[PDF] Puissance n-ième dune matrice Limite

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TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age1

Puissance n-ième d"une matrice

LimiteI.Puissances d"une matrice(A)Matrices diagonalesDéfinition 1

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur

sa diagonale principale sont nuls.Exemple DAE0 @1 0 0

0¡3 0

0 0 41

A est une matrice diagonale d"ordre 3.Propriété 1 la puissancenles coefficients de D.Démonstration

Par récurrence immédiate.

ExempleSi DAEµ4 0

(B)Matrices triangulaires supérieures (ou inférieures)Définitions 2

Une matrice carrée est dite :

ltriangulaire supérieur (inférieure)si tous ses éléments situés en dessous (au-dessus) de

sa diagonale sont nuls. lstrictement triangulairesi elle est triangulaire avec des coefficients diagonaux nuls.Exemple AAE0 @2¡1 3

0¡4 1

0 0 6 1 A ; BAE0 @0¡3 1 0 0 2 0 0 0 1 A ; CAE0 @40 0

¡2 10

5 0 31

A ; DAE0 @00 0 1 0 0 4 2 0 1 A A et C sont triangulaires, B et D strictement triangulaires.Propriété 2 Les puissances d"une matrice triangulaire sont triangulaires de même forme. Les puissances d"une matrice strictement triangulaire d"ordrensont nulles à partir de l"exposant n.Vocabulaire Une matrice dont une puissance est nulle est appeléenilpotente. 1 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age2

Exemple

PournAE3, si MAE0

@0a b 0 0c

0 0 01

A avec (a,b,c) réels, M2AE0 @0 0ac 0 0 0

0 0 01

A d"où M3AE0 @0 0 0 0 0 0

0 0 01

A

On en déduit que pour toutn¸3, MnAEO3

RemarqueCes propriétés permettent de calculer les puissances d"une matrice en décomposant en sommes

de matrices particulière ou alors en décomposant par blocs.Exercicesn o1 - 2 - 3 -4- 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 1 1p 176 - 177 2 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age3 (C)Diagonalisation d"une matrice carrée d"ordre 2Définition 3

Une matrice carrée A est dite diagonalisable s"il existe une matrice carrée P inversible et une ma-

trice carrée D diagonale telles que AAEPDP¡1.Remarque Si AAEPDP¡1, on obtient Ande manière simple.

En effet, A

lUne matrice carrée d"ordre 2 est diagonalisable si, et seulement s"il existe deux réels¸et

¹(non nécessairement distincts) et deux matrices colonnes à coefficients réels non proportion-

nelles V et W telles que AV=¸V et AW=¹W. lSi A est diagonalisable, les réels¸et¹sont appelés lesvaleurs propresde la matrice A. La matrice carrée P=[V W] est inversible et telle que AAEPµ¸0 P

¡1Démonstration

Si A est diagonalisable, il existe¸et¹réels et PAEµ® ¯ inversible tels que AAEPµ¸0 P ¡1

Soit VAEµ®

et WAEµ¯ . Comme P est inversible, son déterminant est non nul donc®±¡¯°6AE0. On en déduit que V et W ne sont pas proportionnelles. On montre alors, en effectuant les calculs que AV=¸V et AW=¹W.

ExempleSoit AAEµ¡4 6

alors VAEµ3 et WAEµ2 sont telles que AV=¡2V et AW=¡W. A a pour valeurs propres¡2 et¡1 et AAEPµ¡2 0 P

¡1avec PAEµ32

1 RemarqueLes matrices carrées d"ordre 2 ne sont pas toutes diagonalisables.

Prenons AAEµa b

et posons VAEµx . Alors AV=¸V s"écrit axÅbyAE¸x cxÅdyAE¸y

½(a¡¸)xÅbyAE0

(c¡¸)xÅdyAE0()Bµx

AEµ0

avec BAEµa¡¸b

AEA¡¸I2. Si A¡¸I2est inversible,µx

AEB¡1µ0

AEµ0

et donc V, qui est nulle, est proportionnelle à toute matrice colonne W.

Pour que A soit diagonalisable, il faut donc que B ne soit pas inversible, donc que soit déterminant soit nul, d"où¸2¡(aÅd)¸Åad¡bcAE0.

Pour AAEµ3 7

, l"équation¸2¡4¸Å10AE0 n"a pas de solution réelle. Donc A n"est pas diagonalisable.Exercicesn

o12 - 13 - 14 - 15 -16- 17p 177 - 178

Exercicesn

o18 - 19 -20- 21 - 22 - 23 - 24p 178 - 180 3 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age4

II.Suites de matrices colonnes :UnÅ1AEAUnÅBPour toutndeN, Unest une matrice colonne àmlignes, A une matrice carrée d"ordremet B une

matrice colonne àmlignes,m2N. On note (R) la relation de récurrence UnÅ1AEAUnÅB. (A)Expression deUnen fonction denSi l"on sait calculer A n, on peut chercher à exprimer Unen fonction den. Méthode 1: avec une suite constante vérifiant la relation (R) Une suite constante, égale à X, vérifie (R) si, et seulement si, XAEAXÅB.

Si une telle matrice X existe, on a alors U

nÅ1AEAUnÅB et XAEAXÅB. Par différence, on obtient U nÅ1¡XAEA(Un¡X).

La suite (V

n) définie par VnAEUn¡X vérifie donc VnÅ1AEAVnpour toutndeN.

On en déduit par récurrence que V

nAEAnV0puis de UnAEVnÅX, on en déduit Un.Propriété 4

S"il existe une matrice X telle que XAEAXÅB :

lLa suite (Vn) telle que VnAEUn¡X vérifie la relation VnÅ1AEAVn,n2N. lPour toutndeN, VnAEAnV0d"où UnAEAn(U0¡X)ÅXMéthode 1: avec une sommation I la matrice identité de même dimension que A. On montre par récurrence :

0.3cmPropriété 4

n¡1X kAE0Ak´ B.(B)Limite d"une suite de matricesUne suite de matrices (U n)n2Nconverge vers une matrice L si les coefficients de Unconvergent vers les coefficients de L correspondants.

En pratique, on exprimera U

nen fonction denpar l"une des méthodes précédentes, puis on

étudiera la limte des coefficients de U

n

ExempleSoit U

nAEµ0,5n pour toutndeN.

Comme lim

n!Å10,5nAE0 et limn!Å11¡0,2nAE1, on dira que la suite (Un) a pour limite la matriceµ0 .Exercicesn o25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 p 180 - 181Exercicesn o48 - 50 -51(DM)- 52 - 53 - 54 - 56 - 57(DM)- 58 p 1 84- 189 4quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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