[PDF] Vision par ordinateur: Géométrie Projective

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Visionparordinateur:

GeometrieProjective

SebastienRoy

Jean-PhilippeTardif

UniversitedeMontreal

Hiver2007

Auprogramme

1Geometrieprojective:Introduction

2Geometrieprojective2DElements

Transformations

3Geometrieprojective3DElements

Transformations

Sommaire

1Geometrieprojective:Introduction

2Geometrieprojective2DElements

Transformations

3Geometrieprojective3DElements

Transformations

Denition

Geometrieprojective

Elementsdebase:

Point Ligne Plan

Conique

QuadriqueExempled'invariance:

unelignerestedroite

Sommaire

1Geometrieprojective:Introduction

2Geometrieprojective2DElements

Transformations

3Geometrieprojective3DElements

Transformations

Sommaire

1Geometrieprojective:Introduction

2Geometrieprojective2DElements

Transformations

3Geometrieprojective3DElements

Transformations

Notation

Vecteurs:

Point2D:p;q

Point3D:P;Q

Ligne2D:l

Plan3D:

Matrices

Transformation,Projection:M;A

Conique,Quadrique,Plucker:C;Q;L

Symboles

:lem^emeelement

A>=(A1)T=(AT)1

Mestl'adjointedeM

Point(representationhomogene)

projectif: P=0 @x y z1

A;P2R3P0=0

B B @x y z 11 C C

A;P02P3

Pardenitiononal'equivalence

P

0hP0(h6=0)0

B B @x y z 11 C C A0 B B @hx hy hz h1 C C A

Passaged'unespaceal'autre

euclidien!projectif:0 @x y z1 A!0 B B @hx hy hz h1 C C

A(h6=0)

projectif!euclidien:0 B B @x y z h1 C C A!0 @x=h y=h z=h1 A

Dimensionsd'unespaceprojectif

Espaceprojectifadeuxdimensions:

x y !0 @x y 11 A0 @x y h1 A!x=h y=h

Espaceprojectifatroisdimensions:

0 @x y z1 A!0 B B @x y z 11 C C A0 B B @x y z h1 C C A!0 @x=h y=h z=h1 A

Additionprojective

Additiondedeuxpointsprojectifs:

0 @x 1 y 1 h 11 A+0 @x 2 y 2 h 21
A=0 @h

2x1+h1x2

h

2y1+h1y2

h 1h21 A 0 @x 1 y 1 h1 A+0 @x 2 y 2 h1 A=0 @x 1+x2 y 1+y2 h1 A

Equivalenteuclidien

x1=h1 y 1=h1 +x2=h2 y 2=h2 h2x1+h1x2 h1h2h2y1+h1y2 h1h2!

ComparerdespointsdansPn

TransformerdansRn

Mais,quoifairequandh=0?

Normaliser

Seulcasspecial:00:::T

Produitvectoriel

pq=0

Fonctionnetoujoursmaisplusco^uteux

VisualisationdeP2

VouspouvezvisualiserP2avecR3

Seuleladirectionestimportante

LeplanZ=0estlaplaninni

R2estleplanZ=1pl

x O x 1x x 32
ideal point

Encoremieux

P2estlasurfaced'unesphere

Ensupposantqu'ongardelespointsnormalises

Ligne ax+by+c=a(hx)+b(hy)+ch=0 ou l=abcTestuneligne p=hxhyhTestunpointsurlaligne

Onpeutdoncreecriresouslaforme:

l

Tp=pTl=0

petl,sontdes3-vecteurstouslesdeux.

Dualite

Dualite(non-formelle)

vrai.

Dualiteengeometrieprojective2D

r^oledespointsetdeslignes.

Dualiteprojective2D:point-ligne

Exemple:

l Tp=0: et p Tl=0: obtenirledeuxiemeetilssonttousdeuxvrais.

2points!ligne,2lignes!point

l

Tp=l0Tp=0

l(ll0)=l0(ll0)

Onobtientdirectementque:

pll0l0l lpp0p0p

Pointal'inni

Pointideal

Unpointdelaformexy0T.

PSfragreplacements

Op1p2O=0

@0 0 11

A;p1=0

@1 0 11

A;p2=0

@1 0 0:51 A!0 @1 0 01 A

Pointal'inni

Exemple:deuxlignesparalleles

l 1=0 @1 0 11

A;l2=0

@1 0 21

A;l1l2=0

@0 1 01 A

Toutesleslignespassentparl'inni

Ligneal'inni

l1 l

1/00cT

P2=R2[l1

Exemple,lignejoignantdeuxpointsal'1:

p 1=0 @1 0 01

A;p2=0

@2 2 01

A;p1p2=0

@0 0 21
A

ConiqueouCourbequadratique

lesystemedecoordonneeduplan formesdecourbe

Coniquedepoints

implicite: ax2+dx+bxy+cy2+ey+f=0 pxy1Tunpointsurlaconique fa;b;c;d;e;fgsontlesparametres

Onpeutreecrireletoutsousforme:

C/2 4ab 2d2b 2ce2d 2e2f3
facteurd'echelle

TrouverlasortedecourbeapartirdeC?

ConiqueDuale:coniquedelignes

Encoreunefois,gr^acealadualite:

UnelignelesttangenteauneconiqueCsi

l TCl=0 ouCestl'adjointedeC

Pourunematricesymetriqueinversible:C=C1

Exemple:

Ellipse

EllipseDuale

ConiqueDuale:coniquedelignes

Pourquoileresultat(lTCl=0)estvalide?

Autreresultat

UneligneltangenteCaupointpestdonneepar

l=Cp etdonc p

TCp=(C1l)TC(C1l)

=lTC1l =0 l'auto-calibrationdecameras.

Coniquedegeneree

(non-inversible)

Resultat:

Unpoint

Uneligne

Deuxlignesquis'intersectent

Essayez-ledansMathematica!

Coniquedegeneree

l 1=0 @1 2 11

A;l2=0

@1 1 11

A;C=l1l2T+l2l1T=2

4230
341
0123
5

Cestdegeneree:Rang(C)=2

Verions:

xy1C0 @x y 11 A=0

2(1+x2y)(1+xy)=0

x=1+y;x=1+2y

Onretrouvenoslignes.

Pourquoi?

-4-3-2-10 -4 -3 -2 -1 0

Coniquescomplexes

Coniqueconstituedepointscomplexes

Exemples:

2 4100
010 0013

5!x2+y2+z2=0

Degeneree:2

4100
010 0003

5!x2+y2=0

Conique:petitsexercices

danslesimages. lecentre lesaxes lespointsfocaux rotation/translation changementd'echelle

Sommaire

1Geometrieprojective:Introduction

2Geometrieprojective2DElements

Transformations

3Geometrieprojective3DElements

Transformations

Transformation2D:ane

p=a11a12 a 21a22
q+tx t y ouq;p2R2

Onpeutlareecrirepourdespointsprojectifs:

p=2 4a

11a12tx

a

21a22ty

0013

5qouq;p2P2

!6degresdeliberte

Autrestransformations

Similarite:

p=2 4sr

11sr12tx

sr

21sr22ty

0013

5q=sRt

0 T1 q=ouq;p2P2 !4degresdeliberte

Euclidienne

p=2 4r

11r12tx

r

21r22ty

0013 5q=Rt 0 T1 qouq;p2P2quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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