[PDF] Réduction des endomorphismes (Alg`ebre 3)

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Reduction des endomorphismes

(Algebre 3)

Destin´e aux ´etudiants de la :

2 emeann´ee Licence de Math´ematiques

FARHI Bakir

(Maˆıtre de conf´erence de classe B `a l'Universit´e A. Mira de B´ejaia)

Preface

Ce polycopi´e est issu du cours d'Alg`ebre 3 de la 2 emeann´ee Licence de Math´ematiques que j'ai le privil`ege de diriger depuis l'ann´ee universitaire

2012-2013.

Le premier et le second chapitre du polycopi´e traitentles valeurs propres, les espaces propresetla diagonalisabilit´edes endomorphismes en dimension finie. Ce sont des notions simples mais tr`es importantes que l'´etudiant doit maitriser parfaitement. Tout au long de ce polycopi´e, nous avons mis en garde l'´etudiant sur l'im- portance du calcul de la puissancekemed'une matrice carr´e. C'est en quelque sorte notre but locomotif pour la recherche d'autres types der´eductionset d'autres techniques de calcul matriciel. Au troisi`eme chapitre, nous introduisonsla trigonalisationdes endomor- phismes. Un th´eor`eme fondamental affirme que toute matrice carr´ee `a coef- ficients complexes est trigonalisable. C'est aussi la trigonalisation que nous utilisons pour d´emontrer l'importantth´eor`eme de Cayley-Hamiltondu qua- tri`eme chapitre. La trigonalisation permet aussi de calculer la puissancekeme d'une matrice carr´ee lorsque celle-ci poss`ede une unique valeur propre et ce en se servant dela formule du binˆome matricielle. Bien que la trigonalisation ne r`egle, que dans un cas particulier, le probl`eme du calcul de la puissance k emed'un endomorphisme (resp. d'une matrice carr´ee), ceci s'av`ere suffisant grˆace `a l'id´ee qui consiste `a restreindre l'endomorphisme en question `a des espaces particuliers, appel´esespaces caract´eristiqueset ´etudi´es au cinqui`eme chapitre. Par ailleurs, l'id´ee de se servir de la formule du binˆome matricielle pour calculer la puissancekemed'une matrice carr´ee trouvera son succ`es total avecla d´ecomposition de Dunfordd'un endomorphisme, ce qui est propos´e sous forme d'exercice au 5 emechapitre. Au quatri`eme chapitre, nous ´etudionsles polynˆomes annulateursd'un en- domorphisme et leur lien avec les valeurs propres. Le tr`es importantth´eor`eme de Cayley-Hamiltonest ´etudi´e et d´emontr´e par le moyen de la trigonalisa- tion. Nous introduisons aussi la notion depolynˆome minimal(qui est essen- tiellement le polynˆome de plus petit degr´e qui annule l'endomorphisme en question), puis nous donnons la m´ethode pour le d´eterminer dans des cas concrets, qui se sert justement du th´eor`eme de Cayley-Hamilton. Nous ver- rons ´egalement que la forme du polynˆome minimal (contrairement `a celle du polynˆome caract´eristique) nous renseigne imm´ediatement sur la diago- nalisabilit´e de l'endomorphisme en question. L'une des choses importantes que l'´etudiant d´ecouvrira aussi dans ce chapitre est la possibilit´e de calculer la puissancekemed'une matrice carr´ee, sans lui effectuer aucune r´eduction pr´ealable; on utilise plutˆot un polynˆome annulateur. Notons enfin que la no- tion de "polynˆomes annulateurs" est valable mˆeme pour des endomorphismes sur des espaces vectoriels de dimensions infinies et cette notion est l'une des clefs de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes en dimension infinie. Bien entendu, cette th´eorie sort du programme r´eserv´e au module d'Alg`ebre

3 et par cons´equent, nous l'avons ´ecart´ee de ce polycopi´e.

Au cinqui`eme chapitre, nous ´etudionsles espaces caract´eristiquesd'un endomorphisme. Grossi`erement, ce sont des espaces vectoriels stables par l'endomorphisme en question et dont les endomorphismes restreints `a chacun d'entre eux ont une unique valeur propre. Nous utilisons ensuite ces espaces caract´eristiques pour un nouveau type de r´eduction que l'on appellediago- nalisation par blocs triangulaireset qui r´esout d´efinitivement le probl`eme du calcul de la puissancekemed'un endomorphisme en dimension finie (resp. d'une matrice carr´ee). Au sixi`eme chapitre, nous ´etudions le dernier type de r´eduction que l'on appellejordanisation. C'est la r´eduction la plus technique mais elle offre l'avantage d'une maˆıtrise parfaite de l'endomorphisme en question. Outre le calcul de la puissancekemed'un endomorphisme et la r´esolution des syst`emes lin´eaires d'´equations diff´erentielles, la jordanisation permet de classifier les matrices carr´ees d'un mˆeme ordre via la relation d'´equivalence "sembla- ble" (deux matrices carr´ees de mˆeme ordre sont dites semblables si elles repr´esentent un mˆeme endomorphisme relativement `a deux bases diff´erentes d'un certain espace vectoriel). Au septi`eme et dernier chapitre, nous montrons `a travers des exemples comment appliquer les connaissances acquises aux chapitres pr´ec´edents pour r´esoudre des probl`emes sur les suites r´ecurrentes ainsi que des probl`emes de r´esolutions des syst`emes lin´eaires d'´equations diff´erentielles. Notons enfin que chaque chapitre est suivi d'une multitude d'exercices qui permettent `a l'´etudiant de consolider ses connaissances acquises d'un chapitre donn´e avant qu'il passe au chapitre suivant.

Bakir FARHI

B´ejaia, le 27 janvier 2014

Table des matieres

1 Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme

1

1.1 D´efinitions et exemples

1

1.2 Le polynˆome caract´eristique d'un endomorphisme en dimen-

sion finie 2

1.3 Matrices semblables

4

1.4 Deux coefficients importants du polynˆome caract´eristique

5

Exercices

8

2 Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie

11

2.1 D´efinitions et exemples

11

2.2 Espaces propres et caract´erisation des endomorphismes diago-

nalisables 13

2.3 Calcul de la puissancekemed'une matrice diagonalisable

21

Exercices

23

3 Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie

26

3.1 Pr´eliminaires

26

3.2 Caract´erisation des endomorphismes trigonalisables

27

3.3 Application de la trigonalisation au calcul des puissances d'un

certain type de matrices 29

3.3.1 Endomorphismes nilpotents et matrices nilpotentes

30

3.3.2 Formule du binˆome matricielle

30

3.3.3 M´ethode de calcul deAk(k∈N) lorsqueA∈ Mn(K)

est trigonalisable et poss`ede une unique valeur propre 32

Exercices

34

4 Polynˆome annulateur, polynˆome minimal et th´eor`eme de Cayley-

Hamilton

36
i

4.1 Application d'un polynˆome `a un endomorphisme ou `a une ma-

trice 36

4.2 Polynˆomes annulateurs

39

4.2.1 D´efinition et exemples

39

4.2.2 Existence de polynˆomes annulateurs

40

4.2.3 Lien entre les polynˆomes annulateurs et le spectre d'un

endomorphisme 41

4.3 Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton

42

4.4 Calcul de la puissancekemed'une matrice en utilisant un po-

lynˆome annulateur 45

4.5 Le polynˆome minimal d'un endomor-

phisme 49

4.5.1 D´efinition, existence et unicit´e du polynˆome minimal

d'un endomorphisme 49

4.5.2 Deux propri´et´es fondamentales du polynˆome minimal

d'un endomorphisme 51

4.6 Une nouvelle caract´erisation des endo-

morphismes diagonalisables 52

Exercices

58

5 Espaces caract´eristiques et diagonalisation par blocs trian-

gulaires 63

5.1 Espaces caract´eristiques

63

5.1.1 Propri´et´e de stabilit´e

63

5.1.2 Propri´et´e de suppl´ementarit´e

64

5.1.3 Propri´et´es sur la dimension et sur l'endomorphisme

restreint 65

5.1.4 Obtention d'un espace caract´eristique comme limite

d'une chaine croissante et stationnaire de sous-espaces vectoriels 68

5.2 Diagonalisation par blocs triangulaires

70

5.2.1 Description de la r´eduction

70

5.2.2 Application pour le calcul de la puissancekemed'un

endomorphisme ou d'une matrice 71

Exercices

73

6 Jordanisation des endomorphismes en dimension finie

76

6.1 Introduction

76

6.2 Le th´eor`eme de Jordan

78

6.3 Jordanisation des endomorphismes en pratique

84

6.4 Exemples num´eriques

86
ii

Exercices

91

7 Application de la th´eorie de la r´eduction des endomorphismes

aux probl`emes math´ematiques concrets 93

7.1 Application `a la r´esolution des syst`emes d'´equations diff´erentielles

lin´eaires 93

7.2 Application aux probl`emes sur les suites r´ecurrentes

96

Bibliographie

99
iii

Notations

:=Egalit´e par d´efinition qu'on repr´esente aussi parfois par le signe def=. ⊔Le symbole de la r´eunion disjointe. 0

ELe vecteur nul d'un espace vectorielE.

0L'endomorphisme nul de l'espace vectoriel en cours d'´etude.

(0)La matrice nulle d'un certain format. Id EL'endomorphisme identit´e d'un espace vectorielE. I nLa matrice identit´e d'ordren(o`unest un entier strictement positif). Vect(X)Le sous-espace vectoriel engendr´e par une partieXd'un es- pace vectoriel donn´e. M B(f)La matrice associ´ee `a un endomorphismef, d'un espace vec- toriel de dimension finie, relativement `a une baseBde cet espace vectoriel. det(f)Le d´eterminant def(o`ufest un endomorphisme d'un certain espace vectoriel). det(A)Le d´eterminant deA(o`uAest une matrice carr´ee `a coeffi- cients dans un certain corps commutatif). tr(f)La trace d'un endomorphismefd'un certain espace vectoriel. tr(A)La trace d'une matrice carr´eeA; c'est-`a-dire la somme des

´el´ements de la diagonale deA.

M n(K)L'ensemble des matrices carr´ees d'ordren`a coefficients dans K(o`unest un entier strictement positif etKest un corps commutatif). M n,m(K)L'ensemble des matrices de formatn×m, `a coefficients dans K(o`unetmsont des entiers strictement positifs etKest un corps commutatif). GL n(K)Le groupe lin´eaire d'ordrensurK(o`unest un entier stric- tement positif etKest un corps commutatif); c'est-`a-dire l'ensemble des matrices carr´ees d'ordren, `a coefficients dans

K, qui sontinversibles.

Sp K(f)Le spectre defdansK; c'est-`a-dire l'ensemble des valeurs propres defqui appartiennent `aK(o`uKest un corps com- mutatif etfest un endomorphisme d'un certainK-espace vectoriel). Sp K(A)Le spectre deAdansK; c'est-`a-dire l'ensemble des valeurs propres deAqui appartiennent `aK(o`uKest un corps com- mutatif etAest une marice carr´ee `a coefficients dansK). iv P fLe polynˆome caract´eristique def(o`ufest un endomorphisme d'un certain espace vectoriel de dimension finie). P ALe polynˆome caract´eristique deA(o`uAest une matrice carr´ee `a coefficients dans un certain corps commutatif). A∼BLes deux matrices carr´eesAetB(d'un mˆeme ordrenet `a coefficients dans un mˆeme corps commutatifK) sont sem- blables. C'est-`a-dire queAetBrepr´esentent un mˆeme en- domorphisme deKnrelativement `a deux bases (distinctes ou identiques) deKn. Ceci ´equivaut `a l'existence d'une matrice

P∈GLn(K) tel queB=P-1AP.

E(λ)L'espace propre associ´e `a une valeur propreλde l'endomor- phisme (ou de la matrice) en cours d'´etude. m a(λ)La multiplicit´e alg´ebrique d'une valeur propreλde l'endo- morphisme (ou de la matrice) en cours d'´etude. m g(λ)La multiplicit´e g´eom´etrique d'une valeur propreλde l'endo- morphisme (ou de la matrice) en cours d'´etude. M fLe polynˆome minimal d'un endomorphismefd'un certain espace vectoriel de dimension fini. M ALe polynˆome minimal d'une matrice carr´eeAdonn´ee. v

Chapitre1

Valeurs propres et vecteurs propres

d'un endomorphisme Pour tout ce qui suit,Kd´esigne un corps commutatif (que l'on prend g´en´eralement ´egale `aRouC) etEd´esigne unK-espace vectoriel. On d´esigne aussi parnun entier strictement positif.

1.1 D´efinitions et exemples

D´efinition 1.1.

Soitf:E→Eun endomorphisme deE. Un scalaireλ∈K est appel´evaleur propredefs'il existe un vecteurnon nulx∈Etel que : f(x) =λx. Dans cette situation, on dira quexest unvecteur propreassoci´e `a la valeur propreλ.

D´efinition 1.2.

L'ensemble des valeurs propres d'un endomorphismefde Es'appelle lespectredefet on le noteSpK(f)ou tout simplementSp(f) s'il n y a pas d'ambigu¨ıt´e sur le corps commutatifK. Exemple :PrenonsK=RetE=C∞(R,R) leR-espace vectoriel des fonctions r´eelles de classeC∞surR. Consid´eronsf=d dx l'endomorphisme de d´erivation surE, soit f:E-→E u7-→u′. Etant donn´eλ∈R, consid´erons la fonctionu(x) :=eλx. On a bienu∈E, u̸=0Eet : f(u) =u′=λeλx=λu. 1

B. FarhiChap 1. Valeurs et vecteurs propres

Ceci montre queλest une valeur propre defet que la fonctionu:x7→eλx est un vecteur propre associ´e `aλ. Ainsi, tout nombre r´eel est une valeur propre def. D'o`u : Sp

R(f) =R.

Le spectre defest donc infini.

Remarque :Nous verrons bientˆot que lorsqueEest de dimension finie, le spectre de tout endomorphisme deEest fini. On d´efinit de fa¸con similaire les valeurs propres et le spectre d'une matrice carr´ee. On a la

D´efinition 1.3.

SoitA∈ Mn(K). On dit qu'un scalaireλ∈Kest une valeur propredeAs'il existex∈Kn\ {0}tel que :

Ax=λx.

Dans cette situation, on dira quexest unvecteur propreassoci´e `a la valeur propreλ. - L'ensemble des valeurs propres d'une matrice carr´eeAs'appelle lespectre deAet on le noteSpK(A)ou simplementSp(A)s'il n' y a pas d'ambigu¨ıt´e sur le corps commutatifK.

Exemple :SoientA=(2 3

4 1) ∈ M

2(R) etx=(1

1) ∈R2. On a bien x̸=0etAx=(5 5) = 5x. Ceci montre queλ= 5 est une valeur propre de

Aet quex=(1

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