrice (ou d"un endomorphisme d"un espace vectoriel de dimensionn) est un polynôme de degrén.Corollaire En dimensionnun endomorphisme (ou une matrice d"ordren) a au plusn

valeurs propres distinctes.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Polynôme caractéristique

Exemple

SoitA= (aij)1i;jnune matrice triangulaire. AlorsAXInest aussi une matrice triangulaire et le polynôme caractéristique (déterminant d"une matrice triangulaire) est donc le produit des coefficients diagonaux, c"est-à-dire C

A(X) = (a11X)(a22X):::(annX):

Les valeurs propres deAsont donc les coefficients diagonaux deA. En particulier ce résultat est vrai pour une matrice diagonale.Définition Soitfun endomorphisme d"unK-espace vectorielE. L"ordre de multiplicité d"une valeur propredefest l"ordre de multiplicité de la racinedu

polynôme caractéristique def.Exp :P(X) =X2(X1)3(X+ 4).Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Sous-espace propre

Ce qui précède montre que l"ensemble des vecteurs propres associés à une valeur proprefx6= 0 : (fidE)(x) = 0g, auquel on ajoute le vecteur nul est exactementker(fIdE).Définition Soitune valeur propre d"un endomorphismef. On appellesous-espace propreassocié à, le sous-espace vectoriel deEdéfini par : E = ker(fIdE):Remarque C"est en cherchant le noyau de l"applicationfIdEque l"on détermine

les vecteurs propres associés à la valeur propre.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Sous-espace propre

Exemple

Le polynôme caractéristique de la matriceM=0 1 1 0 est C

M(X) = det(MXI2) =X1

1X =X21: Les valeurs propres sont1. Les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres se déterminent alors de la manière suivante : x y

2E1= ker(M1:I2)()(M1:I2)x

y =0 0 x+y= 0 xy= 0 ()x=y:

DoncE1est engendré par le vecteur1

1

:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Sous-espace propre

Exemple (suite)

De la même manière on détermineE1

x y

2E1()(M+ 1:I)x

y =0 0 x+y= 0 x+y= 0()x=y:

DoncE1est engendré par le vecteur1

1 :Théorème Soitf2L(E)etune valeur propre def. Alors la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propreest inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre. En particulier, siest une valeur propre

simple (multiplicité égale à1) alorsdimE= 1.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Critères de diagonalisation

Définition

On dit qu"un polynômeP(X)estscindédansKs"il est décomposable en un produit de facteurs du premier degré à coefficients dansK, c"est-à-dire s"il peut s"écrire sous la forme :

P(X) =anY

i=1(Xi); a;1;:::;n2K:Exp :P(X) =X2(X1)3(X+ 4).

Exp :P(X) =X2(X1)3(X2+ 4).Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Critères de diagonalisation

Remarque

Si le polynôme caractéristiqueCf(X)d"un endomorphismefest scindé dansK, alors on peut l"écrire sous la forme : C f(X) = (1)nrY i=1(Xi)mi=rY i=1(iX)mi; oùr;1rn, représente le nombre de valeurs propres distinctes, les (i)1irsont les différentes valeurs propres et les(mi)1irsont leurs ordres de multiplicité respectifs. On a de plus rP i=1m

i=n:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Critères de diagonalisation

En effet,

C f(X) = (1)nrY i=1(Xi)mi = (1)n(X1)m1:(X2)m2:::(Xr)mr = (1)n((1X))m1:((2X))m2:::((rX))mr = (1)n(1)m1(1X)m1:(1)m2(2X)m2:::(1)mr(rX)mr = (1)n(1)n=rP i=1mi(1X)m1:(2X)m2:::(rX)mr = (1)2nrY i=1(iX)mi rY

i=1(iX)mi:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Critères de diagonalisation

Définition

On dit quef2L(E)est diagonalisable s"il existe une base deE constituée de vecteurs propres.Remarque

Dans une telle base la matrice defs"écrit

D=0 B BBB@

10: :0

0: : : :0

0: :0n1

C

CCCA:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Critères de diagonalisation

Théorème

Soitfun endomorphisme d"unK-espace vectorielEde dimension finie, C fson polynôme caractéristique,1;:::;rune liste sans répétition de toutes ses valeurs propres etEi= ker(fiIdE) (1ir)ses sous-espaces propres associés. Les énoncés suivants sont alors équivalents : (i)fest diagonalisable; (ii)Cfest scindé, mettons :Cf(X) =rQ i=1(iX)mi, et la multiplicité de chaque racineideCfest égale à la dimension du sous-espace propre associé ài;dimEi=mi;1ir; (iii)dimE= dimE1+ dimE2+:::+ dimEr; (iv)Eest la somme directe des sous-espaces propres def:

E=E1E2:::Er(E=E1+E2+:::+EretEi\Ej=f0g;i6=j):Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Méthode de diagonalisation-Exemple

Afin de diagonaliser un endomorphismef, on peut procéder comme suit :

1) Calcule et scindage deCf:Cf(X) =rQ

i=1(iX)mi. siCfn"est pas scindé, alorsfn"est pas diagonalisable.

2) Pour chaque racineideCf, détermination d"une base

fui1;ui2;:::;uinigdu sous-espace propreEi= ker(fiIdE). Si l"une de ces bases vérifie :ni= dimEi< mi, alorsfn"est pas diagonalisable. Sinon, on ani= dimEi=mipour toutiet l"on obtient une base deE en les juxtaposant. La matrice de passage à cette nouvelle base et la matrice diagonale représentantfdans cette dernière s"en déduisent immédiatement :

Exp :P(X) =X2(X1)3(X+ 4).

Exp :P(X) =X2(X1)3(X2+ 4).Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Méthode de diagonalisation-Exemple

P=0 B

BBBBB@u

11: : u1n1: : ur1: : urnr

: : : :1 C

CCCCCA;

D=0 B

BBBBBBBBBBBBB@

10: : :0

0: 1 r: : :0

0: : :0r1

C

CCCCCCCCCCCCCAPr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Méthode de diagonalisation-Exemple

Exemple

Soitfl"endomorphisme deR2représenté dans la base canonique deR2 par la matrice A=0 1 1 0

Le polynôme caractéristiqueCf(X) =X1

1X =X2+ 1n"est pas scindé dansR, doncfn"est pas diagonalisable. Considérons maintenant l"endomorphismegdeC2représenté par la matriceA: On a cette foisCg(X) =X2+ 1 = (Xi)(X+i)etga deux valeurs propres simples :ieti. Les deux sous-espaces propres correspondantsEi,Eisont donc de dimension1etgest diagonalisable.

Déterminons une base deEi.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Méthode de diagonalisation-Exemple

Exemple (suite)

Les vecteurs deEi= ker(giIdC2)sont les vecteurs(z1;z2)2C2tels que (AiI2)z 1 z 2 =i1 1i z 1 z 2 =0 0 iz1+z2= 0 z1iz2= 0( i): Autrement dit tels quez2=iz1. On peut donc choisir comme base deEile vecteuru1= (1;i). On trouve de mème queEiest l"ensemble de vecteurs (z1;z2)2C2tels quez2=iz1, et l"on peut donc choisir comme base de E ile vecteuru2= (1;i). La matrice de passage à la basefu1;u2get la matrice degdans cette dernière sont respectivement : P=1 1 ii ; D=i0 0i

En conclusion, la matriceAest diagonalisable dansC, mais pas dansR:Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Endomorphisme trigonalisable

Définition

Une matrice carréeAest dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaireT, supérieure ou inférieure, c"est-à-dire s"il existe une matrice inversiblePtelle queA=P1TP(ouT=P1AP).Définition On dit quef2L(E)est trigonalisable s"il existe une base deEdans

laquelle sa matrice est triangulaire supérieure ou inférieure.Pr. Abdellatif SadratiF.S.T ErrachidiaChapitre III: Réduction d"endomorphisme: diagonalisation et trigonalisation

DiagonalisationTrigonalisationPolynômes d"endomorphismes-Polynôme minimal

Endomorphisme trigonalisable

Trigonaliserfsignifie : Rechercher une telle base. Sifa dans la basequotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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