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Mécanique - II - 1 / 8

II

MOMENTS - TORSEURS

Le torseur est l'outil privilégié de la mécanique.

Il sert à représenter le mouvement d'un solide, à caractériser une action mécanique et à

formuler le PFD (principe fondamental de la dynamique), entre autres.

1. Moments

a). Vecteur lié ou glisseur

Définition :

On appelle vecteur lié

ou glisseur le couple d'un vecteur V! de (E) et d'un point P de (ε) associé à (E).

On le note (P,V!).

Le glisseur (P,V!) dont

PN est un représentant est donc défini par : - un vecteur V! de (E) - un point quelconque P de son support (D)

Exemple :

La force F!qu'exerce un système matériel sur un point matériel A peut être représenté par un

glisseur )F,A(! b). Moment en un point d'un glisseur

Définition :

On appelle moment au point A

du glisseur )V,P(! le vecteur :

VAP)V(M

A

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Propriétés :

• Le moment au point A du glisseur ),(VP! est indépendant du point P choisi sur son support (D) • Relation fondamentale de changement de point du moment d'un glisseur :

ABV)V(M)V(M

AB

• 0!!!=)V(M

A si V! est nul ou si (D) passe par A

Définition :

L'ensemble des vecteurs moment du glisseur )V,P(!, définit en tout point de l'espace (ε), constitue un champ de vecteurs, appelé champ de moments du glisseur )V,P(! c). Moment d'un glisseur par rapport à un axe

Définition :

A étant un point d'un axe

Δ de vecteur unitaire Δe!, on appelle moment du glisseur ),(VP! par rapport à l'axe le réel suivant : ()V,AP,e)V(M.e)V(M A (projection de )V(M A !! sur l'axe de

Propriétés :

- Le moment )V(M! du glisseur )V,P(! par rapport à l'axe )e,A(

Δ! est indépendant du point A

choisi sur l'axe - 0= )V(M! si V! est nul, si la droite (D) rencontre l'axe )e,A(

Δ! ou encore si (D) est

parallèle à )e,A( d). Ensemble de glisseurs

Définition :

Soit un ensemble de glisseurs

iii )V,P(!, on peut associer à cet ensemble les deux vecteurs suivants : ii VR!! : la résultante de l'ensemble de glisseurs iiiA VAPM!! : le moment au point A de l'ensemble de glisseurs

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Propriété : Le champ des moments de l'ensemble de glisseurs vérifie la relation suivante : ABRMM AB

Remarques :

- Le fait de faire "glisser" les vecteurs sur leur support (D) ne modifie ni la résultante, ni le moment de départ, d'où le concept de vecteur glissant ou glisseur. - Dans le cas d'un nombre infini de glisseurs (charge répartie par exemple), on a: EP d)P(FR!! et EPA d)P(FAPM!! (Intégrales de Stieljes) où )P(F! est une densité de force (linéique, surfacique ou volumique) définie sur le domaine (E), relativement à la mesure μ (L, S ou V)

2. Champs de vecteurs

Définition :

On appelle champ de vecteurs

l'application qui fait correspondre à tout point A de (ε) un vecteur V! de l'espace vectoriel (E) de même dimension que ( Exemples : Champ électrique E!, champ magnétique B!, champ gravitationnel g! ...

Définition :

Un champ de vecteurs F! est dit affine

si il existe une application linéaire )E(LL? telle que 2

ε??)B,A( : )BA(L)B(F)A(F+=!!

L est la partie linéaire de F!.

Définition : Un champ de vecteurs F! est dit équiprojectif si : 2

ε??)B,A( : AB.)B(FAB.)A(F!!=

Propriété :

Si un champ de vecteurs équiprojectif est connu en 3 points A, B et C non alignés, il est connu

en tout point P de ε.

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Définition : L'application linéaire

E:L→ε est antisymétrique si :

2

E)v,u(??!! : ())v(L.uv.)u(L!!!!-=

Théorème

Soit E:F→ε! un champ de vecteurs, alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) F! est équiprojectif (ii) F! est un champ affine, et sa partie linéaire est antisymétrique.

Remarque : Le champ des moments

EA M !d'un glisseur )V,P(! est équiprojectif.

3. Torseurs

a). Définition Tout champ de vecteurs équiprojectif E:T→ε! est appelé torseur.

Pour tout EA?, la valeur )A(T!est le moment

du torseur au point A, noté A M!. On note le torseur associé à T! sous la forme []T.

Théorème :

Soit un torseur E:T→ε!, il existe un vecteur unique R! tel que : 2

ε??)B,A( : BAR)B(T)A(T?+=!!!

R ! est la résultante du torseur []T

Propriété :

Dans l'espace vectoriel (E) associé à l'espace affine (ε), un torseur []E:T→ε est défini de manière unique par sa résultante R! et son moment en un point A A

M! vérifiant :

2

ε??)B,A( : ABRMM

AB le torseur []T se note au point A : [] ???=AA MRT!! R ! et A M! sont appelés éléments de réduction (ou coordonnées vectorielles) de []T

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Exemples :

Dans le cadre de l'étude des solides rigides :

- Champs des vitesses → Torseur cinématique - Champs de quantités de mouvement → Torseur cinétique - Champs de forces → Torseur force - Champs de quantités d'accélération → Torseur dynamique b). Propriétés d'un torseur (i) Opérations

• Égalité :

Deux torseurs

1

T et []

2 T sont égaux si et seulement si leurs éléments de réduction sont égaux 21

RR!!= et

A,A, MM 21

• Somme :

La somme de deux torseurs

1

T et []

2 T est le torseur dont les éléments de réduction sont la somme des éléments de réduction de chacun des deux torseurs : 21

RRR!!!+= et

A,A,A MMM 21
Remarque : Pour additionner deux torseurs, il faut d'abord les écrire au même point. Ceci est valable pour toutes les opérations entre torseurs.

• Multiplication par un scalaire :

Soit

R?λ, [] [ ]{

AA

M,RTT!!λλ=λ=λ

• Torseur nul :

[]{}000, A

C'est l'élément neutre pour la somme.

→ un torseur est nul si ses éléments de réduction sont nuls : 0!!=R et 0!!= A M

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(ii) In variants d'un torseur

Définition : Soit

[]T un torseur, les invariants d'un torseur sont les grandeurs qui sont conservées entre deux points A et B de l'espace (ε). ! La résultante R!du torseur ! L'invariant scalaire : projection du moment du torseur sur sa résultante 2

ε??)B,A( :

BA

M.RM.R!!!!=

! Relation d'équiprojectivité : BA

M.ABM.AB!!=

c). Axe central d'un torseur

Définition : Un point central

est un point où le moment d'un torseur []T a même direction que la résultante.

A point central ? 0!!!=?RM

A (ouRM A

Définition : L'ensemble

[]T Δ des points centraux de []T est appelé axe central.

Propriétés :

- L'axe central []T Δ d'un torseur []T est une droite, qui admet R! comme vecteur directeur - Le moment d'un torseur est le même en tout point de l'axe central - La norme du moment d'un torseur est minimum pour les points centraux : []TA

AMΔ??=0!!

d). Produit (ou comoment) de deux torseurs

Soient deux torseurs

1

T et []

1

T définis au même point : []

???=A, MRT 11 1 et ???=A, MRT 22
2

Définition : Le produit ou comoment

des deux torseurs [] 1

T et []

1

T est le réel suivant :

A,A,

M.RM.RT.T

122121

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Remarque : Cette notion sert par exemple à exprimer la puissance d'une action mécanique extérieure à un solide.

Propriétés :

- Le produit de 2 torseurs est commutatif - Le produit de deux torseurs est indépendant du point A choisi → c'est un invariant

4. 4 - Torseurs particuliers

a). Torseur couple

Définition :

On appelle couple

ou torseur couple tout torseur []T qui est constant, donc tout torseur, noté []C, dont la résultante est nulle : : ???=AA

MC!!0, avec 0!!≠

A M

Remarques :

- Le moment d'un torseur couple est e même en tout point de l'espace : 2

ε??)B,A( :

BA MM!!= - Un couple n'admet pas d'axe central b). Glisseur

Définition :

On appelle glisseur

ou torseur à résultante un torseur []G dont le moment est nul en au moins un point. L'ensemble des points où le moment est nul n'est autre que l'axe central, aussi appelé dans ce cas support du glisseur : ???=AA MRG!! , avec G

BΔ?, 0!!≠R

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Remarques :

- Le torseur []T avec 0!!≠R et 0!!≠ A M est un glisseur si ses deux éléments de réduction sont orthogonaux - La somme de deux glisseurs dont les axes centraux sont quelconques n'est en général pas un glisseur - Pour qu'un torseur non nul soit un glisseur il faut et il suffit que son invariant scalaire soit nul c). Décomposition d'un torseur

Théorème : Tout torseur

[]T peut être décomposé de façon unique en la somme d'un couple []C et d'un glisseur []G : [] [][]GCRMMRT AAAAA ???=00!!!!!! []G est le glisseur de vecteur R! et de support l'axe central de []T et []C est le couple de valeur le moment central de []T On appelle cette opération décomposition centrale []T

Δ, R! et

[]T M !sont les éléments centraux de []T.

5. Torseur associé à un ensemble de glisseurs

Les ensembles de glisseurs ou vecteurs liés {}

iii )V,A(!répondent à la définition d'un torseur (équiprojectivité des moments). On peut donc leur associer un torseur, qui s'écrit au point A : iiii i A i VAPV )V(T!!

Définition :

On appelle torseur à structure

un torseur dont les éléments de réduction sont les deux intégrales de Stieljes : d)P(FAPd)P(F)P(FT EPEP Aquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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