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Chapitre6

Dualité.

gensetNewtonàHeisenbergetDeBroglie. originelprécis.

6.1Dualitélinéaire.

dernière. 1 1 soutiendeDescartes.Voir7.3.1 85

86CHAPITRE6.DUALITÉ

l'ÉcolePolytechnique. tourdel'Académie). 2 ,ilréussitàsebrouiller n'yaurontpascoopéré.

Unpeuplusloin:

2 grandancêtre!

6.1.DUALITÉLINÉAIRE87

3 deMonge-Ponceletqui fondementrigoureuxetgénéral). comme métrieprojective. deBamiyan(dynamitésparlesTalibans) 4 5 "point»et"droite». 3 4 5

272-276(http://www.numdam.org)

strasbg.fr/thumbnails.php?album=433

88CHAPITRE6.DUALITÉ

configurationoriginale.

Unpeuplustard,Chasles

6 proposerauneautrevariante,dynamique,dela surlesprincipesdelaphilosophienaturelle.

6.1.3Formeslinéairesetdualité.

tiques. estl'espacevecto- réellesoucomplexesselonlecas).

OnadoncunaccouplementdedualitéentreV

etV,quiàlaformelinéaire v ?V =v (v). V ,c'est-à-direunélémentdubidualV .LorsqueVestdedimensionfinie,ceci permetd'identifierVetsonbidualV

L'espaceprojectifdualP

n'estautrequel'espaceP(V )attachéàl'espace vectorieldual. 6

6.2.DUALITÉSCATÉGORIQUES89

6.2Dualitéscatégoriques.

,etV can =V.Maisona sensF :W →V (GF) =F G

6.2.2Autresexemples.

g?→g -1 estunedualité(ausenscatégorique).

Boole),lanégationestunedualité

7 vitéestperdue. sespoints)contenant0.SonpolaireS ?V estleconvexe,contenant0,formédes v telsque 6.2.3Produittensorieletdualité.

U?Vec,onaalorsunisomorphismecanonique

Hom(U?V

,W) can =Hom(U,V?W): 7

90CHAPITRE6.DUALITÉ

lesfoncteurs-'V permetderetrouverl'inverse. 8

6.3Dualitésanalytiques.

6.3.1Dualitélinéairetopologique.

Endimensioninfinie,onn'aplusV=V

:Vestseulementunsous-espace deV

6.3.2Distributions.

Alorstoutefonction(mesurable

9 = fφdt.

Sifestlisse,ona

df dt ,φ>=-Dparlaformule dD dt ,φ>=-6.3.DUALITÉSANALYTIQUES91 fdéfiniepar f(ω)= f(t)e -iωt dt.

Plusfestconcentrée,plus

festdiffuse. distributions"tempérées» 11 tionpariω. dualité. caniquehamiltonienne. 12 ,etc...). soitV sondual.

SatransforméedeLegendref

:V →Restlafonctionconvexedéfiniepar f (v )=sup-f(v), 11 mentdécroissantesàl'infini. 12

92CHAPITRE6.DUALITÉ

oùv désigneunélémentquelconquedeV .Ona f =f. Minkowski,...). vitessesq ,etpourV mq ?2 2 est p 2 2m lagrangienL(q,q ,t)àl'hamiltonien

H(p,q,t)=pq

-L(q,q ,t) (avecp= ∂L ∂q ).L'équationde

Lagrange

d dt ∂L ∂q ∂L ∂q p ∂H ∂q ,q ∂H ∂p

6.4.1DualitédePoincaré.

LesnombresdeBettib

i b 0 =b n =1,etlesautresb i

Poincaré(1893)estque

b i =b n-i

L'argument

13 dePoncelet-Gergonneentrepolyèdres. H i (M),dontladimensionestb i H i (M)=(H n-i (M)) 13

6.4.2DualitédedeRham-Hodge.

f j 1 ,...,j i

·dx

j 1 ?...?dx j i ,j 1 <...=<ω,∂%> dedeRham-HodgeH i nuls(formesditesharmoniques). H i (M)=(H i (M)) teur?deHodge. variétés.

6.4.3DualitédeMaxwell.

l'espace-temps(vide)R 4 s'écrivent ?,B= ∂E ∂t ,?,E=- ∂B ∂t ?.B=0,?.E=0. dualitéenphysiqueclassique.

94CHAPITRE6.DUALITÉ

sesquaternions)enestdérivé. posantes 14 4 ,ds 2 dx 2 1 +dx 2 2 +dx 2 3 -c 2 dt 2 d

ω=0,

jauge(Yang-Mills)s'écrit ∂#=0, ou,cequirevientaumême, d?ω=0 l'électricité». faïence,crocsapparents»<>). 14 lescomposantesdeEsontcellesdeωenlesdx i ?dt,cellesdeBsontcellesdeωenlesdx i ?dx jquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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