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UNIVERSIT

´E PARIS 7

DENIS DIDEROT

MI3

Alg`ebre et analyse fondamentales I

CHAPITRE IV

R

´EDUCTION DES

ENDOMORPHISMES

ann´ee 2008-2009

Auteur : Thierry Joly

D´epartement de Formation

de 1 erCycle de Sciences Exactes

CHAPITRE IV MI3 - Ann´ee 2008/09

R

´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES

Plan du chapitre :

1 Sommes directes de sous-espaces vectoriels (rappels)

2 Diagonalisation

2.1 Matrices diagonales - endomorphismes diagonalisables

2.2 Applications de la diagonalisation

2.3 Sous-espaces propres d"un endomorphisme

2.4 Crit`eres de diagonalisation

2.5 M´ethode de diagonalisation - Exemples

3 Trigonalisation

3.1 Matrices triangulaires - endomorphismes trigonalisables

3.2 Crit`ere de trigonalisation

3.3 M´ethode de trigonalisation - Exemple

3.4 Application aux syst`emes diff´erentiels lin´eaires

1

CHAPITRE IV MI3

R

´EDUCTION DES ENDOMORPHISMES

N.B.Dans tout ce chapitre, la lettreKd´esigne l"un des ensemblesRouC.

1 Sommes directes de sous-espaces vectoriels (rappels)

D´efinitionOn appellesommede sous-espacesE1,...,End"unK-espace vectorielEl"ensemble not´eE1+···+Endes vecteurs deEde la formex1+···+xn, o`ux1?E1,...,xn?En: E Proposition 1La sommeE1+···+Ende sous-espaces quelconquesE1,...,End"unK-espace vectorielEest un sous-espace deE.

D´emonstrationPour tousx,y?E1+···+Enet toutk?K, il existe par d´efinition des vecteurs

x

1?E1,...,xn?En,y1?E1,...,yn?Entels que :x=x1+···+xnety=y1+···+yn, donc

x+y= (x1+y1) +···+ (xn+yn)?E1+···+Enetkx=kx1+···+kxn?E1+···+En. D´efinitionOn dit que la sommeE1+···+Ende sous-espacesE1,...,End"unK-espace vectoriel

Eestdirectelorsque pour tousx1?E1,...,xn?En:

x

1+···+xn= 0 =?x1=...=xn= 0.

Si tel est le cas, la sommeE1+···+Enest not´ee :E1? ··· ?En. Proposition 2SoitE1?···?Enune somme directe de sous-espaces d"unK-espace vectorielE. Alors tout vecteurx?E1? ··· ?Ense d´ecomposede fa¸con uniqueen une somme : x=x1+···+xn, x1?E1,...,xn?En. D´emonstrationSix=x1+···+xn=x?1+···+x?navecxi,x?i?Eipour touti, alors (x1-x?1) +···+ (xn-x?n) = 0. Il s"ensuit :x1-x?1=...=xn-x?n= 0, soit encore : x 2 Proposition 3La sommeE1+E2dedeuxsous-espaces vectorielsE1,E2d"unK-espace vectoriel

Eest directe ssiE1∩E2={0}.

D´emonstrationSi la sommeE1+E2est directe, alors pour toutx?E1∩E2, on a :x?E1, -x?E2et la relationx+ (-x) = 0 entraˆıne doncx=-x= 0, d"o`u :E1∩E2={0}. R´eciproquement, siE1∩E2={0}, alors pour tousx1?E1,x2?E2tels quex1+x2= 0, on a x Remarques•Dans le cas particulier o`u chaque sous-espaceEid"une sommeE1+...+Enest engendr´e par un unique vecteur non nulvi, alors la sommeE1+...+Enest directe ssi les vecteurs v

1,...,vnsont lin´eairement ind´ependants.

•La notion de somme directe de sous-espaces peut donc ˆetre vue comme une g´en´eralisation de

la notion d"ind´ependance lin´eaire de vecteurs et la proposition 2 est `a rapprocher de l"unicit´e

des coefficientskid"une combinaison lin´eairePn i=1kivide vecteurs lin´eairement ind´ependants v

1,...,vn.

•Tout naturellement, les notions de somme directe et de syst`emes lin´eairement ind´ependants

pr´esentent aussi les mˆemes ´ecueils. Par exemple, de mˆeme qu"il est tout `a fait faux de dire que

des vecteursv1,...,vnsont lin´eairement ind´ependants ssi ils deux `a deux non colin´eaires (erreur

fr´equente), il faut se garder de g´en´eraliser abusivement la proposition 3 en pr´etendant qu"une

sommeE1+...+Enest directe ssiEi∩Ej={0}pour chaque paire de sous-espacesEi?=Ej. Th´eor`eme 4SoitE1? ··· ?Enune somme directe de sous-espaces d"unK-espace vectorielE. Si(u11,...,u1p1)est une base quelconque deE1,(u21,...,u2p2)une base quelconque deE2,... ...et(un1,...,unpn)une base quelconque deEn, alors la suite de vecteurs obtenue en accolant toutes ces bases :(u11,...,u1p1,u21,...,u2p2,......,un1,...,unpn) est une base deE1? ··· ?En.

D´emonstrationIl s"agit d"´etablir que tout vecteurxdeE1? ··· ?Ens"´ecrit de fa¸con unique

sous la forme : Tout vecteurx?E1? ··· ?Ens"´ecrit sous la formex=x1+···+xn, o`ux1?E1,...,xn?En. Comme (ui1,...,uipi) est une base deEi, chacun des vecteursxis"´ecrit `a son tour sous la forme x

i=ki1ui1+···+kipiuipi. En rempla¸cant ces expressions dans la sommex=x1+···+xn, on

obtient la relation (?). Montrons `a pr´esent que les scalaireskijde (?) sont uniques. Supposons que l"on a aussi : nunpn.

Alors pour touti,x?i=k?i1ui1+···+k?ip

iuipiest un vecteur deEiet l"on a :x=x?1+···+x?n. La proposition 2 entraˆıne doncx1=x?1,x2=x?2,...,xn=x?n, d"o`u pour chaquei: x iuipi. Comme les coordonn´ees du vecteurxidans la base (ui1,...,uipi) deEisont uniques, il s"ensuit k ij=k?ijpour tousi,j. Corollaire 5dim(E1? ··· ?En) = dimE1+···+ dimEn. 3

2 Diagonalisation

2.1 Matrices diagonales - endomorphismes diagonalisables

D´efinitionSik1,...,knsont des scalaires, on note Diag(k1,...,kn) la matrice carr´een×n:

Diag(k1,...,kn) =0

B

BBBB@k

10 0···0

0k20 0

0 0k30

0 0 0···kn1

C CCCCA Les matrices de la forme Diag(k1,...,kn) sont appel´eesmatrices diagonales. D´efinitionOn dit qu"un endomorphismefde d"unK-espace vectorielEestdiagonalisables"il existe une base deEdans laquelle la matrice repr´esentantfest diagonale. Diagonaliserfsignifie : rechercher une telle base. Si la matrice defdans la base (u1,...,un) est Diag(k1,...,kn), on a pour touti:f(ui) =kiui, autrement dituiest un vecteur propre associ´e `a la valeur propreki. Diagonaliserfrevient donc `a rechercher une base deEuniquement constitu´ee de vecteurs propres. ExempleSoitfl"endomorphisme deR2dont la matrice dans la base canonique (e1,e2) deR2est :

A=µ0 1

Bien queAne soit pas diagonale,fest diagonalisable. En effet, les vecteursu1=e1+e2et u

2=e1+ 2e2ne sont `a l"´evidence pas colin´eaires, donc le syst`eme (u1,u2) est libre et forme une

base deR2. De plus, la matriceAnous donne :f(e1) =-2e2etf(e2) =e1+ 3e2, donc : •f(u1) =f(e1) +f(e2) =-2e2+ (e1+ 3e2) =e1+e2=u1, •f(u2) =f(e1) + 2f(e2) =-2e2+ 2(e1+ 3e2) = 2e1+ 4e2= 2u2.

Ainsi, la matrice defdans la base (u1,u2) est :

D=µ1 0

Comme les coordonn´ees dans la base canonique (e1,e2) des vecteursu1,u2sont respectivement (1,1) et (1,2), la matrice de passage de la base canonique (e1,e2) `a cette nouvelle base (u1,u2) s"´ecrit :

P=µu

1↓

1 1u

2↓

1 ←-e1 e2 Rappelons que siX(respectivementX?) est le vecteur colonne des coordonn´ees dans la base (e1,e2) (respectivement dans la base (u1,u2)) d"un mˆeme vecteur deR2, alorsX=PX?,X?=P-1X, et que ceci entraˆıne les relations :

D=P-1AP, A=PDP-1.

RemarquePar abus de langage, on dit aussi que l"on a "diagonalis´e" la matriceA: cela signifie simplement que l"on a trouv´e une matriceinversibleP(la matrice de passage) telle queD=P-1AP soit diagonale. 4

2.2 Applications de la diagonalisation

Indiquons d`es `a pr´esent quelques probl`emes o`u la diagonalisation des matrices s"av`ere pr´ecieuse :

•Calcul des puissances d"une matrice . Une vertu des matrices diagonales est qu"elles sont par- ticuli`erement faciles `a multiplier entre elles ; en effet, on v´erifie sans peine la relation : Diag ¡k1,...,kp¢.Diag¡k?1,...,k?p¢= Diag¡k1k?1,...,kpk?p¢. Cette derni`ere entraˆıne facilement par r´ecurrence surn?N:

¡Diag(k1,...,kp¢

n= Diag¡kn1,...,knp¢. Ainsi, alors que l"on ne voit pas bien comment calculer directementAnpour la matriceAde l"exemple pr´ec´edent, on peut imm´ediatement ´ecrire : D n=µ1 0 0 2

Or la relationA=PDP-1entraˆıne :

A n= (PDP-1)···(PDP-1)| {z nfacteurs=PDnP-1, de sorte que l"on obtientAnen inversantPpuis en calculant le produitPDnP-1: P -1=µ2-1 , A n=PDnP-1=µ2-2n2n-1 •Calcul du terme g´en´eral d"une suite r´ecurrente lin´eaire . Il est bien connu qu"une suite g´eo- m´etrique (un)n?Nde raisona, i.e. telle queun+1=aun, a pour terme g´en´eral :un=anu0.

Le calcul matriciel permet d"exprimer de mˆeme le terme g´en´eral d"une suite d´efinie `a partir

de seskpremiers termes par une relation de la forme : u n+k=a1un+k-1+a2un+k-2+···+akun. Soit, par exemple, la suite (un)n?Nd´efinie par : 2 4u 0= 4, u 1= 7, u n+2= 3un+1-2un.

Quitte `a ˆetre redondant, la relation de r´ecurrence de cette d´efinition peut aussi s"exprimer

par le syst`eme :

·un+1=un+1

u n+2=-2un+ 3un+1soit encoreµun+1 u =Aµun u o`uAest toujours la mˆeme matrice que pr´ec´edemment. En posantUn=µun u pour tout n?N, on a donc : U

0=µ4

, U n+1=AUn, d"o`u, par r´ecurrence surn?N: U n=AnU0. A l"aide du calcul deAnplus haut, on obtientun= (2-2n).4 + (2n-1).7, soit encore : u n= 3.2n+ 1. 5

2.3 Sous-espaces propres d"un endomorphisme

Comme on a d´ej`a remarqu´e plus haut, diagonaliser un endomorphismefd"unK-espace vectoriel Econsiste `a former une base deE`a l"aide de vecteurs propres def. Puisque l"on sait d´ej`a

d´eterminer les valeurs propres def(il s"agit des racines de son polynˆome caract´eristique), il nous

reste `a ´etudier pour chaque valeur propreλl"ensembleEλdes vecteurs propres associ´es `aλ. Cet

ensembleEλest en fait le noyau de l"application lin´eairef-λIdE: f(v) =λv??(f-λIdE)(v) =f(v)-λv= 0??v?Ker(f-λIdE). D´efinitionSoitfun endomorphisme d"unK-espace vectorielE. Pour toute valeur propreλdef, le sous-espace vectorielEλ= Ker(f-λIdE) ={v?E;f(v) =λv}est appel´esous-espace propre defassoci´e `a la valeur propreλ. Rappelons que lamultiplicit´e d"une racineαd"un polynˆomeP(x) est le plus grand entiermtel que (x-α)mdiviseP(x),i.e.tel queP(x) puisse s"´ecrire sous la forme :P(x) = (x-α)mQ(x), o`uQ(x) est un polynˆome. Th´eor`eme 6Soitfun endomorphisme d"unK-espace vectorielEde dimension finie,Pfson

polynˆome caract´eristique etλ1,...,λples racines dePf, que l"on suppose deux `a deux distinctes et

de multiplicit´es respectivesm1,...,mp. Alors : •La somme des sous-espaces propresEλi= Ker(f-λiIdE)defestdirecte: E

λ1? ··· ?Eλp?E.

•La dimension de chaque sous-espace propreEλiv´erifie : dimEλi6mi.

D´emonstration

´Etablissons par r´ecurrence surn? {1,...,p}que la sommeEλ1+···+Eλnest directe. Lorsquen= 1, cette somme est trivialement directe, puisqu"elle ne comporte qu"un seul

terme. Supposons le r´esultat ´etabli au rangn-1 et ´etablissons-le au rangn. Soit doncv1?Eλ1,

v

2?Eλ2,...,vn?Eλntels que :

v

1+···+vn-1+vn= 0.

En appliquantf`a cette somme, on obtient en vertu de la lin´earit´e defet des relationsf(vi) =λivi:

1v1+···+λn-1vn-1+λnvn= 0,

et en multipliant cette mˆeme somme parλn: nv1+···+λnvn-1+λnvn= 0. Retranchons ces deux derni`eres ´egalit´es : (λ1-λn)v1+···+ (λn-1-λn)vn-1= 0.

Comme (λi-λn)vi?Eλipour touti? {1,...,n-1}, l"hypoth`ese de r´ecurrence entraˆıne alors :

(λi-λn)vi= 0 (i= 1,...,n-1), orλi-λn?= 0 (carλ1,...,λn-1sont deux `a deux distincts),

doncvi= 0 pour touti? {1,...,n-1}. Il s"ensuit ´evidemmentvn= 0 ; ainsi tous les vecteursviquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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