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Cours de Physique Statistique
08 Sept 2015 B. Jancovici Thermodynamique et Physique Statistique
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VALEUR MOYENNE - VALEUR EFFICACE
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Moyenne d'une grandeur définie par une courbe
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Définition. La valeur moyenne est la somme algébrique des aires A et B divisée par la période T. Un signal alternatif, sans composante continue, a une valeur moyenne est nulle.Quelle est la valeur moyenne d'une fonction ?
Dans le cas où est positive sur [a ;b], la valeur moyenne de la fonction est la hauteur du rectangle ABCD de base ayant la même aire que l'aire sous la courbe représentative de entre a et b.- Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b]. [ a , b ] . la valeur moyenne de f sur [a,b] est le réel ?=1b?a?baf(t)dt.
PHYSIQUE STATISTIQUE I
parAndré-Marie TREMBLAY
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DESHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
5 décembre 2020
1 2TABLE DES MATIÈRES
Introduction générale11
1 La place de la physique statistique dans le baccalauréat de physique et dans la
physique 112 Bases de la physique
123 La physique statistique par rapport à la physique en général
133.1 Friction, chaleur.. pourquoi la physique statistique
133.2 La base de la physique statistique, sa relation à la mécanique quantique et
aux statistiques 143.3 Laphysiquestatistiqueasaconstantefondamentale,sesnotionsfondamentales.
144 Une remarque "hors d"ordre» sur les unités
∗.. . . . . . . . . . . . . . . 165 Les "applications» de la physique statistique
176 Un bref aperçu du cours de physique statistique
197 Une brève histoire de la physique statistique et de la thermodynamique
191 Introduction aux méthodes statistiques
231.1 Un peu d"histoire : statistiques en mathématiques et en sciences
231.2 Notions de base en théorie des probabilités
241.2.1 Les probabilités à priori sont définies pour des ensembles statistiques
241.2.2 Probabilité d"événements plus complexes : ET et OU (lois de composition)
261.2.3 Valeur moyenne et écart type caractérisent grossièrement une distribution
de probabilité 271.3 Analyse combinatoire
301.3.1 Permutations, arrangements et combinaisons pour compter les façons dif-
férentes d"obtenir un résultat 301.3.2 Binôme de Newton, un théorème pour établir les propriétés de la distribu-
tion binomiale 331.4 Exemples de distributions de probabilité
341.4.1 La marche aléatoire : distribution de probabilité binomiale
341.4.2 Distributiondeprobabilitégaussiennecommecasparticulierdelabinomiale
381.4.3 Limite du continu et distribution de probabilité gaussienne
441.4.4 Fonction génératrice des moments pour la gaussienne
461.5 Changements de variables pour les distributions de probabilité continues
501.6 Discussion générale de la marche aléatoire et illustration de loi des grands nombres
551.6.1 Distribution de probabilité pour plusieurs variables
571.6.2 Discussion générale des valeurs moyennes pour la marche aléatoire
581.6.3 Théorème central limite (preuve élémentaire)
611.7 Formule de Stirling
∗.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.8 Fonction génératrice des moments ou des cumulants
∗.. . . . . . . . . . . 64 3Table des matières
1.9 Théorème de la limite centrale
∗.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.10 Chi carré et estimé de l"écart type
∗.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.11 Résultats importants du chapitre
701.12 Problèmes
742 Description statistique des systèmes physiques
852.1 Description statistique et postulat de base
862.1.1 L"étatmicroscopiqued"un système est décrit par des nombres quantiques et
dans le cas classique par un point dans l"espace de phases 862.1.2 L"étatmacroscopiqueest spécifié par des contraintes externes et des quanti-
tés conservées 882.1.3 Àl"équilibrethermodynamiquelespropriétésd"unsystèmenedépendentni
du temps ni de la façon dont l"équilibre a été atteint 882.1.4 Dans l"ensemble statistique microcanonique, l"énergie totale est spécifiée
902.1.5 Postulat de base pour l"ensemble microcanonique, tous les états microsco-
piques sont équiprobables 912.1.6 Le postulat de base permet de calculer les probabilités pour les variables
macroscopiques 922.1.7 Le nombre d"états microscopiques accessibles pour les systèmes macrosco-
piques augmente comme une puissance énorme de l"énergie 942.1.8 Ladépendanceenpuissancedunombrededegrésdelibertéfdesquantités
physiques est importante et peut être trouvée facilement 982.2 Un peu d"histoire sur l"irréversibilité et l"ergodicité
992.3 Les systèmes macroscopiques peuvent interagir l"un avec l"autre
1002.3.1 Lesinteractionsthermiquessefontdefaçonaléatoireetàl"échellemicroscopique
1012.3.2 Les interactions mécaniques impliquent le changement d"une coordonnée
macroscopique 1022.3.3 Onpeutpasserd"unétatmacroscopiqueàl"autredeplusieursfaçonspardes
interactions mécaniques et thermiques combinées 1052.3.4 Dansunprocessusquasi-statiqueonpeutsupposerl"équilibrethermodyna-
mique à chaque étape 1062.3.5 Différentielles exactes et inexactes
∗.. . . . . . . . . . . . . . . 1102.3.6 Une fonction d"état caractérise l"équilibre thermodynamique indépendam-
ment de la façon d"y arriver. L"entropie est une fonction d"état. 1112.4 Un peu d"histoire. Conversion de l"énergie interne en travail ou en chaleur. "Équi-
valence» entre travail et chaleur. 1142.5 Résultats importants du chapitre
1152.6 Problèmes
1173 Lois de la thermodynamique
1213.1 Irréversibilité et l"atteinte de l"équilibre
1213.1.1 Lorsqu"on relâche des contraintes il y a augmentation du nombre d"états
accessibles 1213.1.2 Lorsqu"une contrainte est relâchée, il y a augmentation du nombre d"états
accessibles et le processus est irréversible 1234
3.2 Interactions thermiques et équilibre thermique
1263.2.1 Entresystèmesàl"équilibreinteragissantthermiquement,larépartitiond"éner-
gie la plus probable égalise∂lnΩ(E)/∂E.. . . . . . . . . . . . . . 1273.2.2 Valeur la plus probable, valeur moyenne et valeur à l"équilibre sont iden-
tiques dans un système macroscopique. 1293.2.3 À l"équilibre, la probabilité maximale pour un système macroscopique est
celle où les températures absolues sont égales. 1303.2.4 L"entropie est donnée parS(E)≡kBlnΩ(E)et la probabilité d"un état ma-
croscopique se calcule à partir de l"exponentielle de entropie. 1313.2.5 L"entropie totale et l"entropie de l"état macroscopique le plus probable sont
essentiellement identiques 1343.2.6 Lors d"un contact thermique, l"énergie est conservée mais l"entropie aug-
mente si les températures sont différentes 1363.2.7 Zérotième loi de la thermodynamique, thermomètre et mesure de la tempé-
rature : premier aperçu 1363.2.8 Résumé des propriétés de la température absolue
1383.2.9 Un réservoir de chaleur est tellement grand par rapport au système d"intérêt
avec lequel il est en contact que lors d"un contact thermique,∆S′=Q′/T′.1423.2.10 Ladistributiondeprobabilitépourlesvariablesmacroscopiquesestd"autant
plus étroite, relativement à la moyenne, que le système est grand 1433.3 Interactions quelconques et équilibre général
1453.3.1 Lorsqu"on modifie un paramètre externexαà énergie interne constante,
le changement du nombre d"états microscopiques accessibles est relié à la force généralisée 1463.3.2 Àl"équilibrethermiqueetmécanique,latempératureetlapressions"égalisent
1503.3.3 Lorsque des systèmes macroscopiques peuvent échanger des particules, le
potentiel chimique s"égalise 1513.3.4 Dans un processus quasi-statique infinitésimal,dE=¯dQ-¯dWavec¯dQ=
T dS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.3.5 Résumé des propriétés générales de l"entropie
1533.4 Résultats fondamentaux : lois de la thermodynamique et relations statistiques.
1573.4.1 Les lois de la thermodynamique résument ce que nous avons vu jusqu"à
maintenant 1583.4.2 L"entropie se calcule à partir de la connaissance des états microscopiques,
mais elle peut aussi être mesurée, permettant ensuite de trouver les proba- bilités d"états macroscopiques 1593.5 Calcul statistique de quantités thermodynamiques
1603.5.1 On peut calculer l"entropie pour les gaz parfaits et en déduireE=3N2
kBTet p=NV kBT=nkBT.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.5.2 Un outil très utile : L"analyse dimensionnelle
1633.5.3 Dans le cas quantique sans interaction, on peut obtenir la probabilité d"oc-
cupation d"un état. Il s"agit de la distribution de Fermi-Dirac pour les fer- dans le cas classique. ∗.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5Table des matières
3.6 Un peu d"histoire
1673.6.1 Les fils de la révolution
1673.6.2 L"édifice thermodynamique
1683.6.3 Carnot ou Joule
1693.6.4 Clausius "y regarde de plus près»
1693.6.5 L"entropie
1693.6.6 Le genre de mouvement que nous appelons chaleur
1703.7 Résultats importants du chapitre
1713.8 Problèmes
1774 Paramètres thermodynamiques et machines thermiques
1834.1 Travail, chaleur et température
1844.1.1 On peut mesurer l"énergie interne par rapport à une référence en effectuant
du travail 1844.1.2 On peut déduire la chaleur absorbée par un système à l"aide de la connais-
sance de l"énergie interne initiale, finale et du travail fait dans le processus 1874.1.3 On peut établir une échelle de température absolue à partir de relations mi-
croscopiques ou macroscopiques 1894.1.4 La capacité calorifique ou la chaleur spécifique sont des propriétés macro-
scopiques mesurables qui caractérisent la chaleur absorbée par un système en contact thermique lorsque la température absolue est modifiée 1974.2 Entropie
1994.2.1 À partir de la capacité calorifique, on peut calculer le changement d"entro-
pie lors du passage d"un état macroscopique à l"autre. On introduit aussi la notion de transfert de chaleur réversible. 2004.2.2 Comme l"entropie tend vers une constante indépendante des paramètre ex-
ternes àT=0, on en déduit entre autres que la chaleur spécifique s"annule àT=0. Comme l"entropie est maximale à l"équilibre, la chaleur spécifique est positive. 2034.3 Paramètres intrinsèquement intensifs
2084.4 Les machines thermiques
2094.4.1 Un peu d"histoire : les machines à feu
2104.4.2 Un peu d"histoire : Carnot
2154.4.3 Unmoteurthermiquenécessitedeuxréservoirsdetempératuresdifférentes.
L"augmentation de l"entropie impose une efficacité maximale 2164.4.4 LeraisonnementdeCarnotsurlemouvementperpétueletlesextensionsde
la notion d"entropie 2194.4.5 LecycledeCarnotfonctionneentredeuxisothermesetdeuxadiabatiqueset
a l"efficacité thermodynamique maximale 2224.4.6 Comment peut-on "pomper» de la chaleur de l"extérieur l"hiver? Les réfrigé-
contraints par la loi d"augmentation de l"entropie 2254.5 Résultats importants du chapitre
2294.6 Problèmes
2316
5 Applications de la thermodynamique
2375.1 Équations de base et changements de variables
2385.1.1 Notre loi de base estT dS=dE+pdV-µdN.. . . . . . . . . . . 238
5.1.2 Parce que l"entropie est une fonction concave, on peut faire des change-
ments de variables arbitraires et utiliser autre chose que les variables mé- caniquesE,V,Npour décrire un système macroscopique. Par exemple, àN constant,T dSp,T=dEp,T+pdVp,T.. . . . . . . . . . . . 2395.1.3 Deux identités pour les dérivées partielles de fonctions de deux variables.
2435.2 Propriétés des gaz parfaits
2445.2.1 L"égalité des dérivées croisées permet de prouver que pour un gaz parfait,
∂E/∂V)T=0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455.2.2 L"équationd"étatdugazparfaitetlathermodynamiquepermettentdemon-
trer quecp=cV+R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2475.2.3 À partir du calcul microscopique de l"entropie d"un gaz parfait, on peut en
déduire les chaleurs spécifiques 2495.2.4 La thermodynamique seule permet aussi de calculer l"entropie du gaz parfait
2505.2.5 Dans une dilatation ou une compression adiabatique, les changements de
pression et volume sont reliés parpVγ=cst pour garder l"entropie constante2515.3 Potentiels thermodynamiques et relations de Maxwell
2545.3.1 Pour l"energie interne,dE=T dS-pdV. On dit donc que les variables na-
turelles sontSetV.2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545.3.2 Pour l"enthalpieH≡E+pVon trouvedH=T dS+V dpdonc les variables
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