[PDF] Les torseurs Le moment sur l'axe

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Les torseurs

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Définition

On considère un champ de vecteurs, noté

#M, qui à tout pointMassocie le vecteur#MM. Les propositions suivantes sont alorséquivalentes: •Le champ de vecteurs#Mestéquiprojectif. •Il existe ununiquevecteur#Rtel que : ?A,B:#MB=#MA+# BA?#R(1) •Le champ de vecteurs#Mest untorseur; -derésultante:#R, -demomentau pointA:#MA.

#Ret#MAsont appelés leséléments de réductiondu torseur au pointA.RemarqueUn moyen mnémotechnique pour retenir la relation 1 :BABARRemarques:

•le champ des vecteurs vitesse dans un solideestun torseur (appelétorseur cinématique) : ?!#Ω1/0tq.?A,B:#V(B?1/0) =#V(A?1/0) +# BA?#Ω1/0 •le champ des vecteurs accélération dans un soliden"est pasun torseur : ?A,B:#Γ(B?1/0) =#Γ(A?1/0) +# BA?d#Ω1/0dt |R0...+#Ω1/0?(# BA?#Ω1/0) 2

Notation

On note un torseur définit enApar le couple de vecteurs#Ret#MA: T? R MA? A=? ?R x R y RzM x M y M z? ?B A6 coordonnées de#RdansB6 coordonnées de#MAdansB

Propriété

: le moment d"un torseur peut être déterminé en tout point. On a donc : ?A,B:? T? R MB? B=? R MA?

A(avec :#MB=#MA+# BA?#R)

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Op érationssur les tors eurs

Automoment d"un torseur

: on appelle automoment d"un torseur le produit scalaire de ses éléments de réduction. T? R MA?

A?A,B:#R·#MA=#R·#MBC"est uninvariant scalaire; c.-à-d. que son résultat ne dépend pas du point de réduction.

Égalité de deux torseurs

T 1? T 2? ssi?

R1=# R2

en un pointPquelconque on a :# M1P=# M2P

Somme de deux torseurs

T 1? T 2? R1 # M1A? A+? R2 # M2B? B=?

R1+# R2

# M1P+# M2P? P

Comoment de deux torseurs

T 1? T 2? R1 # M1A?

A×?

R2 # M2B? B= # R1·# M2P+# R2·# M1P?P

C"est aussi uninvariant scalaire; il est indépendant du choix du pointP.AttentionChacune des opérations précédentesnécessitede déterminer les moments résultants des deux torseurs en un

mêmepoint. Celui-ci peut, bien-sûr, être choisi librement.4T orseursparticuliers

Torseur nul

: un torseur est ditnuls"il existe un point où ses éléments de réduction sont nuls. Ils le sont alors en tout

point. ?P:? 0? 0 0? P

Torseur couple

: on appelletorseur coupleun torseur dont la résultante est nulle. Le moment d"un tel torseur est indépendant du point où il est déterminé. ?P:? C? 0 MA? A, P

Glisseur

: un torseur est unglisseurs"il existe un point oùson moment est nul. ?P tq.:? G? R 0?

PRemarquePour montrer qu"un torseur de résultante non nulle est un glisseur, il suffit de vérifier que son automoment est nul.

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Axe cen trald"un torseur

Définition

: on appelleaxe central d"un torseur, s"il existe, le lieu des pointsIoù le moment est colinéaire à la

résultante du torseur. Si l"on considère un torseur : T? R MA? Aavec #R?=#0

L"axe central de

T? est donc l"ensemble des pointsItels que :

MI=λ#RPropriétés:

•L"axe central d"un torseur est unedroite dont le vecteur directeur est la résultante du torseur. L"ensemble des

pointsIde l"axe centralΔde? T? peut être obtenu par : ?A:# AI=#R?#MA? #R?2+μ#R μ??

•Le moment du torseur est le même en tout point de son axe central. i.e. :?λ!tq.?I?Δ,#MI=λ#R.

On appelleλlepas du torseur. Et l"on à :

?A:λ=#R·#MA? #R?2 •Le moment du torseurest minimalsur l"axe central (voir figure 1).

Remarques

•Le moment sur l"axe central d"un glisseur est nul. •L"axe central n"est pas défini ni pour un torseur nul, ni pour un torseur couple.#-R#-

MI=λ#-R

MA=#-MI+# -AI?#-RI

AΔFigure1 - Torseur; champ de vecteurs

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Lycée Leconte de LisleDésignationSchéma (normalisationAFNOR)Caractéristiques?

2→1?de la liaison2D3Dgéométriques?

V

2/1?liaisonsans frottementEncastrement2

1 Oz xy 1

2aucune?

??0 0 00 0 0? ??B C,I? ??X Y ZL M N? ??B

C?C?II=CPivot

1 2 O y z x 1

2axe(O,#x)?

x 0 00 0 0? ??B C,I? ??X Y Z0 M N? ??B

C?C?(O,#x)?I?(C,#x)I=CGlissière

1 2 O z xy 2

1direction

#x? ??0 0 0v x 0 0? ??B C,I? ??0 Y ZL M N? ??B

C?C?II=CHélicoïdale

1 2 O y z x pas à droite 1

2axe(O,#x)?

x 0

0p2πωx

0 0? ??B C,I? ??X Y Z- p2πX M N? ??B

C?C?(O,#x)?I?(C,#x)I=CO: " centre » de la liaisonC: points où le torseur s"écrit sous forme canoniqueI: points où le moment est identique à celui au pointCTable1 - Liaisons normaliséesV208B4/6

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DésignationSchéma (normalisationAFNOR)Caractéristiques?

2→1?de la liaison2D3Dgéométriques?

V

2/1?liaisonsans frottementPivot glissant1

2 O y z x 2

1axe(O,#x)?

x 0 0v x 0 0? ??B C,I? ??0 Y Z0 M N? ??B

C?C?(O,#x)?I?(C,#x)I=CRotule ou

Sphérique

à doigt1

2 Oz xy 2

1centreO

doigt d"axe(O,#z) rainure dans un plan de normale#y? ??0 y z0 0 0? ??B O? ??X Y ZL 0 0? ??B

OI=C=ORotule

ou

Sphérique

1 2 O z xy 2

1centreO?

x y z0 0 0? ??B O? ??X Y Z0 0 0? ??B O I=C=O

Appui plan

2 1O y z x 2 1 normale #z ??0 0 zv x v y 0? ??B C,I ??0 0 ZL M 0? ??B C,I ?C ?I?(C,#z) ?I?(C,#z)

O: " centre » de la liaisonC: points où le torseur s"écrit sous forme canoniqueI: points où le moment est identique à celui au pointC

Table2 - Liaisons normaliséesV208B5/6

Lycée Leconte de LisleDésignationSchéma (normalisationAFNOR)Caractéristiques?

2→1?de la liaison2D3Dgéométriques?

V

2/1?liaisonsans frottementLinéaire annulaire

ou

Sphère-cylindrex

1 2 O z xy 1

2centreO

direction #x? x y zv x 0 0? ??B O? ??0 Y Z0 0 0? ??B

OI=C=OLinéaire rectiligne

x 1 2 O z xy1

2droite de contact

(O,#x) normale au plan #z? x 0 zv x v y 0? ??B C? ??0 0 Z0 M 0? ??B

C,I?C?(O,#x,#z)I=C?I?(C,#z)Ponctuelle

ou

Sphère-plan

2 1 O y z x 1

2point de contactO

normale au plan #z? x y zv x v y 0? ??B C? ??0 0 Z0 0 0? ??B

C,I?C?(O,#z)I=C?I?(C,#z)O: " centre » de la liaisonC: points où le torseur s"écrit sous forme canoniqueI: points où le moment est identique à celui au pointCSchémas2D: ancienne normeLiaison pivotLiaison pivot glissantLiaison hélicoïdaleLiaison ponctuelle

2 1 2 1 pas à gauche (p<0) pas à droite (p>0) 2 1 2

1Table3 - Liaisons normaliséesV208B6/6

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