Valeur moyenne dune fonction périodique.
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Moyenne d'une grandeur définie par une courbe
Si la grandeur dont on cherche la valeur moyenne est définie par une courbe, il suffit de calculer l'aire entre la courbe et le 0 (l'axe des abscisses. puis de diviser par le temps pendant lequel on a acquis la grandeur.Qu'est-ce que la valeur moyenne d'un signal ?
Définition. La valeur moyenne est la somme algébrique des aires A et B divisée par la période T. Un signal alternatif, sans composante continue, a une valeur moyenne est nulle.Quelle est la valeur moyenne d'une fonction ?
Dans le cas où est positive sur [a ;b], la valeur moyenne de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base ayant la même aire que l'aire sous la courbe représentative de entre a et b.- Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b]. [ a , b ] . la valeur moyenne de f sur [a,b] est le réel ?=1b?a?baf(t)dt.
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2 PROPRIÉTÉS.
Valeur moyenne d"une fonction périodique.
Dans tout ce document, la (ou les) fonction(s) considérée(s) est (sont) périodique(s) par rapport au tempst.
Les valeurs moyennes dont il est question sont donc des valeurs moyennes dans le temps.1 Définition et notation.
Sif(t)est périodique de périodeT, sa valeur moyenne, notée< f >(parfois< f(t)>), est définie par :< f >=1T T0f(t)dt(1)
Remarque :dans le cas oùfest une fonction à la fois du temps et de l"espace (f(x,t)ouf(?r,t)), la valeur moyenne< f >n"est qu"une moyenne par rapport au tempst, et dépend donc dex(ou de ?r); elle ne dépend bien sûr plus det: < f >(?r) =1T T0f(?r,t)dt
2 Propriétés.
Dans ce qui suit,f(t)etg(t)sont deux fonctions périodiques de même périodeTetαest une constante réelle quelconque. - Il est facile de démontrer que ?τ+T τf(t)dtne dépend pas deτ, donc on peut prendre< f >= 1Tτ+T
τf(t)dt, en choisissant n"importe quelτpour la calculer (τ= 0n"est pas toujours la valeur la plus "pratique" pour mener le calcul)- De par la linéarité de l"intégration, il est facile de démontrer les propriétés suivantes :< f+g >=< f >+< g >(2)
< αf >=α < f >(3)- Par contre, bien noter que, en général,< fg >?=< f >< g >/home/paul/Documents/travail/cours/maths/valeur_moyenne/valeur_moyenne.texpage 1 sur 4
6 EXERCICES.
5 Cas particulier des fonctions harmoniques : utilisation des repré-
sentations complexes.Sif(t)etg(t)sont deux fonctions harmoniques de pulsationω, on utilise très fréquemment leurs
amplitudes complexesfetgtelles quef(t) =?? fe jωt? etg(t) =?? ge jωt? Le calcul de la valeur moyenne du produitf(t)g(t)peut se faire avec les fonctions réelles, mais c"est parfois un peu délicat mathématiquement.Il est possible d"utiliser les amplitudes complexes de la manière suivante pour calculer cette valeur
moyenne, et ceci simplifie en général considérablement les calculs :< f(t)g(t)>=12 ?(fg? )(4) où l"exposant "étoile" désigne le complexe conjugué. La démonstration fait l"objet d"un autre document; elle n"est pas à connaître.Dans le cas où l"on a à faire à des fonctions du temps et de l"espace, la relation est la même et
s"écrira< f(?r,t)g(?r,t)>=12 ?(f(?r)g? (?r))(5) (cette valeur moyenne dépend bien sûr dans ce cas de?r). Remarque :Deux nombres complexes conjugués ayant la même valeur réelle, on peut tout aussi bien choisir de conjuguer la fonctionfplutôt que la fonctiong, ce qui donne : < f(t)g(t)>=12 ?(f? g)(6) < f(?r,t)g(?r,t)>=12 ?(f? (?r)g(?r))(7)6 Exercices.
6.1 Déterminer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes :
a)f(t) = cos(ωt) + sin(5ωt) b)f(t) = 3cos2?ωt2 + 1?-6sin(ωt) c)fest une fonction impaire et périodique d)f(t) = cos3(ωt) e)f(t) = 3sin4?ωt-π36.2 Valeur moyenne de la dérivée d"une fonction périodique.
Montrer que, quelle que soit la fonctionf(t), pourvu qu"elle soit périodique de périodeT, la valeur moyenne de sa dérivée est nulle :?dfdt? = 0. /home/paul/Documents/travail/cours/maths/valeur_moyenne/valeur_moyenne.texpage 3 sur 46.3 Application aux valeurs efficaces d"un signal. 6 EXERCICES.
6.3 Application aux valeurs efficaces d"un signal.
On rappelle que la valeur efficace d"un signal périodiqueu(t)(par exemple une tension, ou une intensité, mais pas seulement) est la racine carrée de la valeur moyenne du carré deu(t):U eff=?< u2(t)>(6)
C"est la valeur appelée "RMS" en anglais, et pour de nombreux instrument de mesure (RootMean Square).
a) Montrer que pour une tension sinusoïdaleu(t) =U0cos(ωt+?), la valeur efficace est bien U eff=U0⎷2b) Établir l"expression de la valeur efficace d"une tension en créneau ("triangle") symétrique,
oscillant entre-U0et+U0.c) Même question pour une tension en créneau symétrique, qui prend alternativement les valeurs
-U0(det= 0àt=T2 ) et+U0(det=T2àt=T).
d) Établir l"expression de la puissancemoyenneconsommée par une résistanceR, aux bornes de laquelle il y a la tensionu(t) =U0cos(ωt+?); l"exprimer en fonction deU0etR, en fonction deUeffetR. e) Montrer qu"un condensateur consomme, en régime sinusoïdal, une puissance moyenne nulle. Même question pour une bobine "parfaite" (c"est-à-dire dont la résistance est nulle).f) On considère un dipôle linéaire d"impédance complexeZ=|Z|ej?. On applique à ses bornes
une tensionu(t) =U0cos(ωt). Il est alors parcouru par une intensitéi(t) =I0cos(ωt+α).Déterminer l"expression du déphasageαentre l"intensité et la tension. Exprimer la puissance
moyenneconsomméepar ce dipôle, en fonction en particulier des valeurs efficacesUeffetIeff de la tension et de l"intensité. /home/paul/Documents/travail/cours/maths/valeur_moyenne/valeur_moyenne.texpage 4 sur 4quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] valeur moyenne statistique
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