Puissance n-ième dune matrice Limite
A et C sont triangulaires B et D strictement triangulaires. Propriété 2. Les puissances d'une matrice triangulaire sont triangulaires de même forme. Les
CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE
Les matrices triangulaires supérieures strictes et les matrices triangulaires inférieures Puissance n-ième d'une matrice ayant les mêmes coe cients.
les matrices sur Exo7
Vidéo ? partie 6. Matrices triangulaires transposition
Chapitre 8. Matrices
(voire aux probabilités) du calcul d'une puissance d'une matrice. A = (aij) ? Mn(R) est une matrice triangulaire supérieure si ?(i
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
Exercice 3bis : Calculer les puissances nième des matrices suivantes : Exercice 9 : Soit T une matrice triangulaire supérieure de taille n. Montrer.
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. décomposition de Dunford est utile pour calculer les puissances d'une matrice.
Chapitre 8 Matrices
Une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est inversible si et Avoir quelques idées sur les façons de pouvoir calculer la puissance d'un ...
Classe: TSspé chapitre5 : Puissance n-ième dune matrice- Limite
28 mai 2014 chapitre5 : Puissance n-ième d'une matrice- Limite ... permet de lire la matrice diagonale et la matrice strictement triangulaire d'un seul.
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
calcul des puissances d'une matrice diagonalisable et la résolution des syst`emes inversible P de Mn(K) et une matrice triangulaire supérieure T `a ...
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PUISSANCES D’UNE MATRICE - Maths-coursfr
3 b) La valeur de a 1 est –1 L'expression de a n + 1 en fonction de a n est 3 c) D'après ce qui précède : an 2 n 1 a n 1 En substituant dans le second membre de cette égalité a n – 1 par 2n 2 a n 2 puis en faisant de même avec a n – 2 et ainsi de suite
Exo7 - Cours de mathématiques
Soient A= (aij) une matrice n p et B = (bij) une matrice p q Alors le produit C = AB est une matrice n q dont les coef?cients cij sont dé?nis par : cij = Xp k=1 aikbkj On peut écrire le coef?cient de façon plus développée à savoir : cij = ai1b1j +ai2b2j + +aikbkj + +aipbpj Il est commode de disposer les calculs de la façon
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étant nulles le calcul de puissance de matrice se fera seulement par rapport a sa diagonale et non en considérant toute les valeurs de la matrice A P Rappel : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls
Comment calculer l’ensemble des matrices triangulaires supérieures?
0 1 0 0 0 1 est l’ensemble des matrices triangulaires supérieures. ExempleLe plan Pde R3d’équation 2x?y+3z=2 est le sous-espace af?ne de direction Vect € (1,2,0),(0,3,1) Š passant par (0,?2,0). En résumé : P=(0,?2,0)+Vect € (1,2,0),(0,3,1) Š .
Comment calculer la puissance d'une matrice triangulaire ?
Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T3 = . Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer ! Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Comment calculer le déterminant d'une matrice triangulaire ?
Si A est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de A est le produit de ses coefficients diagonaux ai i : on a . On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.
Comment calculer la matrice d'une base triangulaire?
• Veri?er que la matrice de´ u dans une telle base est triangulaire inferieure puis en´ deduire que´ Sp(u) = {Tr(u)?? 2, Tr(u)+? 2}. Que peut-on alors dire de u?
![Décomposition de Dunford et réduction de Jordan Décomposition de Dunford et réduction de Jordan](https://pdfprof.com/Listes/18/2400-18ch_jordan.pdf.pdf.jpg)
Décomposition de Dunford
et réduction de JordanNous avons vu que les matrices ne sont pas toutes diagonalisables. On peut néanmoins décomposer
certaines d"entre elles, en une forme la plus simple possible. Nous verrons trois décompositions. La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d"une matrice diagonali- sable et d"une matrice nilpotente. La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs. Ksera le corpsRouC,EunK-espace vectoriel de dimension finie.1. Trigonalisation
Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable
à une matrice triangulaire.
1.1. Trigonalisation
On rappelle qu"une matriceA= (ai,j)16i,j6nesttriangulaire supérieuresiai,j=0 dès quei>j: A=0 B BB@a1,1a1,2a1,n
0a2,2......
.........an1,n00an,n1
C CCA.Les coefficients sous la diagonale sont tous nuls. Ceux sur la diagonale ou au-dessus peuvent être
nuls ou pas.Définition 1. Une matriceA2Mn(K)esttrigonalisablesurKs"il existe une matrice inversibleP2Mn(K) inversible telle queP1APsoit triangulaire supérieure. Un endomorphismefdeEesttrigonalisables"il existe une base deEdans laquelle lamatrice defsoit triangulaire supérieure.Bien sûr, une matrice diagonalisable est en particulier trigonalisable.
Théorème 1.
Une matriceA2Mn(K)(resp. un endomorphismef) est trigonalisable surKsi et seulement si son polynôme caractéristiqueA(resp.f) est scindé surK.DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN1. TRIGONALISATION2On rappelle qu"un polynôme est scindé surKs"il se décompose en produit de facteurs linéaires
dansK[X]. Remarquons que siK=C, par le théorème de d"Alembert-Gauss, on a :Corollaire 1. Toute matrice A2Mn(C)est trigonalisable surC.Ce n"est pas le cas siK=R.Exemple 1.
SoitA=
01 1 0 2M2 (R). AlorsA(X) =X2+1. Ce polynôme n"est pas scindé surR, doncA n"est pas trigonalisable surR. Si on considère cette même matriceAcomme élément deM2(C), alors elle est trigonalisable (et ici même diagonalisable) surC: il existeP2M2(C)inversible telle queP1APsoit triangulaire supérieure.1.2. Preuve
Démonstration.
=). Sifest trigonalisable, il existe une base deEdans laquelle la matrice defs"écrit A=0 B BB@a1,1a1,2a1,n
0a2,2......
.........an1,n00an,n1
C CCA.On a alors
f(X) =A(X) =n Y i=1(ai,iX), ce qui prouve quefse décompose en produit de facteurs linéaires dansK[X]. =. La démonstration se fait par récurrence sur la dimensionnde l"espace vectorielE. Sin=1,il n"y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pourn1,n>2étant arbitrairement fixé.
Le polynômefayant au moins une racine dansK, notonsl"une d"entre elles etv1un vecteur propre associé. SoitFl"hyperplan supplémentaire de la droiteKv1: on a doncE=Kv1F. On considère alors une base(v1,v2,...,vn)deEavec, pour26i6n,vi2F. La matrice def dans cette base s"écrit 0 B BB@ 0 ..B 01 C CCA oùBest une matrice carrée de taille(n1)(n1). On a f(X) = (X)det(BXIn1) = (X)B(X). Notonsgla restriction defàF: la matrice degdans la base(v2,...,vn)est égale àB. Par hypothèse de récurrence,g(et doncB) est trigonalisable : en effet,f(X) = (X)g(X), et commefest supposé scindé surK,gl"est également. Par conséquent, il existe une base (w2,...,wn)deFdans laquelle la matrice degest triangulaire supérieure. Ainsi, dans la base (v1,w2,...,wn), la matrice defest triangulaire supérieure. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN1. TRIGONALISATION31.3. Exemple
Exemple 2.
Soit A=0 @1 42 0 631 4 01
A2M3(R).Démontrons queAest trigonalisable surRet trouvons une matricePtelle queP1APsoit triangu-
laire supérieure. 1. Commençons par calculer le polynôme caractéristique de A:A(X) =
1X42 0 6X3 1 4X == (3X)(2X)2 CommeAest scindé surR, la matrice est trigonalisable surR. (Nous verrons plus tard si elle est diagonalisable ou pas.) 2.Les racines du polynôme caractéristique sont les réels3(avec la multiplicité1), et2(avec la
multiplicité 2). Déterminons les sous-espaces propres associés. SoitE3le sous-espace propre associé à la valeur propre simple3:E3=fv= (x,y,z)2R3jAv=3vg.
v2E3()Av=3v()8 :x+4y2z=3x6y3z=3y
x+4y=3z()x=y=z E3est donc la droite vectorielle engendrée par le vecteurv1= (1,1,1).
SoitE2le sous-espace propre associé à la valeur propre double2:E2=fv= (x,y,z)2R3jAv=2vg.
v2E2()Av=2v()8 :x+4y2z=2x6y3z=2y
x+4y=2z()x=z 4y=3z E2est donc la droite vectorielle engendrée parv2= (4,3,4).
est égale à 2. Par conséquent, on sait que la matriceAne sera pas diagonalisable. Soitv3= (0,0,1). Les vecteurs(v1,v2,v3)forment une base deR3. La matrice de passage (constituée desviécrits en colonne) est P=0 @1 4 0 1 3 01 4 11
A etP1=0 @3 4 0 11 01 0 11
A On aAv1=3v1etAv2=2v2. Il reste à exprimerAv3dans la base(v1,v2,v3): Av3=A(0,0,1) = (2,3,0) =2(3v1+v2v3)3(4v1v2) =6v1+v2+2v3.
3. Ainsi, l"endomorphisme qui a pour matriceAdans la base canonique deR3a pour matriceT dans la base(v1,v2,v3), où T=0 @3 06 0 2 10 0 21
A DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES4On aurait aussi pu calculerTpar la formuleT=P1AP.
4.Note. D"autres choix pourv3sont possibles. Ici, n"importe quel vecteurv0
3complétant(v1,v2)en
une base deR3conviendrait. Par contre, un autre choix conduirait à une matrice triangulaire T0différente (pour la dernière colonne).Mini-exercices. 1. La matriceA=2827128est-elle trigonalisable surR? Si oui, trouverPtelle queP1APsoit triangulaire supérieure. Même question avec :437 171 75 2421 2
2. Trouver deux matricesT,T02M3(R)qui soient distinctes, triangulaires supérieures et sem- blables.2. Sous-espaces caractéristiques2.1. Lemme des noyaux
Commençons par démontrer le lemme suivant :Lemme 1(Lemme des noyaux).Soitfun endomorphisme deE. SoientPetQdes polynômes deK[X],premiers entre eux. Alors :Ker(PQ)(f) =KerP(f)KerQ(f)Généralisation : soientP1,...,Prdes polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors :Ker(P1Pr)(f) =Ker(P1(f))Ker(Pr(f))On a bien sûr des énoncés similaires avec les matrices.
Rappels.
SoientP,Q2K[X]. On dit queP(X)etQ(X)sontpremiers entre euxdansK[X]si les seuls polynômes qui divisent à la foisPetQsont les polynômes constants. En particulier, surC, deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement s"ils n"ont pas de racine commune. Le théorème de Bézout s"énonce ainsi :PetQsont premiers entre eux() 9A,B2K[X]AP+BQ=1.
Démonstration.SoientPetQdeux polynômes premiers entre eux. Alors, d"après le théorème de
Bézout, il existe des polynômesAetBtels queAP+BQ=1. On a donc, pour tout endomorphisme f:A(f)P(f)+B(f)Q(f) =idE.
Autrement dit, pour toutx2E:
A(f)P(f)(x)+B(f)Q(f)(x) =x.
DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES5Montrons que KerP(f)\KerQ(f) =f0g.
Soitx2KerP(f)\KerQ(f). On a
A(f)P(f)(x)|{z}
=0+B(f)Q(f)(x)|{z} =0=x, doncx=0, ce qui prouve KerP(f)\KerQ(f) =f0g. Montrons que Ker(PQ)(f) =KerP(f)+KerQ(f)par double inclusion.Preuve de K er(PQ)(f)KerP(f)+KerQ(f).
Soitx2Ker(PQ)(f). On a, toujours en raison du théorème de Bézout, x=A(f)P(f)(x)+B(f)Q(f)(x).Montrons queA(f)P(f)(x)2KerQ(f). En effet :
Q(f)A(f)P(f)(x) =A(f)P(f)Q(f)(x) =A(f)(PQ)(f)(x) =0.On a utilisé que les polynômes d"endomorphisme enfcommutent et que(PQ)(f)(x) =0.
De même,B(f)Q(f)(x)2KerP(f). Ainsi,
x=A(f)P(f)(x)|{z}2KerQ(f)+B(f)Q(f)(x)|{z}
2KerP(f),
et doncx2KerP(f)+KerQ(f). Preuve de K erP(f)+KerQ(f)Ker(PQ)(f). Soienty2KerP(f)etz2KerQ(f). Alors :PQ(f)(y+z) =Q(f)P(f)(y)|{z}
=0+P(f)Q(f)(z)|{z} =0=0, et doncy+z2Ker(PQ)(f). Conclusion : Ker(PQ)(f) =KerP(f)KerQ(f).2.2. Sous-espaces caractéristiques Nous avons vu que, lorsquefest diagonalisable, on aE=E1EravecEi=Ker(fiidE)le sous-espace propre associé à la valeur proprei. Nous allons démontrer que même sifn"est
pas diagonalisable, mais si son polynôme caractéristique est scindé surK, on peut écrireE=Ker(f1idE)m1Ker(fridE)mr,
oùmiest la multiplicité de la valeur propreicomme racine du polynôme caractéristique def.Définition 2.
Soitfun endomorphisme deE. Soitune valeur propre defet soitmsa multiplicité en tant que racine def. Lesous-espace caractéristiquedefpour la valeur propreestN =Ker(fidE)m. Pourvaleur propre def, on aEN, carKer(fidE)Ker(fidE)kquel que soitk>1.Exemple 3.
Soit A=0 BB@2 3 0 0
3 4 0 0
1 1 1 0
951 31
CCA2M4(R).
DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES6 Calculons les sous-espaces caractéristiques deA. Pour déterminer ses valeurs propres, on calcule d"abord son polynôme caractéristique :A(X) =det(AXI4) == (X3)(X1)3
La valeur propre 3 est de multiplicité 1 et la valeur propre 1 est de multiplicité 3.Sous-espace caractéristique associé à=3.Comme la multiplicité de cette valeur propre est1alors le sous-espace caractéristique est aussi
le sous-espace propre :N3=Ker(A3I4)1=E3. Ainsi,N3=fv2R4j(A3I4)v=0g. CommeN3=E3est de dimension 1 etv1= (0,0,0,1)2N3, alors
N3=Rv1.
Sous-espace caractéristique associé à=1.
La multiplicité de cette valeur propre est 3, doncN1=Ker(AI4)3. On a : AI4=0 BB@3 3 0 0
3 3 0 0
1 1 0 0
951 21
CCA(AI4)2=0
BB@0 0 0 0
0 0 0 0
6 6 0 0
5 12 41
CCA(AI4)3=0
BB@0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1644 81
C CA On cherche une base deN1=fv2R4j(AI4)3v=0g. C"est un espace vectoriel de dimension3, dont par exemple(v2,v3,v4)est une base, avec
v2= (1,4,0,0)v3= (1,0,4,0)v4= (1,0,0,2),
et donc N1=Vect(v2,v3,v4).Théorème 2.
Soitfun endomorphisme deEtel quefest scindé surK. Notonsf(X) =(X1)m1(X r)mret, pour16i6r, Nile sous-espace caractéristique associé à la valeur proprei. Alors : 1.Chaque N
iest stable par f . 2.E =N1Nr.
3.dimNi=mi.
Autrement dit, l"espace vectorielEest la somme directe des sous-espaces caractéristiques. En plus,
la dimension du sous-espace caractéristique associé à la valeur propreest la multiplicité de
comme racine du polynôme caractéristique.Exemple 4.
Reprenons l"exemple
33 est valeur propre de multiplicité 1, et on a bien dimN3=1,
1 est valeur propre de multiplicité 3, et on a bien dimN1=3,
on a bienR4=N3N1.Démonstration.
1.Soit x2N=Ker(fidE)m. On a(fidE)m(x) =0. Or
(fidE)mf(x) =f(fidE)m(x) =0, d"oùf(x)2N. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN3. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD7 2. C "estune application du lemme des noyaux. On rappelle quef(X) =(X1)m1(Xr)mr.Les polynômes(Xi)misont premiers entre eux puisque les valeurs propres sont distinctes.
Par le lemme des noyaux, on obtient
Kerf(f) =Ker(f1idE)m1Ker(fridE)mr=N1Nr.
Or, d"après le théorème de Cayley-Hamilton, on af(f) =0, doncKerf(f) =E, d"où le résultat. 3. Notonsgi=fjNipour16i6r. Pouri6=j,Ni\Nj=f0g. OrEiNi, donc la seule valeurpropre possible degiesti. Le polynôme caractéristique degiest scindé (car il divise celui de
f) et sa seule racine est la seule valeur propre degi, c"est-à-direi. Ainsi,gi(X) =(Xi)ni (oùni=dimNi). De plus, (X1)m1(Xr)mr=f(X) =g1(X)gr(X) =(X1)n1(Xr)nr.D"où, en identifiant les exposants des facteurs irréductibles,ni=dimNi=mi, pour 16i6r.Mini-exercices.
1. Calculer les sous-espaces caractéristiques de la matriceA= . Même exercice avecB=12 2 2 22 65342 32350 11 2 001 1 1 4
2. Soientf2 L(E)et2K. Montrer queKer(fidE)Ker(fidE)2Ker(fidE)3 3. En utilisant le lemme des noyaux, prouver ce résultat du chapitre " Polynômes d"endomor- phismes » : "Théorème.Un endomorphismef2 L(E)est diagonalisable surKsi et seulementsi son polynôme minimal est scindé à racines simples dansK. »3. Décomposition de Dunford
Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, peut s"écrire
comme somme d"une matrice diagonalisable et d"une matrice nilpotente. Autrement dit, cette matrice est semblable à la somme d"une matrice diagonale et d"une matrice nilpotente.3.1. ÉnoncéDéfinition 3.
On dit qu"un endomorphismef(resp. une matriceA) estnilpotent(e)s"il existek2Ntel que fk=0 (resp.Ak=0). Nous allons démontrer que les endomorphismes nilpotents et les endomorphismes diagonalisablespermettent de décrire tous les endomorphismes dont le polynôme caractéristique est scindé surK
(c"est-à-dire ceux trigonalisables).DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN3. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD8Théorème 3(Décomposition de Dunford).Soitfun endomorphisme deEtel quefsoit scindé surK. Alors il existe un unique couple(n,d)
d"endomorphismes tel que : i) n est nilpotent et d est diagonalisable, ii) f =n+d, iii) n d=dn. De plus, on pourrait montrer quedetnsont des polynômes enf. En particulier, siK=C, cettedécomposition existe toujours. Le théorème peut encore s"écrire :Théorème 4(Décomposition de Dunford).
Pour toute matriceA2Mn(K)ayant un polynôme caractéristique scindé surK, il existe une unique
matrice N nilpotente et une unique matricediagonalisable telles queA=N+et N=N.Remarque importante.
Attention!est une matricediagonalisable, pas nécessairement une matrice diagonale. Commeest diagonalisable, alors il existe une matrice inversiblePet une matricediagonaleD telles queD=P1P. Si on noteN0=P1NPalorsN0est encore nilpotente etN0D=DN0. Une autre façon d"écrire la décomposition de Dunford est alorsP1AP=D+N0. C"est dire queAest semblable à la somme d"une matrice diagonale avec une matrice nilpotente.Comme conséquence directe :Corollaire 2.
Soitfun endomorphisme avec une décomposition de Dunfordf=d+n, avecddiagonalisable,n nilpotent et dn=nd. Alors : f diagonalisable()f=d()n=0; f nilpotent()f=n()d=0.3.2. LemmesAvant de démontrer ces théorèmes, nous allons démontrer des lemmes dont les résultats nous
seront utiles.Lemme 2. Si f est nilpotent, alors0est son unique valeur propre et on a f(X) = (1)nXn.Démonstration. NotonsAla matrice defdans une base. Commefest nilpotent, il existek>1tel queAk=0. Cela impliquedet(Ak) =0, doncdet(A) =0. La matriceAn"est donc pas inversible : cela entraîne quefn"est pas bijectif, et commefest un endomorphisme,fn"est pas non plusinjectif (la dimension de l"espace de départ égale la dimension de l"espace d"arrivée). Ainsi,
Kerf6=f0g, ce qui est exactement dire que 0 est une valeur propre def. Supposons quesoit une valeur propre def: il existe alorsx6=0tel quef(x) =x. Par récurrence surn,fn(x) =nx. Or,fest supposé nilpotent, il existe donck2Ntel quefk=0. D"oùkx=0, ce qui impliquek=0 (carx6=0), donc=0. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN3. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD9 Ainsi, 0 est la seule valeur propre def, donc la seule racine de son polynôme caractéristique. •SiK=R, on considère l"endomorphisme comme aussi défini surC. En termes de matrice, celarevient à dire que la matrice à coefficients réelsApeut être vue aussi comme à coefficients
complexes. Or, surC, un polynôme dont la seule racine est0est de la formeXn, donc f(X) = (1)nXnpuisque le coefficient dominant d"un polynôme caractéristique est(1)n.Lemme 3. Soitfun endomorphisme deEdiagonalisable. On note1,...,rses valeurs propres etE1,...,Er les sous-espaces propres correspondants. Si F est un sous-espace de E stable par f , alors on aF= (F\E1)(F\Er).Démonstration.
Soitx2F. Commex2E=E1 Er, il existex1,...,xruniques, avec xi2Eipour 16i6r, tels quex=x1++xr. Le sous-espaceFest stable parf, donc également parP(f)pour tout polynômeP2K[X]. On rappelle que commexi2Eialorsf(xi) =ixiet plus généralementP(f)(xi) =P(i)xi. Pour16i6r, on définit
P i(X) =r Y k=1k6=i(Xk).On a ainsiPi(j) =0 sii6=j, etPi(i)6=0.
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