CHAPITRE 3 DUALIT´E PROJECTIVE ET CONS´EQUENCES
5 oct. 2016 Définitions. Rappels 15.1 (sur la dualité). — Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie. (1) Si F est un sev de V ? son orthogonal ...
Transformations canoniques dualité projective
http://www.numdam.org/article/AST_1986__140-141__3_0.pdf
Dualité projective théorèmes de Menelaüs et de Ceva
Ces théor`emes sont énoncés dans le cadre affine et sont assez souvent dé- montrés en utilisant un calcul barycentrique (voir Audin pages 38 et 273
Dualité projective théorèmes de Menelaüs et de Ceva
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Introduction `a la géométrie projective et `a la dualité
18 janv. 2012 Girard Desargues mathématicien et architecte lyonnais
Géométrie projective.
PRINCIPE DE DUALITÉ. Tout théorème de géométrie projective dans un espace projectif de dimension n si son énoncé ne fait intervenir que les positions relatives
Géométrie affine et projective
9 févr. 2010 4.7.1 Dualité dans le plan projectif. Exemple : Un faisceau de droites dans le plan c'est l'ensemble des droites passant par un point.
Chapitre 6 Dualité.
L'espace projectif dual P? n'est autre que l'espace P(V ?) attaché à l'espace vectoriel dual. 6 Aperçu historique sur l'origine et le développement des
Vision par ordinateur: Géométrie Projective
Dualité projective 2D : point-ligne. Exemple : L'ensemble des points p sur la ligne l sont donnés par. lTp = 0. et. L'ensemble des lignes passant par le
la dualite comme notion “fugs” en sciences mathematiques [ the
1 janv. 2016 It appears in fact
[PDF] Introduction `a la géométrie projective et `a la dualité
18 jan 2012 · La droite projective est l'ensemble des droites du plan passant par l'origine O (par un point quelconque choisi comme étant l'origine) P 1 = {
[PDF] CHAPITRE 3 DUALIT´E PROJECTIVE ET CONS´EQUENCES
5 oct 2016 · Desargues et leurs duaux ont été traités en cours comme illustration de la dualité projective et sont au programme de l'examen
[PDF] CHAPITRE 5 DUALIT´E PROJECTIVE - IMJ-PRG
DUALIT´E PROJECTIVE Dans tout ce chapitre k désigne un corps et V un k-ev de dimension finie 20 Définitions Rappels 20 1 (sur la dualité)
[PDF] Dualité projective théor`emes de Menelaüs et de Ceva
On se propose ici de montrer effectivement comment ces théor`emes peuvent illustrer la dualité en géométrie projective Il faut d'abord placer ces théor`emes
[PDF] Transformations canoniques dualité projective théorie - Numdam
1 mar 2023 · Transformations canoniques dualité projective théorie de Lefschetz transformations de Fourier et sommes trigonométriques
[PDF] UNE INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE PROJECTIVE
Notons enfin que la dualité est également présente en dimension > 2 : on s'intéresse toujours à la relation d'incidence entre les sous-espaces projectifs et on
[PDF] Géométrie projective
PRINCIPE DE DUALITÉ Tout théorème de géométrie projective dans un espace projectif de dimension n si son énoncé ne fait intervenir que les positions relatives
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9 fév 2010 · 4 2 2 Complétion projective d'un espace affine 15 4 7 1 Dualité dans le plan projectif
[PDF] Géométrie projective
Droites projectives : birapport homographies 7 Dualité dans les espaces projectifs 8 Complétion projective d'un espace affine 9 Pappus et Desargues
[PDF] Chapitre 6 Dualité
La Géométrie projective (au sens de Poncelet et Gergonne) s'étiola vers le mi- lieu du XIXe siècle en partie parce qu'elle ne faisait plus guère qu'accumuler
Francois Labourie
9 fevrier 2010
Table des matieres
1 Geometrie ane
31.1 Points et vecteurs
31.1.1 Espace ane
31.1.2 Repere d'un espace ane
41.1.3 Barycentre
41.1.4 Coordonnees barycentriques
51.2 Sous-espaces anes
51.3 Applications anes
61.3.1 Homotheties et theoreme de Thales
61.4 Complement : le complete vectoriel d'un espace ane
72 Perspective8
2.0.1 Vues
82.0.2 Calcul de la vue en perspective
92.0.3 Applications projectives
102.0.4 Vues en perspective d'objets
103 La droite projective
113.1 La droite projective et le birapport
113.1.1 Homographies
113.1.2 Congurations de trois droites
123.1.3 Quadruplets de droites et birapport
123.1.4 Classication des homographies reelles
134 Geometrie projective
144.1 Espace projectif
144.2 Lien entre geometrie ane et projective
144.2.1 Carte ane
144.2.2 Completion projective d'un espace ane
154.3 Sous-espaces projectifs
154.3.1 Intersection de sous espaces projectifs
154.3.2 Sous-espaces projectifs et cartes anes
154.4 Coordonnees homogenes
164.5 Reperes projectifs
164.6 Applications projectives
184.6.1 Le groupe des homographies
194.6.2 Sous-groupes du groupe projectif : les transformations anes
194.7 Dualite
194.7.1 Dualite dans le plan projectif
20 1TABLE DES MATI
ERES25 Les grands theoremes
225.1 Le theoreme de Desargues
225.2 Le theoreme de Pappus
235.3 Le theoreme fondamental de la geometrie projective
245.3.1 Geometrie d'incidence
246 Coniques et quadriques
256.1 Coniques et quadriques
256.2 Plan tangent
266.3 Polarite
276.4 Groupes et coniques
276.5 Parametrisation unicursale des coniques
286.6 L'hexagramme mystique de Pascal
306.7 Le groupe projectif orthogonal
316.8 Division harmonique
337 Topologie de l'espace projectif
357.1 Rappels de topologie
357.2 Un premier point de vue sur la topologie de l'espace projectif
357.3 Cartes anes, droites projectives, application
367.4 Deux lemmes utiles de topologie generale
36Chapitre 1
Geometrie ane
1.1 Points et vecteurs
1.1.1 Espace ane
Denition 1.1.1[Espace affine]Unespace ane modele sur un espace vectorielEdeni sur un corpsK{ oud'espace tangentE{ est un ensembleEdont les elements sont appelespointset de deux applications denies : 1. la somme d'un point et d'un vecteurqui est une application deE EdansE,(p;u)!p+u, 2. la dierence de deux pointsqui est une application deE EdansE(p;q)!qp telles que pour tous pointspetqdeEetuetvdeE, on ait les relations d'associativite suivantes p+ (qp) =q;(1.1) (p+u) +v=p+ (u+v);(1.2) (pq) +u= (p+u)q:(1.3) Remarques: On verie alors qu'on a les relations suivantes pp= 0(1.4) p+ 0 =p(1.5) qp=mpsi et sulement sip=m;(1.6) p+u=p+vsi et seulement siu=v:(1.7) En eet, (pp)+(qp) = (p+(qp))p=qp. Doncpp= 0. Ainsip+0 =p+(pp) =p. Si maintenantp+u=p+v, alors (p+u)p= (p+v)painso (pp)+u= (pp)+vetu=v.Enn, si (qp) = (mp) alorsq=p+ (qp) =p+ (mp) =m.
On utilise aussi la notation~pq=qp. Avec ces notations, on a alors larelation de Chasles: Proposition 1.1.2Pour tous pointsp,qetmd'un espace aneE ~pq=~pm+~mq:(1.8)Exemple:
1. Un espace v ectorielEest en particulier un espace ane modele sur lui-m^eme. 2. Ainsi, Rnadmet une structure d'espace ane canonique. les somme et diference corres- pondent alors aux calculs en coordonnees. 3CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE4
3. P ard enitionla dimension d'un espace aneest celle de l'espace vectoriel sous-jacent. Exercice: Soit (p1;p2;:::;pn+1) des points d'un espace ane modele surEtels quefpip1gi6=1 forme une base deE. Montrez que pour touti0,fpipi0gi6=i0est une base deE.1.1.2 Repere d'un espace ane
Denition 1.1.3Unrepered'un espace ane de dimensionnmodele surEest la donnee d'un upletR= (M;e1;:::;en)ouMest un point deE{appeleorigine{ et(e1;:::;en)une base deE.Dans ce cas, l'applicationRdeKndansEdenie par
(1;n)!M+i=nX i=1 iei; est un bijection. SiR(1;n) =palors(1;n)sont lescoordonneesdepdans le repereR. Exemple: DansRnrapporte au repere (o; ~e1;:::; ~en), un pointpest represente par la colonne de ses coordonnees 0 B @x 1... x n1 C A qui sont les composantes du vecteur~op. Sipetqsont des points,~vun vecteur de composantesE, aun reel, on noteqp=~pq,r=p+~vle point tel que~pr=~v.1.1.3 Barycentre
Proposition 1.1.4Soitp1;:::pndes points d'un espace aneEdeni surKet1;:::ndes elements deKtels quePi=n i=1i= 1. Soitm0un point deEetqtel que q=m0+i=nX i=1 i~m0pi:Alors, pour toutmdeE
q=m+i=nX i=1 i~mpi:Denition 1.1.5Des scalaires1;:::ktels quePi=k
i=1i= 1s'appelle despoids. Denition 1.1.6Avec les notations de la proposition, l'unique pointqdeEtel que pour toutm deE, on a ~mq=i=nX i=1 i~mpi; est appelebarycentredes pointspiaectes des poidsi. On le note q=i=nX i=1 ipi:Exemples et remarques:
1. Les co ordonneesd ubarycen treson tles mo yennesdes c oordonneesp ondereesdes p oids.CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE5
2. Si la caract eristiquede Kest dierente de 2, lemilieudepetqest le barycentre aecte des coecients 12 . Il est aussi notep+q2 3.P ourtous p ointsp,q,metndeE, on a
~pq=~mn si et seulement si p+n2 =q+m2 Autrement dit : les diagonales d'un parralelogramme se coupent en leur mileu.1.1.4 Coordonnees barycentriques
Proposition 1.1.7Soit(p1;p2;:::;pn)des points d'un espace aneEtels quefpip1gi6=1forme une base de l'espace tangent. Alors pour toutxdeE, il existe des scalaires(1;:::;n)tels queP ii= 1et x=i=nX i=1 ipi: Denition 1.1.8Soit(p1;p2;:::;pn)des points d'un espace aneEtels quefpip1gi6=1forme une base de l'espace tangent. L'application qui a un point deEassocie les scalaires(1;:::;n) tels queP ii= 1et x=i=nX i=1 ipi; s'appellecoordonnees barycentriques. En conclusion, la dierence de deux points est un vecteur, le barycentre de deux points est un point, on peut ajouter un vecteur et un point. Plus generalement une combinaisonP imipiest un point (barycentre des pointspiaectes des massesmi) siP imi= 1. Ces notations "additives" sont compatibles avec les calculs en coordonnees.1.2 Sous-espaces anes
Denition 1.2.1SoitEun espace ane d'espace tangentE, unsous-espace anedeEest un sous-ensembleFtel que il existe unptel que F p:=fqpjp2 Fg; est un sous-espace vectoriel deE. LadimensiondeFest celle deF.Remarques:
Le sous- espaceane Fde la denition est alors un espace ane d'espace tangentF. Deux sous-es pacesanes son tparralleless'ils ont le m^eme espace tangent. Si Fest un sous-espace ane alors pour tout pointpdeFl'ensemble F p:=fqpjp2 Fg; est l'espace tangent aF. L'ensem bleFest un sous-espace ane si et seulement si tout barycentre de points deFest un point deF.CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE6
1.3 Applications anes
Denition 1.3.1SoitEetBdes espaces anes modeles surEetF. Une applicationL:E ! F estanes'il existe une application lineaireL:E!Ftelle que pour tous pointsp,qdeE,L(q) =L(p) +L(~pq):
L'endomorphismeLs'appelle lapartie lineairedeL, ou l'application lineaire tangenteaL. Proposition 1.3.2La composee d'applications anes est ane. Proposition 1.3.3SiLest ane, alors pour tous poids(1;:::;n)on a L(X i ipi) =X i if(pi): Reciproquement si pour toutdeK, l'applicationfdeEdasFverientL(p+ (1)q) =L(p) + (1)L(q);
alorsfest ane.Exemples et remarques:
1.Applications lin eaires.
2. T ranslations(ce son tles applications anes don tla partie lin eaireest l'iden tite). 3. Homoth eties(on remarquera que la construction des homoth etiesutilise la comm utativitedu corpsK.). 4. Sym etriesorthogonales par rapp ort ades droit esanes du plan (exercice). 5.Rotations autour de p ointsdu plan (exercice).
1.3.1 Homotheties et theoreme de Thales
SoitDune droite ane et trois pointsO,AetBdeD, lerapportOAOB est le scalairetel queOA=(OB):
Theoreme 1[Thales (Sixieme siecle avant notreere)]SoitDetD0deux droites distinctes d'un espace ane concourrantes enO. SoitAetB, respectivementA0etB0, deux points deD, respectivement deD0. AlorsOAOB =OA0OB0si et seulement si les droitesAA0etBB0sont parralleles.
D emonstration: Il sut d'utiliser l'homothetie de centreOet de rapportOAOB Exercice: Montrez la version degeneree de Thales suivante. Soit SoitDetD0deux droites distinctes parralleles. SoitA,B C, respectivementA0,B0etC0, trois points deD, respectivement deD0. On suppose queAB0est parrallele aA0Bet queB0Cest parrallele aBC0. Montrez que AC0est parrallele aA0C.
Apres choix de reperes, toute application aneE ! Fpossede une unique ecriture matricielle, compatible avec la composition : Proposition 1.3.4Soit(o; ~e1;:::; ~en)un repere deEet(p;f1;:::;fn)un repere deF. Lamatrice deL:E ! Fdans ces reperes est M L=ML~pf(o)
0 1 ouMLdesigne la matrice deLdans la base(~e1;:::; ~en).CHAPITRE 1. G
EOMETRIE AFFINE7
Remarques:
1. Une application ane est bijectiv esi et seulemen tsi sa partie lin eairel'est, son in verseest alors ane 2.Le group eane est un pro duitsemi- direct.
3. Le lieu des p ointsxes d'une application ane est un sous-espace ane, cas o uil est non vide, dimension, lien avec la multiplicite de 1 comme valeur propre de la partie lineaire. Proposition 1.3.5Soit(e;e1;:::;en)et(o0;e01;:::;e0n)deux reperes anes deRn. Soitfune transformation ane de matricesMetM0dans ces reperes. NotonsEla colonne des coordonnees du pointo0dans le repere(o;e1;:::;en). Posons P a=P E 0 1 ouPest la matrice de passage de la base(e1;:::;en)dans la base(e01;:::;e0n), i.e. les colonnes de Psont les composantes des vecteurse0jdans la base(e1;:::;en). Alors M0=P1aMPa:
1.4 Complement : le complete vectoriel d'un espace ane
Tout espace ane est l'hyperplan ane d'un espace vectoriel unique. Proposition 1.4.1SoitEun espace ane modele surE, il existe un espace vectoriel^Eet une injectioniane deEdans^Etels que pour toute applicatiopn aneLdeEdans un espace vectoriel V, il existe une application lineaire unique^Lde^EdansV, telle queL i=L:
D emonstration: Soitpun point d'un espace aneEmodele surE. On pose^E=EK. L'espace aneEse plonge de maniere ane dans^Eparx!(xp;1). On prend ensuite^L(u;) =L(u) +:L(p).
Exemples et remarques:
1.L'espace
^Eest dit solution d'unprobleme universel. On montre en utilisant la propsition que (^E;i) est unique a isomorphisme lineaire pres. 2. L'espace v ectorieltangen tEs'injecte dans^Een prenant l'application lineaire tangent ai. 3. dim( ^E) = dim(E) + 1. Denition 1.4.2L'espace vectoriel^Econstruit dans la proposition precedente est lecomplete vectorieldeE. Corollaire 1.4.3Le complete vectoriel d'un espace ane est unique a isomorphisme pres. De plus, toute application ane deEdansFs'etend en une application lineaire de^Edans^Fappele extension lineairedeL. La composee des extensions lineaires est l'extension lineaire de la composee. Proposition 1.4.4Tout repere(p;e1;:::;en)deEdonne une base de son complete vectoriel. Deplus, la matrice de l'extension lineaire d'une application ane est la matrice de l'application ane.Fin du coursn01
Chapitre 2
Perspective
2.0.1 Vues
Unevued'une scene 3D est determinee par les donnees suivantes. La p ositionde la cam era: un p ointcde coordonnees0 @x 0 y 0 z 01 A Une direction de vis ee: un v ecteurun itaire~vde composantes0 @a b c1 A Un ecran, i.e. un plan perpendiculaire a la direction de visee : il est determine par sa distance aC, un reel positifd.Un rep ereorthonorm e( o0;~e01;~e02) du plan .
Unevuede la scene est une applicationW:R3!R2, qui aux coordonnees d'un point dans lerepere du monde(O; ~e1; ~e2; ~e3) associe les coordonnees de sa projection sur l'ecran , dans le repere de l'image(o0;~e01;~e02). Denition 2.0.5Lavue en perspectivedepuiscsur l'ecranconsiste a projeter un pointpsur p0, point d'intersection de la droitecpavec.C
x z y O v O' x' y' !Remarques: La projection n'est pas denie sipest dans le plan passant parCet parallele a . C'est normal : on n'arrive pas a voir dans les directions situees a 900de sa direction de vision.
8CHAPITRE 2. PERSPECTIVE9
Denition 2.0.6Prise de vue a distance innie.SoitDune droite, appeleeaxe de visee, etquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] nagelmackers
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