Puissance n-ième dune matrice Limite
A et C sont triangulaires B et D strictement triangulaires. Propriété 2. Les puissances d'une matrice triangulaire sont triangulaires de même forme. Les
CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE
Les matrices triangulaires supérieures strictes et les matrices triangulaires inférieures Puissance n-ième d'une matrice ayant les mêmes coe cients.
les matrices sur Exo7
Vidéo ? partie 6. Matrices triangulaires transposition
Chapitre 8. Matrices
(voire aux probabilités) du calcul d'une puissance d'une matrice. A = (aij) ? Mn(R) est une matrice triangulaire supérieure si ?(i
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
Exercice 3bis : Calculer les puissances nième des matrices suivantes : Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer.
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. décomposition de Dunford est utile pour calculer les puissances d'une matrice.
Chapitre 8 Matrices
Une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est inversible si et Avoir quelques idées sur les façons de pouvoir calculer la puissance d'un ...
Classe: TSspé chapitre5 : Puissance n-ième dune matrice- Limite
28 mai 2014 chapitre5 : Puissance n-ième d'une matrice- Limite ... permet de lire la matrice diagonale et la matrice strictement triangulaire d'un seul.
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des syst`emes inversible P de Mn(K) et une matrice triangulaire supérieure T `a ...
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel
Exercice 3bis : Calculer les puissances nième des matrices suivantes : Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer.
PUISSANCES D’UNE MATRICE - Maths-coursfr
3 b) La valeur de a 1 est –1 L'expression de a n + 1 en fonction de a n est 3 c) D'après ce qui précède : an 2 n 1 a n 1 En substituant dans le second membre de cette égalité a n – 1 par 2n 2 a n 2 puis en faisant de même avec a n – 2 et ainsi de suite
Exo7 - Cours de mathématiques
Soient A= (aij) une matrice n p et B = (bij) une matrice p q Alors le produit C = AB est une matrice n q dont les coef?cients cij sont dé?nis par : cij = Xp k=1 aikbkj On peut écrire le coef?cient de façon plus développée à savoir : cij = ai1b1j +ai2b2j + +aikbkj + +aipbpj Il est commode de disposer les calculs de la façon
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étant nulles le calcul de puissance de matrice se fera seulement par rapport a sa diagonale et non en considérant toute les valeurs de la matrice A P Rappel : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls
Comment calculer l’ensemble des matrices triangulaires supérieures?
0 1 0 0 0 1 est l’ensemble des matrices triangulaires supérieures. ExempleLe plan Pde R3d’équation 2x?y+3z=2 est le sous-espace af?ne de direction Vect € (1,2,0),(0,3,1) Š passant par (0,?2,0). En résumé : P=(0,?2,0)+Vect € (1,2,0),(0,3,1) Š .
Comment calculer la puissance d'une matrice triangulaire ?
Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T3 = . Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer ! Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire ?
Si A est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de A est le produit de ses coefficients diagonaux ai i : on a . On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.
Comment calculer la matrice d'une base triangulaire?
• Veri?er que la matrice de´ u dans une telle base est triangulaire inferieure puis en´ deduire que´ Sp(u) = {Tr(u)?? 2, Tr(u)+? 2}. Que peut-on alors dire de u?
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Chapitre 8
Matrices
1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés
2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison
5 Exercices
1Chap 8Matrices
Et s"il ne fallait retenir que quatre points?1.Opérations sur les matrices.Savoir additionner et multiplier deux matrices, multiplier une
matrice par un réel. Savoir également quand ces opérations sont possibles. Enn connaître les
structures qui découlent de ces opérations :(Mpq;+;:)est unR-espace vectoriel et(Mn;+;×;:) est uneR-algèbre.2.Connaître les matrices particulières suivantes et leurs principales propriétés :
Les matrices inversibles.
Les matrices in versiblesson texactemen tles matrices carrées Atelle qu"il existe une matrice carréeBvériantAB=IOUBA=I. Dans ce casB=A1. En p articulierles matrices non carrées ne son tjamais in versibles. Si AetBsont inversibles alorsABest aussi inversible et(AB)1=B1:A1.Les matrices diagonales.
Dn(R)est stable par les loi + et×.
Elev erune matrice diago naleà puissance nrevient à élever chaque coecient à la puissance
n. Une matrice diagonale est in versiblesi et seuleme ntsi elle ne con tientaucu nréel n ulsu rla diagonale.Les matrices symétriques/antisymétriques.
Sn(R)etAn(R)sont stables par la loi + (mais pas par×). Les co ecientsdiago nauxdes matrices an tisymétriquesson tn uls. Les matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures). Le pro duitet la somme de deux mat ricestriang ulairessupé rieures(resp .inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure).Une matrice triangulaire supérieure ( resp.inférieu re)est in versiblesi et seuleme ntsi ell ene
contient aucun réel nul sur la diagonale.Les matrices élémentaires.
La m atriceEij×Eklest nulle sij6=ket vautEilsij=k.3.Avoir quelques idées sur les façons de pouvoir calculer la puissance d"un matriceA.
Voici les principales :
a) Si c"es tune matrice diagonale, il su td"élev erles co ecientde la matric eà cette pui ssance. b) On calcule le spremières puissances : A2,A3, ...On conjecture une formule et on la démontre par récurrence. Attention, la conjecture peut s"avérer dicile. c) On déc omposeAenD+NavecDN=NDet oøDest une matrice diagonale etNune matrice dont les puissances sont vite toutes nulles. On utilise ensuite le binôme de Newton. d) On décomp oseAsous la formeP1DPoøDest une matrice dont l"élévation à une puissance ne pose pas de problème, typiquement une matrice diagonale. AlorsAn=P1DnP. e) Si les col onnesde la matrice son tprop ortionnelles,alors An=trn1(A):A(Il faut le redé- montrer à chaque fois). 14.Eviter les erreurs de débutants :
a) " AB=BA" est faux en général. SiAetBvériant cela, on dit queAetBcommutent. b) " AB= 0 =)(A= 0ouB= 0)"est faux en général. Pour pouvoir l"utiliser, il faut vérier queAouBest inversible. c)"AB=AC=)B=C"est faux en général. Pour pouvoir l"utiliser, il faut vérier queAest inversible. d) P ourutiliser le binôm ede Newton, ne pas oublier de v érierque les matrices AetBcom- mutent. e) N"emplo yerle sym boleA1que si vous OEtes sßr queAest inversible. f) N"emplo yerle sym bole(AB)n=AnBnque si vousAetBcommutent. g)La fraction
AB de deux matrices n"a aucun sens. Remplacez-la parAB1ouB1A. 2Chap 8Matrices
Plan du coursI. Opérations sur les matrices............................................................ 2
1/ Dénition et premiers exemples...................................................2
2/ Somme de deux matrices.......................................................... 3
3/ Multiplication d"une matrice par un réel.........................................3
4/ Produit de deux matrices.......................................................... 3
5/ Puissance de matrices.............................................................. 4
II. Matrices particulières..................................................................41/ Matrices inversibles.................................................................4
2/ Matrices élémentaires.............................................................. 4
3/ Matrices triangulaires/diagonales................................................. 4
4/ Matrices symétriques/antisymétriques............................................5
5/ Matrices diviseurs de 0.............................................................5
6/ Matrices nilpotentes................................................................5
III. Calcul avec des matrices............................................................. 51/ Autour de AB=0....................................................................5
2/ Pourquoi ne peut-on pas diviser par une matrices?.............................6
3/ Formule de(AB)n...................................................................6
4/ Formule de Newton.................................................................6
5/ Polynôme de matrices.............................................................. 6
IV. Des outils matriciels.................................................................. 61/ La transposée........................................................................6
2/ La trace..............................................................................7
3/ Déterminants....................................................................... 7
1Chap 8Matrices
Questions de cours1. Donner les coecients du produit de matriceABen fonction des coecients deA et deB.(I)2. SoitEijetEkldes matrices élémentaires deMn(R). Déterminer le produitEijEkl.
Vous montrerez votre résultat.(II)
3. Donner la dénition d"une matrice symétrique, anti-symétrique, triangulaire su-
périeure, triangulaire inférieure, matrice diagonale. Les ensemblesSn(R),An(R), T +n(R),Tn(R)etDn(R)sont-ils stables par +,et combinaisons linéaires?(II)4. Montrer que les matrices diviseurs de 0 puis que les matrices nilpotentes ne sont
jamais inversibles.(II)5. SoientAetBdes matrices inversibles deMn(R),
1.Mon trerque
tAest inversible. Que vaut(tA)1 2.Mon trerque ABest inversible. Que vaut(AB)1
3. En d éduireque (Gln(R);)est un groupe non commutatif.(II-IV)6. Les implications suivantes sont-elles vraies dansMn(R):
AB= 0 =)A= 0ouB= 0AB=AC=)B=C
Si ce n"est pas le cas, donner une condition susante pour qu"elles soient vraies.(III) 1Chap 8Matrices
Exercices typesExercice 1 - Puissance d"une matrice - Technique 1 : par intuition.On noteM=(
(1 1 0 0 1 10 0 1)
1.Calculer M2,M3,M4.
2. Conjecturer la v aleurdes co ecientsde Mn, puis montrer votre résultat par récurrence. Exercice 2 - Puissance d"une matrice - Technique 2 : avec Newton.On noteM=( (1 1 0 0 1 10 0 1)
,N=( (0 1 0 0 0 10 0 0)
1. Énoncer la form uledu binôme de Newton dans Mn(R). 2.Calculer N2etN3. En déduireNnpour toutndeN.
3. Exprimer Men fonction deNetI. En déduireMnpour toutndeN. 4.Calculer (I+N)(IN+N2). En déduireM1.
Exercice 3 - Puissance d"une matrice - Technique 3 : par diagonalisation.Considérons les matrices :
A=( (1 -8 -110 -13 -20
0 12 18)
P=( (1 2 3 0 4 50 3 4)
Q=( (1 1 -20 4 -5
0 -3 4)
1. Calculer le pro duitPQ. En déduire quePest inversible et donnerP1. 2. Mon trerque A=P1DPoøDest une matrice diagonale que vous précisez. 3.En déduire An
Exercice 4 - Puissance d"une matrice - Technique 4 : le cas des matrices de rang 1Considérons la matrice :
A=( (1 2 52 4 10
3 6 15)
1. Mon trerqu"i lexiste une matrice ligne Let une matrice colonneCtels queA=C:L 2.Mon trerque L:C=tr(A):I1.
3.En déduire que An= (tr(A))n1:A
4. Essa yerde devi nersans démonstration le smatrices p ouvants"écrire sous la forme CLoøCest une matrice colonne etLune matrice ligne. 1Chap 8Matrices
ExercicesSi les miroirs rééchissaient vraiment, ils ne reèteraient pas n"importe qui!Vrai - FauxExercice 1.
SoientA= (aij),B= (bij)dansMn(R). Déterminer si les armations suivantes sont vraies ou fausses.1.tr(AB) =tr(BA).
2.Aest diagonale si et seulement siaii6= 0pour toutidef1;:::;ng.
3. t(AB) =tA:tB4.tr(AB) =tr(A):tr(B).
5.tr(A+B) =tr(A) +tr(B).
6.Si AetBsont inversibles, alorsA:Best inversible.
7.Si AetBsont inversibles, alors(A+B)2=A2+B2+ 2AB.
8.Si AetBsont inversibles, alorsA+Best inversible.
Rep :3 vraies / 5 fausses (VFFFVVFF)Niveau 1
Exercice 2.
SoitA=(
((1 1 1 11 1-1-1
1-1-1 1
1-1 1-1)
)). CalculerA2. En déduire queAest inversible et calculerA-1. 1Exercice 3.
Calculer les produits de matrices :
1. ?0 1 1 0?? 1 1 0 1?2.?1 1
0 0?? 1 0 1 0? 3. ?1 1 0 1?? 0 1 1 0?4.?1 0
1 0??quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] puissance nième d'une matrice carrée
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