ELASTICITE DE LA DEMANDE PAR RAPPORT AU PRIX
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20 Expliquez l'intérêt que présentent les calculs relatifs à l'élasticité de la demande par rapport au prix pour le chef d'entreprise.
5. Lélasticité et ses applications
Biens pour lesquels il existe des substituts proches : demande élastique. Comment calculer l'élasticité-prix de la demande ?
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Calculez l'élasticité de la demande par rapport au prix de ces deux produits Compléter le tableau de simulation suivant pour les produits A et B compte tenue des élasticités de la demande par rapport au prix calculées à la question 1 3 - Quels types de produits pourraient correspondre aux élasticités respectives Produit A Produit B
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QUESTI03F doc Page 2 (de 3) 3 Élasticités 25/01/2016 3 1 Élasticité-prix de la demande (e) 1 3 11 Calculez e si P est 4 Demande : Q = 80 - 2P 3 2 Élasticité-prix de la demande (e) 2
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6 CHAPITRE 6 - APPLICATION 1 - MECANIQUE DES SOLIDES ELASTIQUES
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Comment calculer l’élasticité ?
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Qu'est-ce que le degré d'élasticité de la demande par rapport au prix?
- Le degré d'élasticité de la demande par rapport au prix correspond à la mesure dans laquelle la quantité demandée d'un produit répond à une modification de son propre prix. Si un changement de prix entraîne une variation relativement importante de la quantité demandée, la demande du produit est dite élastique.
Théorie d"Elasticité
Une approche variationnelle.
Bahram Houchmandzadeh
http ://houchmandzadeh.net/cours/Ealsticity/elasticity.pdfPremière Version 30 Mars 2011.
Dernière mise à jour : 26 avril 2011
Table des matières
1 Introduction. 3
2 Le calcul variationnel. 5
2.1 Le minimum nécessaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Convention de sommation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Opérations vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Elasticité à une dimension. 13
3.1 Un problème trivial de statique. . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 La Loi de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Elasticité à dimensions >1. 18
4.1 Dérivation de l"équation fondamentale. . . . . . . . . . . 18
4.2 Le tenseur de raideur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Les forces de volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Les conditions de compatibilité. . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Problèmes choisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 La méthode des éléments finis. . . . . . . . . . . . . . . 26
4.7 Torsion et électromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.8 Remarques divers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21 Introduction.
La théorie d"élasticité est enseignée comme une extension de la sta- tique, en écrivant une relation d"équilibre entre forcef1=f2.f1est une force provoquée par la déformation de la matière etf2une force provoquée par l"exertion de force à la surface de l"objet. Les quantitésf1 etf2sont des densités de force locale à un point de la matièref=f(x). Plus déroutant pour l"étudiant, ces forces sont des tenseurs. Pour les obtenir, il faut par la pensée isoler une partie de la matière et faire le bilan de toutes les forces qui s"exercent sur toutes les faces de cette portion. Cette façon de faire ressemble pour l"étudiant à l"obtention des équa- tions de Maxwell et les relations entres les champs électrique et magné- tique tel que l"on pratique en L2, L3. C"est d"ailleurs comme cela que Maxwell s"était pris pour établir les équations de l"EM, en s"inspirant de l"élasticité; de nos jours, on continue à utiliser le terme "déplacement électrique", une référence directe aux champs de déplacement dans un matériaux élastique déformé. L"étudiant arrivant en L3-M1 découvre le calcul variationnel, une méthode plus féconde sur le plan théorique et plus puissante sur le plan des calculs, et à l"aide de cet outil, redécouvre la mécanique. Toutes les méthodes confuses du calcul des forces de réaction et des intégrales premières que l"on trouve par des "astuces" sont abandonnées au profit d"une méthode rigoureuse et presque automatique. Toute la dynamique se résume à un seul principe, la recherche de l"extremum d"une fonc- tionnelle. La puissance de la méthode variationnelle se déchaîne quand l"étu- diant redécouvre les équations de l"électromagnétisme par l"approche variationnelle, et constate avec quelle élégance et quelle économie de moyens on obtient l"ensemble des équations de Maxwell et toutes ses symétries cachées par la coupure artificielle entre champs électrique et magnétique. Il devient alors étonnant de constater que l"enseignement de l"élas- ticité reste dans les limbes et que l"on continue à le prodiguer avec les techniques inefficacespré-lagrangien. La raison peut être culturelle, 31 Introduction.
la mécanique analytique et la théorie des champs étant des sciences "supérieures" que l"on ne pourrait pas pratiquer sans l"aide des out- ils élaborés, tandis que l"élasticité est jugé comme une "science de l"ingénieur" qui ne saurait quoi faire du calcul variationnel. Ceci est d"autant plus surprenant que les méthodes numériques telles que les éléments finis sont justement basées sur l"approche variationnelle. Ce court volume est écrit pour pallier à ce manque de façon péda- gogique. Je me contente simplement de dériver les équations fondamen- tales de l"élasticité en adoptant directement une approche variation- nelle. Pour la pratique de la théorie, en dehors des cours de physique théorique de Landau, il existe des centaines d"autres livres. Pour ce livre, je suppose que le lecteur est un peu familier avec le calcul variationnel et la manipulation des tenseurs, même si je les redéveloppe un peu dans le texte qui suit. 42 Le calcul variationnel.
2.1 Le minimum nécessaire.
Rappelons brièvement les éléments du calcul variationnel.1Nous dis-
posons d"une fonctionnelle pour estimer le "coût" d"une fonction don- née :S[f(t)] =
b aL[f(t);f0(t);t]dt(2.1)aby0y1
f gf+εgFigure 2.1:Nous cherchons la fonctionf(t)qui minimise2
cette fonctionnelle. Le coût local, c"est à dire le terme à l"intérieur de l"intégral est souvent ap- pelé lelagrangien. Ce problème est une général- isation du concept de minimum d"une fonction : ici nous avons affaire à une fonction de fonction.Nous pouvons ajouter une petite perturbation
g(t)à une fonction donnée, estimer le coût de cette perturbationS=S[f+g]S[f]. Si le coût additionnel est nulà l"ordre 1quelque soit la perturbationg, la fonctionfest un extremum de la fonctionnelleS. En l"occurrence, avec la forme de la fonctionnelle Sdonnée par l"expression (2.1), l"estimation de la variation est simple :S=@L@f
0g b a b a @L@f ddt @L@f 0 gdt(2.2) L"expression ci-dessus comporte une terme de bord[]baet un terme intégraleb a. L"annulation du terme intégral, quelque soitgnous impose ddt @L@f 0@L@f = 0(2.3)1. Le lecteur intéressé pourra se reporter à mon cours de mathéma- tiques pour une vue plus approfondie de cette matière : http ://houch- mandzadeh.net/cours/Math/math.htm2. qui "extremise" pour être exacte, peu importe que ce soit un maximum ou un
minimum. 52 Le calcul variationnel.
qui est en générale une équation différentielle de second ordre (appelée l"équation d"Euler-Lagrange). Si nous exigeons f(a) =ya;f(b) =yb(2.4) c"est à dire les deux bords de la fonction fixée, nous ne pouvons pas envisager toutes les perturbations possibles, mais seulement celles com- patibles avec l"exigence ci-dessus. Cela restreint le champ des pertur- bations aux fonctions telle queg(a) =g(b) = 0. L"équation (2.3) avec les deux conditions (2.4) est bien posée et admet une solution unique. Nous aurions pu ne pas fixer un bord ou même laisser libre les deux bords; dans ce cas, la conditionS= 0exigerait@L=@f0= 0sur les bords libres, ce qui à nouveau fournirait suffisamment de conditions pour que l"équation différentielle soit soluble. Exemple 0.En mécanique analytique, pour une particule à une di- mension repérée parx(t)se trouvant dans un potentielV(x), le la- grangien s"écritL= (m=2)x02V(x)
l"équation d"E-L s"écrit alorsmx00=V0(x), qui est bien sûr la loi deNewtonF=ma.
Généralisation 1.Nous pouvons avoir plus qu"une fonction dans le la- grangien :L=L(f01;f1;f02;f2;:::;f0n;fn;t). Dans ce cas, nous obtenons néquations d"Euler-Lagrange : ddt @L@f0i@L@f
i= 0i= 1;:::;n Exemple 1.Pour une particule à 3 dimensions repérée par(x(t);y(t);z(t)) se trouvant dans un potentielV(x;y;z), le lagrangien s"écritL= (m=2)(x02+ y02+z02)V(x;y;z)et donc
mx00=@V=@x=Fx
my00=@V=@y=Fy
mz00=@V=@z=Fz
62 Le calcul variationnel.
Généralisation 2.Nous pouvons avoir dans le lagrangien une fonctionquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7[PDF] élasticité prix de l'offre definition
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