[PDF] [PDF] Chapitre 49a – La quantité de mouvement relativiste - Physique

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Chapitre 4.9a - La quantité de mouvement relativiste

La conservation de la quantité de mouvement

La quantité mouvement

pv permet d'évaluer l'état de mouvement d'un objet ou d'un système. Selon Newton, lorsqu'il n'y a pas de force extérieure exercée sur un système (

0ext=Fv), cette quantité

doit être conservée (1 re loi de Newton). C'est ce qui se produit lors d'une collision. Plusieurs forces normales sont en jeux, mais puisqu'elles se retrouvent en paire action-réaction, leurs influences ne modifient pas la quantité de mouvement du système (3 e loi de Newton). https://abdurahmaankenny.wordpress.com/ En mécanique classique, la quantité de mouvement pv se définit comme étant le produit de la masse de l'objet au repos m multipliée par la vitesse ordinaire de l'objet vv (vmpvv=). Puisque la vitesse dépend

du choix de référentiel, la quantité de mouvement aussi dépend du choix de référentiel. Cependant, le

1

er postulat de la relativité impose que les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels

inertiels. S'il existe un référentiel inertiel observant la conservation de la quantité de mouvement, alors

tous les autres référentiels doivent observer également cette conservation, mais avec des valeurs

numériques différentes.

La quantité de mouvement relativiste

En relativité, nous devons modifier l'expression de la quantité de mouvement classique vmpv= puisqu'elle n'est valide que dans le référentiel de l'objet en mouvement. Dans ce référentiel, cette quantité de mouvement est nulle puisque l'objet est immobile dans son référentiel. Ainsi, pour préserver la conservation de la quantité de mouvement dans tous les référentiels, il faut reformuler la quantité de mouvement. Ainsi, l'expression relativiste de la quantité de mouvement d'une masse au repos m qui est observée se déplaçant à une vitesse vv sera égale à l'expression suivante : vv x y z

Référentiel observant

l'objet en mouvement pv vmpvvγ= (expression vectorielle) xxxmvpγ= (selon l'axe x uniquement) où pv : Quantité de mouvement de l'objet (m/skg?) m : Masse de l'objet mesuré au repos (kg) vv : Vitesse de l'objet (m/s) (222 zyxvvvv++=v) γ : Facteur de Lorentz associé à l'objet (22/1/1cv-=γ , 2 21/ 1 /x xv cγ= -) Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 Preuve :

Considérons une particule O immobile

dans son propre référentiel possédant une masse égale à m. Étant immobile, sa quantité de mouvement dans son référentiel est nulle ce qui donne 0dd OO OO ===trmvmp vvv . 0O=vv O Ox Oy Oz

Référentiel O

OAvv O Ax Ay A Az Aw xθ yθ

Référentiel A

Considérons maintenant un référentiel

A observant la particule O en mouvement à vitesse OAvv selon un axe w tel que 2 OA2 OA2

OAOAOAOA

zyxwvvvvvv++===v et permettant de décomposer la vitesse selon l'axe x, y et z tel que ()xwxvvθcosOAOA=, ()ywyvvθcosOAOA=, ()zwzvvθcosOAOA= .

Utilisons la transformation de Lorentz de

O vers A selon l'axe w

()OOAOOAAtvwww+=γ avec 22

OAOA/1/1cv-=γ

afin de définir la position de la particule O dans le référentiel A en fonction du temps pour représenter la quantité de mouvement Awp de la particule O dans le référentiel A à l'aide d'une dérivée par rapport

au temps dans le référentiel O étant le temps propre (dérivée par rapport au temps propre) :

Puisque la particule est uniquement immobile dans le référentiel

O, alors nous avons

()OOAOOAAtvwww+=γ ⇒ ( )OOAOOA OOAdd ddtvwttww+=γ OA OO OA OAdd ddwwvtw twγ ⇒ OAOA

OAddwwvtwγ= (0dd

OO O ==twvw) ⇒ OAOA OAddwwvmtwmγ= (Multiplier par l'invariant m) ⇒ OAOAAwwwvmpγ= (Définition : OAAd/dtwmpw=)

Puisque l'axe

w est décomposable selon l'axe x, y et z par des règles de trigonométrie, nous pouvons affirmer vectoriellement que

OAOAAvmpvvγ=

avec OAOAAxxvmpγ= , OAOAAyyvmpγ= et OAOAAzzvmpγ= . ■ Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3

Situation A : La collision élastique relativiste d'un électron et d'un positron. Dans un accélérateur de

particule, un électron ( kg1011,931 e-×=m) se déplace vers la droite avec une vitesse de c7,0 et entre en collision élastique avec un positron (kg1011,931 e-×=m) se déplaçant vers la gauche avec une

vitesse de c7,0 . Après la collision, l'électron se déplace vers le bas avec une vitesse de c7,0 et le

positron se déplace vers le haut avec une vitesse de c7,0 . On désire vérifier si la quantité de

mouvement relativiste xxmvpγ= est conservée (a) selon l'accélérateur de particule et (b) selon un

observateur se déplaçant vers la droite à c7,0 par rapport à l'accélérateur de particule.

Dans ce problème, nous avons deux référentiels et deux objets à étudier : A : L'accélérateur de particule 1 : Électron

B : Observateur à c7,0 2 : Positron

Voici deux représentations graphiques du mouvement de l'électron et du positron selon nos deux

référentiels : Selon l'accélérateur de particule Selon l'observateur à c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 2Bxv 2Bv 1Bv Selon l'accélérateur de particule, nous avons les mesures de vitesses suivantes : Vitesses des particules (selon le référentiel de l'accélérateur A)

Vitesse initiale Vitesse finale

l'électron positron l'électron positron cvx7,0A1= 0

A1=yv cv

x7,0A2-= 0

A2=yv 0

A1=xv cv y7,0A1= 0 A2=xv cv y7,0A2-=

Vitesse relative entre les référentiels

Vitesse de l'observateur B par rapport à l'accélérateur A cvx7,0BA= Vitesse de l'accélérateur A par rapport à l'observateur B cvx7,0AB-=

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4 Évaluons la quantité de mouvement classique selon l'axe x de l'électron

1 et du positron 2 avant

collision et après la collision selon l'accélérateur A :

Avant la collision : (Référentiel

A) Électron 1 : A111AA1xxvmpγ= ⇒ ()()cpx7,01011,931

1AA1-×=γ

⇒ 1A22

A110913,1γ-×=xp (22

A11A/1/1cvx-=γ)

Positron 2 :

A222AA2xxvmpγ= ⇒ ()()cpx7,01011,931

A2A2-×=-γ

⇒ A222

A210913,1γ-×-=xp (22

A22A/1/1cvx-=γ)

Après la collision : (Référentiel

A) Électron 1 : A11A2A1xxvmpγ= ⇒ m/skg0A1?=xp ( 0A1=xv)

Positron 2 :

A22A2A2xxvmpγ= ⇒ m/skg0A2?=xp ( 0A2=xv)

(a) Nous observons qu'il y a conservation de la quantité de mouvement selon l'accélérateur (A) :

∑∑=ifppvv ⇒ ixixfxfxppppA2A1A2A1+=+ ⇒ ()()()()A222 ⇒ 00= ■ (car A2A1γγ= puisque A2A1xxvv=)

Évaluons la vitesse selon l'axe

x de l'électron 1 et du positron 2 selon l'observateur B à c7,0 . Pour ce

faire, nous devons utiliser les transformations de Lorentz des vitesses parallèles du référentiel de

l'accélérateur A vers le référentiel de l'observateur B :

Avant la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

cv cvvvv xxxx x

ABA1ABA1

B11 cc ccccvx7,07,017,07,0B1 ⇒ 0B1=xv

Positron 2 :

cv cvvvvxxxx x

ABA2ABA2

B21 cc ccccvx7,07,017,07,0B2 ⇒ cvx9396,0B2-=

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 5 Après la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

cv cvvvvxxxx x

ABA1ABA1

B11 cc cc vx7,0017,00B1 ⇒ cvx7,0B1-=

Positron 2 :

cv cvvvvxxxx x

ABA2ABA2

B21 ⇒ cvx7,0B2-= (Idem : B1B2xxvv=) Après avoir réalisée ces transformations de vitesse dans le référentiel

B à c7,0 , nous avons les

informations suivantes : Selon l'accélérateur A de particule Selon l'observateur B à c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 c9396,0 2Bv c7,0 c7,0 1Bv

Pour évaluer la quantité de mouvement, nous aurons besoin également de transformer les vitesses selon

l'axe y. Pour ce faire, nous aurons besoin de calculer le ABγ de transformation de A vers B : 22

ABAB/1/1cvx-=γ ⇒ ( )22AB/7,011

cc--=

γ ⇒ 40,1AB=γ

Évaluons la vitesse selon l'axe

y de l'électron 1 et du positron 2 selon l'observateur B à c7,0 . Utilisons

la transformation de Lorentz des vitesses perpendiculaires du référentiel de l'accélérateur A vers le

référentiel de l'observateur B :

Avant la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

A12AB ABA1

B11xxy

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