[PDF] Rappels sur les suites Algorithme - Lycée d'Adultes

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EXERCICES11 juillet 2021 à 9:19

Rappels sur les suites.

Algorithme

Généralités sur les suites

EXERCICE1

La suite(un)est telle que :u0=1 et pour toutn,un+1=3un-1.

1) Calculer à la mainu1,u2,u3. Exprimerun+2en fonction deun.

2) Écrire un algorithme en pseudo code puis une fonction u(n) en Python

don- nant le termeun,nétant donné. Donner alors les valeurs deu5,u10etu15.

3) Modifier cette fonction u(n) pour qu"elle donne les termes deu1àu10.

EXERCICE2

On considère la suite(un)définie par :?u

0=2,u1=4

u n+2=4un+1-un

1) Calculer à la main les termesu2,u3etu4.

2) Écrire une fonction u(n) en Python

donnant len-ième terme de la suite.

Donner u(6) et u(10).

Variation d"une suite

EXERCICE3

Déterminer les variations des suites suivantes définie surN:

1)un=-3n+1 2)un=n+1

n+23)un=2n4)un=? -12? n

EXERCICE4

Montrer que la suite(un)est décroissante pourn?2 :un=n2n! n! = factoriellenetn!=n×(n-1)×(n-2)× ··· ×2×1

EXERCICE5

Déterminer les variations des suites suivantes :

1)un=n2

2n,n?42)un=1+12+122+···+12n,n?N

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

EXERCICE6

Montrer que la suite suivante est décroissante :un=1+12+122+···+12n-n

EXERCICE7

Vrai-Faux

Soit(un)et(vn)deux suites définies surN.

1)Proposition 1 :Si(un)et(vn)sont croissantes, alors la suitewn=un+vnest croissante.

2)Proposition 2 :Si(un)et(vn)sont croissantes alors la suitetn=un×vnest croissante.

Suites arithmétiques et géométriques

EXERCICE8

(un)est une site arithmétique de raisonr.

1) Exprimerunen fonction densiu0=2 etr=1

2

2)u2=41 etu5=-13. Calculeru20

3)u1=-2 etr=3. Calculeru20puisS=u1+u2+···+u20

4)u0=-3 etr=-2. Calculeru25etu125puisS=u25+u26+···+u125

EXERCICE9

(un)est une suite définie paru0=1 et pour toutn?Npar :un+1=un1+un

1) Calculeru1,u2,u3,u4.

Quelle conjecture peut-on faire sur l"expression deunen fonction den.

2) Montrer que la suite(vn)définie parvn=1

unest arithmétique.

3) Exprimervnpuisunen fonction den.

EXERCICE10

(un)est une suite géométrique de raisonq.

1)u1=5 etq=2

3. Exprimerunen fonction den

2)u4=1 etu9=25⎷

5. Calculerqpuisu14

3)q=2 etS=u0+u1+···+u12=24 573. Calculeru0.

EXERCICE11

Montrer que la suite(un)définie parun=2n3n+1est géométrique.

La suite(un)converge-t-elle?

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

EXERCICE12

Calculer les sommes suivantes puis vérifier votre résultat à l"aide d"un algo- rithme :

1) A=5+11+17+···+2015+2021

2) B=1

2+1+32+2+52+···+10

3) C=0,01-0,06+0,36-2,16+···+16 796,16

Suites arithmético-géométriques et homographique

EXERCICE13

Soit la suite(un)définie surNpar :???u

0=1 u n+1=1 3un+4

On pose, pour toutn?N,vn=un-6

1) Calculervn+1en fonction devn. Quelle est la nature de la suite(vn)?

2) Exprimervnpuisunen fonction den.

3) Étudier la convergence de la suite(un).

EXERCICE14

Soit la suite(un)définie surNpar :???u

1=a u n+1=4

10-310un

On pose, pour toutn?N,vn=13un-4

1) Démontrer que la suite(vn)est géométrique dont on précisera la raison et le

premier terme

2) Exprimervnpuisunen fonction denet dea.

EXERCICE15

Dans une réserve, une population initiale de 1 000 animaux évolue ainsi : •20 % des animaux disparaissent chaque année (bilan naissanceset décès) •120 animaux par an sont introduit dans la réserve. On note, pourn?N,pnla population d"animaux l"annéen. Ainsip0=1 000. Le but est de déterminer l"évolution de cette population au bout denannées.

1) a) Déterminer une relation entrepn+1etpn.

b) Conjecturer graphiquement à l"aide d"une calculatrice, l"évolution de la po- pulation. On reportera les 5 premiers termes sur l"axes des abscisses.

2) Soit la suite, définie pour toutn?Nparvn=pn-600

a) Montrer que la suite(vn)est géométrique. b) Déterminer alors l"expression devnpuispnen fonction den. c) La suitepnadmet-elle une limite en+∞? Que peut-on en déduire?

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

EXERCICE16

On considère la suite(un)définie surNpar :u0=0 etun+1=2un+3un+4

1) On posevn=un-1

un+3. Montrer que la suite(vn)est géométrique.

2) Exprimervnpuisunen fonction den.

3) Déterminer la limite de(vn)puis celle de(un).

Autres suites

EXERCICE17

On considère la suite(un)définie par :???u

0=1 u n+1=1

4un+n(R)

1) Déterminer une suite arithmétique(wn)satisfaisant la relation (R).

2) On posevn=un-wn.

Montrer que la suite(vn)est géométrique et préciser sa raison etv0.

3) Exprimervn, puisunen fonction den.

4) a) Déterminer lim

n→+∞un, puis limn→+∞u n n. b) Programmer la suite(un)et vérifier les limites trouvées.

EXERCICE18

Suite récurrence à deux termes

Soit la suite(un)définie surNpar :?????u

0=-1 ,u1=1

2 u n+2=un+1-1 4un

1) Calculeru2etendéduirequelasuite(un)n"estniarithmétiquenigéométrique.

2) Soit la suite(vn)définie pour toutn?Npar :vn=un+1-1

2un.

Montrer que la suite

(vn)est géométrique dont on donnera la raison et le pre- mier terme. En déduirevnen fonction den.

3) Soit la suite(wn)définie par toutn?Npar :wn=un

vna) Montrer que pour toutn?N,wn+1=wn+2. b) Exprimerwnpuisunen fonction den.

4) Pour tout entier natureln, on pose :Sn=k=n∑

k=0u k=u0+u1+···+un.

Programmer S(n) en Python

permettant de calculerSnpourn?2.

Donner alors les valeurs approchées à 10

-4deS6,S10etS50. Quelle conjecture sur la convergence de la suite(Sn)peut-on faire? Remarque :On montre par récurrence queSn=2-2n+3

2n(Chap 2).

PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

EXERCICE19

Extrait national 2009

0=1 nw n= (n+1)wn-1+1

Onobtientlespremierstermessuivants:

w0w1w2w3w4w5w6w7w8w9

135791113151719

1) Détailler le calcul permettant d"obtenirw10.

2) Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite(wn)?

En supposant cette conjecture vraie, calculerw2021.

EXERCICE20

Somme des carrés

1) DéterminerunpolynômePdu3edegrételque:?x?R,P(x+1)-P(x) =x2

2) Compléter les égalités

P(1)-P(0) =

P(2)-P(1) =

P(3)-P(2) =

P(n+1)-P(n) =3) En déduire alors la formule de lasomme des carrés.1

2+22+···+n2=n(n+1)(2n+1)

6

Algorithme

EXERCICE21

On donne la fonction f(n) en Python

1) Justifier quef(3)renvoie (11, 21).

2) Compléter le tableau suivant :

n012345 u11 S21 deff (n) : u=1 ; s=1 ; i=0 whilei Soit(un)et(Sn)définies par?u 0=1 u n+1=2un+1-netSn=u0+u1+···+un

3) Compléter le tableau suivant :

n012345 un1 un-n1 Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau?

4) Démontrer que :un=2n+n. En déduire l"expression deSnen fonction den.

PAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

EXERCICE22

Le lièvre et la tortue

Il s"agit d"un jeu qui se joue avec un dé sur un plateau de sept cases :

DépartArrivée

Les règles du jeu sont donnée par l"algorithme en pseudo-code suivant : tdésigne la position de la tortue.

1) Rédiger la règle du jeu sous forme d"un

texte court.

2) Programmer le jeu avec une fonction par-

tie() en Python renvoyant soit "lievre» ou " tortue » pour désigner le gagnant.

3) Réaliser une simulation denparties

à l"aide de la fonction simul(n) en

Python

qui donne le nombre de parties gagnées par la tortue.

Que renvoie simul(100 000)?

4) Le jeu est-il équitable? Si non, modifier le

nombre de cases du plateau pour rendre ce jeu le plus équitable.

Entrées et initialisation

0→t

Traitement et sorties

tant quet<7faire dprend la valeur d"un jet de dé sid=6alors

Afficher " Lièvre »

Stop sinon t=t+d fin sit?7alors

Afficher " Tortue »

Stop fin fin

PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ

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