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CHAPITRE 3

DUALIT

E PROJECTIVE ET CONSEQUENCES

(1) Erratum au chap.1 :supprimer la 1ere phrase de la section 7. Les theoremes de Pappus et

Desargues et leurs duaux ont ete traites en cours comme illustration de la dualite projective etsont au

programme de l'examen. Dans tout ce chapitre,kdesigne un corps etVunk-ev de dimension nie.

15. Denitions

Rappels 15.1(sur la dualite). |S oitVunk-espace vectoriel de dimension nie. (1) SiFest un sev deV, sonorthogonal dansVest : F

0=fv2Vjf(v) = 0 pour toutf2Fg:

On rappelle que :

(i)

dim( F0) = dim(V)dim(F).(ii)S i( f1;:::;fr) est une famille generatrice deF(par exemple une base), alorsF0=

fv2Vjfi(v) = 0 pouri= 1;:::;rg=Tr i=1Ker(fi). (2) De m^eme, siWest un sev deV, sonorthogonal dansVest : W

0=ff2Vjf(x) = 0 pour toutx2Wg:

On a :

(i)

dim( W0) = dim(V)dim(W).(ii)S i( v1;:::;vr) est une famille generatrice deW(par exemple une base), alorsW0=

ff2Vjf(vi) = 0 pouri= 1;:::;rg.

(3) Avec les notations precedentes, on aW=W00etF=F00.(4) Le dual de l'espace quotientV=Ws'identie aW0, i.e. on a : (V=W)=W0.(5) L'orthogonalite"renverse les inclusions et echange les sommes et les intersections»,

c.-a-d., siEFetE1;:::Ersont des sev deVou deV, alorsF0E0et l'on a : (E1++Er)0=E01\ \E0ret (E1\ \Er)0=E01++E0r:(1)

Version du 4 octobre 2016.

60CHAPITRE 3. DUALITE PROJECTIVE ET CONSEQUENCES

Demonstration. |P our( 1){(4),v oirp arex emple[ Po,xx1.3, 1.7, 3.5]. Prouvons (5). D'abord, l'inclusionF0E0est evidente. PosonsW=E1++En. CommeEiW, alorsW0est contenu dans chaqueE0idonc dans leur intersection. Reciproquement, si un elementyappartient aE01\ \E0ralors il est orthogonal a toute sommex1++xn, ouxi2Ei, doncy2W0. Ceci prouve la 1ere egalite. La 2eme

se deduit de la 1ere appliquee auxE0i, en utilisant (3).Dans la suite, on suppose que dim(V) =n+ 1 est3, i.e. que dimP(V) =nest2.

Denition 15.2(Pinceaux d'hyperplans). |S oit = P(F) une droite deP(V), i.e.Fest un sev deVde dimension 2. SoitW=F0, c'est un sev deVde codimension 2. Pour tout [f]2,P(Ker(f)) est un hyperplan deP(V) contenantP(W). Reciproquement, siP(H) est un tel hyperplan, soitf2Vune equation deH(i.e. Ker(f) =H); comme

WHalorskf=H0est contenu dansW0=F.

Donc les hyperplans deP(V) contenantP(W) sont exactement lesP(Ker(f)), pour [f] decrivant (noter que Ker(f) = Ker(f) pour tout2k). L'ensemble de ces hyperplans s'appelle lepinceau d'hyperplans(2)associe a ou encore lepinceau d'hyperplans de centre P(W). SiP(H) etP(H0) sont deux elements distincts du pinceau, leur intersection estP(W) (carH\H0=W). Exemple 15.3. |S iPest un plan projectif etIun point deP, alors le pinceau de droites de centreIest l'ensemble des droites projectives passant parI. Remarquons que si l'on choisit l'une de ces droites comme droite a l'inniD1, alors dans le plan aneP=PD1, les autres droites du pinceau sont paralleles, cf. la gure de droite ci-dessous : H

HHHHHHHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAAAAAAAAI[D1Notations 15.4. |( 1)Not onsS(V) l'ensemble des sevEdeV. Plus precisement, pour

r= 0;1;:::;n+ 1, notonsSr(V) l'ensemble des sev deVde dimensionr. (2) Pour l'enonce de la dualite projective (cf. ci-dessous), il est commode de s'autoriser a considererP(f0g) =?comme un sous-espace projectif deP(V), et de decreter qu'il est de dimension1. (3) Alors, pourd=1;0;:::;n1;n, notonsSd(P(V)) l'ensemble des sous-espaces projectifs deP(V) de dimensiond, i.e. S d(P(V)) =fP(E)jE2Sd+1(V)g: et notonsS(P(V)) l'ensemble de tous les sous-espaces projectifsP(E), pourE2S(V). Remarquons queS0(P(V)) n'est autre que l'ensemble despointsdeP(V), queS1(P(V))(2)

On dit aussi"faisceau d'hyperplans», mais nous preferons la terminologie"pinceau», qui est celle

utilisee en geometrie algebrique. 15. D

EFINITIONS61

est l'ensemble desdroitesdeP(V) et queSn1(P(V)) est l'ensemble deshyperplansde P(V). Lemme 15.5. |L'applicationE7!E0est unebijectiondeS(V)surS(V). Plus precisement, pour toutr= 0;1;:::;n+ 1, c'est une bijection deSr(V)surSn+1r(V).

Demonstration. |Ce cid ecouled esr appelsp recedents.Denition et proposition 15.6(Dualite projective). |On suppose quedimP(V) =

nest2. (i)L'applicationP(E)7!P(E0)est unebijectiondeS(P(V))surS(P(V)), qui envoieSd(P(V))surSnd1P(V)pour tout toutd=1;0;:::;n1;n. (i bis)En particulier, pour toutf2V f0gle point[f]deP(V)correspond a l'hy- perplanP(H), ouH= Ker(f). Et toute droite =P(F)deP(V)correspond au pinceau d'hyperplans de centreP(W), ouW=F0. (ii)Cette bijection renverse les inclusions :P(E)P(F)()P(F0)P(E0). (iii)Elleechange les notions d'intersection et de sous-espace engendre, i.e. siE1;:::;Er sont des sev deV, elle echange, d'une part,P(E1)\P(Er)etP(E01++E0r)et, d'autre part,P(E1++Er)etP(E01\ \E0r). (iii bis)En particulier, pour tout entierr3, des points distincts[f1];:::[fr]deP(V) sont alignes ssi, posantHi= Ker(fi), les hyperplansP(Hi)deP(V)contiennent un sous- espace projectifP(W)de dimensionn2. (iii ter)En particulier, sin= 2, les[fi]comme ci-dessus sont alignes ssi les droites D i=P(Hi)sont concourantes. Demonstration. |L esa ssertions( i){(iii)d ecoulenta ussit^otd ul emmep recedent.Pr ouvons (iii bis). Si les [fi] engendrent une droite =P(F) alors lesP(Hi) appartiennent au pinceau de centreP(W), ouW=F0. Reciproquement, si lesP(Hi) contiennent un sous-espace projectifP(W) de dimensionn2, alors lesfiappartiennent tous au planF=W0, donc les [fi] appartiennent a la droite =P(F). Enn, (iii ter) est un cas particulier, car dans

ce casP(W) est un pointIdu plan projectifP(V).Terminologie 15.7. |Pl acons-nousd ansu np lanp rojectifP(V). SiDest une droite

deP(V) etdle point correspondant deP(V), on dit quedest"le point dual de la droite D». De m^eme, sipest un point deP(V) et la droite correspondante deP(V), on dit que est"la droite duale du pointp». Exemple 15.8. |S iABCest un triangle dansP(V) (i.e. si les pointsA;B;CdeP(V) sont non alignes), on noteraa2P(V) le point"dual»de la droite (BC), etb(resp.c) le point"dual»de la droite (CA) (resp. (AB)). Alors, comme (BC) et (CA) se coupent en C, la droite (ab) est duale du pointC, et de m^eme (bc) est duale deAet (ca) deB.

P(V)sas

csb @@@@@@@@@A B Cs A s BsC @@@@@@@@@c ab P(V)

62CHAPITRE 3. DUALITE PROJECTIVE ET CONSEQUENCES

Donc un triangle est une conguration"autoduale».

Ce qui suit sur les quadrangles et quadrilateres complets n'a pas ete traite en cours et peut ^etre omis.

Exemples 15.9. |Soi tPun plan projectif.

(1) Unquadrangle completdansPest la donnee de quatre pointsP;Q;R;Sformant un repere projectif (i.e. trois d'entre eux ne sont jamais alignes), appeles lessommets, et des4

2= 6 droites qui les joignent,

appelees lesc^otes(cf. la gure suivante).

Deux c^otes qui ne se coupent pas en un sommet sont ditsopposes; les trois paires de c^otes opposes se

coupent en trois points supplementairesI;J;K, appeles les pointsdiagonaux. L

LLLLLLL

X

XXXXXXXXXXXP

Q RS I K J (2) La conguration duale est appelee unquadrilatere complet: c'est la donnee de quatre droites dis-

tinctes dont trois ne sont jamais concourantes, appelees lesc^otesdu quadrilatere; elles se coupent deux a

deux en4

2= 6 points distincts, appeles lessommets. Deux sommets sont ditsopposessi la droite qui les

joint n'est pas un c^ote, elle est alors appelee unediagonale. On obtient ainsi trois diagonales (en pointilles

sur le dessin ci-dessous).s s s L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLs

s

sRemarque : si la caracteristique dekest6= 2, il resulte du lemme ci-dessous que les trois points diagonaux

d'un quadrangle complet ne sont pas alignes et, dualement, que les trois diagonales d'un quadrilatere

complet ne sont pas concourantes. Lemme 15.10. |Soit(P;Q;R;S)un quadrangle complet du plan projectifP. On suppose quecar(k)6=

2. Alors les points diagonauxI;J;Kne sont pas alignes.(3)

Demonstration. |Les p ointsP;Q;R;Sdenissent un repere projectif dans lequel leurs coordonnees ho-

mogenes sont [1;0;0], [0;1;0], [0;0;1] et [1;1;1]. Alors la droite (PQ) (resp. (RS)) a pour equationz= 0

(resp.x=y), doncK= [1;1;0]. On obtient de m^eme queJ= [0;1;1] etI= [1;0;1]. Comme car(k)6= 2, on a det0 @0 1 1 1 0 1

1 1 01

A = 26= 0 doncI;J;Kne sont pas alignes.(3)

A fortiori, ils sont deux a deux distincts.

16. LE TH

EOREME DE CEVA COMME DUAL DU THEOREME DE MENELAUS63

16. Le theoreme de Ceva comme dual du theoreme de Menela

us SoientA;B;Ctrois points non alignes d'un plan aneP. Ils denissent un repere ane R= (A;B;C) deP, d'ou des coordonnees barycentriques (;;) pour lesquelles on a A= (1;0;0),B= (0;1;0) etC= (0;0;1). SoientA0= (0;a;a0) un point de la droite (BC), B

0= (b0;0;b) un point de la droite (CA) etC0= (c;c0;0) un point de la droite (AB). (On

aa+a0= 1 =b+b0=c+c0puisqu'il s'agit de coordonnees barycentriques.) Theoreme 16.1. |Le theoreme de Ceva se deduit par dualite projective du theoreme de Menela us(et reciproquement). Demonstration. |S oitV=cPle plongement vectoriel dePetbP(P) =P(V) le complete projectif deP. Alors les droites anes (AA0);(BB0) et (CC0) sont concourantes (dans P) ou paralleles si et seulement si les droites projectives correspondantes, notons-les, et , sont concourantes (dansP(V)). Par dualite, ceci equivaut a dire que les points correspondantsp;q;rdeP(V) sont alignes. Determinons ces points. NotantOle vecteur nul deV=cP, les vecteurs!OA,!OBet!OCforment, dans cet ordre, une baseB= (e1;e2;e3) deV. NotonsB= (f1;f2;f3) la base duale deV, alors un element arbitrairefdeVs'ecrit de facon uniquef=xf1+yf2+zf3, avecx;y;z2k, et l'on a : f(!OA) =x; f(!OB) =y; f(!OC) =z: Par consequent, l'orthogonal de la droite vectorielle engendre par!OAest le plan deV donne par l'equationx= 0, et donc la droite deP(V)"duale»du pointAdeP(V) est la droite projectiveAd'equationx= 0. De m^eme, la droiteB"duale»deB(resp.C "duale»deC) a pour equationy= 0 (resp.z= 0). Les droitesAetBse coupent au pointC= [0 : 0 : 1] deP(V), qui est le point dual de la droite (AB). De m^eme,Bet Cse coupent au pointA= [1 : 0 : 0], etCetAau pointB= [0 : 1 : 0]. Donc la conguration"duale»du triangle (ABC) est le triangle suivant dansP(V) :

A@@@@@@@@@@@@@@@C

Bs s s C = [0 : 0 : 1]B = [0 : 1 : 0] A = [1 : 0 : 0] Considerons maintenant les droites projectives= (AA)0,= (BB0) et = (CC0) et les points"duaux»p;q;rdansP(V). La droite projectivecorrespond au plan vectorielP engendre par!OA=e1et!OA0=ae2+a0e3, donc une forme lineairef=xf1+yf2+zf3s'y annule ssix= 0 etya+za0= 0, doncPest deni par la forme lineairef=a0f2+af3, donc le pointpdual deestp= [0 :a0:a]. De m^eme, la droite projectivecorrespond au plan vectorielPengendre par!OB=e2 et!OB0=b0e1+be3, qui est deni par la forme lineairef=bf1b0f3, donc le pointqdual

64CHAPITRE 3. DUALITE PROJECTIVE ET CONSEQUENCES

deestq= [b: 0 :b0]. Et, de m^eme, correspond au plan vectorielP engendre par!OC=e3et!OC0=ce1+c0e2, donc le pointrdual de estr= [c0:c: 0]. Par dualite, on a deja dit que les droites projectives;; sont concourantes ssi les points p;q;rdeP(V) sont alignes, ce qui equivaut a dire que les vecteurs (0;a0;a), (b;0;b0) et (c0;c;0) deVengendrant un plan vectoriel, i.e. que le determinant 0bc0 a00c ab00 est nul (ceci etait la demonstration du th. de Menela us). Or ce determinant vautabca0b0c0. On obtient ainsi que le theoreme de Ceva est le"dual projectif»du theoreme de Menelaus (et reciproquement).17. Dualite et theoremes de Pappus et de Desargues On renvoie maintenant aux dierentres versions des theoremes de Pappus et Desargues donnees dans les sections 7 et 14. En dualisant le theoreme de Pappus projectif (14.1), on obtient un nouveau theoreme, le theoreme"de Pappus dual»: Theoreme 17.1(de Pappus dual). |Dans un plan projectif, soientI;I0deux points distincts etD1;D2;D3(resp.D01;D02;D03)trois droites distinctes passant parI(resp.I0) et distinctes de la droite(II0). NotonsQ1(resp.R1)le point de concours deD2etD03 (resp.D02etD3)et denissons de m^emeQ2;R2;Q3etR3. Alors les droites(Q1R1),(Q2R2) et(Q3R3)sont concourantes.I D 2D 1 D 3 A

AAAAAAAAAAAAAA

C

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

I0D

03D02D01

R 1sQ 1sQ 3sR 3 s R 2s Q 2sOs @@@@@@@@@@@@@@Par contre, on va voir que le theoreme de Desargues est"auto-dual». M^eme si cela ne fournit pas un nouveau theoreme, cette"autodualite»du theoreme de Desargues est interessante. Placons-nous dans un plan projectifP(V). Commencons par rappeler les hy- potheses du theoreme de Desargues.

17. DUALIT

E ET THEOREMES DE PAPPUS ET DE DESARGUES65

On suppose queA;B;C(resp.A0;B0;C0) sont non alignes et que : A6=A0donnent la droite (AA0)(BC)6= (B0C0) se coupent en un pointA1 B6=B0donnent la droite (BB0)(CA)6= (C0A0) se coupent en un pointB1 C6=C0donnent la droite (CC0)(AB)6= (A0B0) se coupent en un pointC1 (AA0);(BB0);(CC0) distinctesA

1;B1;C1distincts

QueA1;B1;C1soient distincts ne fait pas partie des hypotheses initiales, mais en de- coule. En eet, si on avait par exempleA1=B1alors les droites (AC) et (BC), distinctes carA;B;Cnon alignes, auraient en commun les pointsM=A1=B1etC, donc neces- sairementM=C, et de m^emeM=C0, d'ouC=C0, contradiction. Notonsa2P(V) le point"dual»de la droite (BC), etb(resp.c) le point"dual»de la droite (CA) (resp. (AB)), et denissons de m^emea0;b0;c0. Alors, comme (BC) et (CA) se coupent enC, la droite (ab) est duale du pointC, et de m^eme (bc) est duale deAet (ca) deB. De m^eme, (a0b0), (b0c0) et (c0a0) sont duales, respectivement, des pointsC0,A0etB0. CommeC6=C0, alors (ab) et (a0b0) sont distinctes donc se coupent en un pointc1qui est dual de la droite (CC0). De m^eme, (bc) et (b0c0) se coupent au pointa1dual de (AA0), et (ca) et (c0a0) se coupent au pointb1dual de (BB0) De plus, commecest dual de (AB) etc0de (A0B0), alors la droite (cc0) est duale du pointC1= (AB)\(A0B0), et de m^eme (bb0) est duale deB1et (aa0) deA1. On voit donc que les hypotheses sont"auto-duales», i.e. qu'elles equivalent aux hypotheses analogues sur les objets duaux : a;b;c(resp.a0;b0;c0) sont non alignes et : (bc)6= (b0c0) se coupent en un pointa1a6=a0donnent la droite (aa0) (ca)6= (c0a0) se coupent en un pointb1b6=b0donnent la droite (bb0) (ab)6= (a0b0) se coupent en un pointc1c6=c0donnent la droite (cc0) a

1;b1;c1distincts(aa0);(bb0);(cc0) distinctes

On peut maintenant enoncer (et demontrer!) le theoreme de Desargues sous la forme suivante : (4) Theoreme 17.2(de Desargues projectif). |On se place sous les hypotheses auto- duales precedentes. Alors les conditions suivantes sont equivalentes : (i)A1;B1;C1sont alignes sur une droiteDP(V). (ii) ( AA0);(BB0);(CC0)sont concourantes en un pointO2P(V). (iii) ( aa0);(bb0);(cc0)sont concourantes au pointd2P(V)dual de la droiteD. (iv)a1;b1;c1sont alignes sur la droite deP(V)duale du pointO. De plus, si ces conditions sont veriees, on est dans l'une des situations suivantes : a)Cas non degenere :aucune des6droites(AB);(BC);(CA);(A0B0);(B0C0);(C0A0) ne contientO; de facon equivalente,Dne contient aucun des6pointsC;A;B;C0;A0;B0. Dans ce cas, avec les4droites(AA0);(BB0);(CC0);Det les4pointsA1;B1;C1;Oon(4) La demonstration par"expedition deDa l'inni»donnee section 14 avait une hypothese supplementaire, assurant queDne contient aucun des pointsA;B;C;A0;B0;C0, ce qui excluait les cas"degeneres»du theoreme. Par ailleurs, dans le chap. 1, p.25, ligne 2 de la demo de 7.2 : remplacerpar.

66CHAPITRE 3. DUALITE PROJECTIVE ET CONSEQUENCES

obtient dix points et dix droites deux a deux distincts. Le pointOpeut appartenir ou pas a la droiteD: voir les deux gures ci-dessous. b)Cas degenere :Oest egal a l'un des pointsA;B;C;A0;B0;C0, disonsA. Alors on a trois egalites de points :A=O,B0=C1etC0=B1, et trois egalites de droites : (BB0) = (AB),(CC0) = (AC)etD= (B0C0). SiO62D, on obtient ainsi7points et

7droites deux a deux distincts. SiO2D, on obtient deux egalites de points (resp. de

droites) en plus, par exempleA=B0etC=A1(resp.(A0A) = (A0B0)et(C0C) =D), d'ou seulement5points et5droites. Avant de commencer la demonstration, donnons deux gures correspondant au cas"non degenere»; dans la premiere on aO62Det dans la secondeO2D:A B A0B 0@ @@@@@@@@@@@@@@OC C 0 @@@@@@@@@@@H

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHA

1B1C1DD

H HHHHH X

XXXXXXXX

H HH X

XXXXX!

!!!!!!!!!!!!!C0B 0 A 0 AB C O C 1A 1B

1Demonstration. |P ard ualite,on a l es equivalences( i),(iii) et (ii),(iv). De plus, si

l'on a montre l'implication (ii))(i)et si (i) est verie alors (iii) l'est aussi et donc, par l'implication precedente appliquee dansP(V), (iv) est verie et donc (ii) est verie. Donc il sut d'etablir que (ii))(i), en tenant compte des cas degeneres. Supposons donc (AA0);(BB0);(CC0) concourantes en un pointO. Alors, dansP(V), les pointsa1;b1;c1appartiennent a la droite duale deO. Distinguons les cas suivants. (1)Oappartient a une des 6 droites (AB);(BC);(CA);(A0B0);(B0C0);(C0A0), par exemple a (AB). SiOetait distinct deAet deB, alors la droite (AB) serait egale a (OA) = (A0A) et a (OB) = (B0B) donc on aurait (A0A) = (B0B) contrairement a l'hypothese. Ceci montre queO=AouB. Supposons par exempleO=A.

17. DUALIT

E ET THEOREMES DE PAPPUS ET DE DESARGUES67

Alors, (BB0) = (AB) et (CC0) = (AC). De plus, commeB02(AB)\(A0B0) on a Bquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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