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REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
a) Démontrer que la droite ( ) et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection. Correction a) Un vecteur normal de est 0⃗ 8.
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Exercice 4.56: Adapter les outils introduits et la preuve de la distance d'un point à une droite (cf. Chapitre 2) à la distance d'un point à un plan dans l'
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
(BC) est une droite du plan (ABC) et (FG) est une droite du plan (EFG). Les Calculer la distance du point au plan . Soit le projeté orthogonal du ...
Géométrie Lieux géométriques
Le lieu géométrique des points du plan dont la distance au point P est 2 cm est le cercle c droite passant exactement au milieu de la distance entre les deux ...
CHAPITRE I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN
9) Distance d'un point à une droite. • Définition. Soit un point A et une droite d. On appelle distance de A à d et on note Ad
VECTEURS ET DROITES
Définition : D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. 2) Equation
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plan P(ABC) notée d = la distance
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Déterminer la distance du point A au plan (P). (a) A(10
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit P un plan muni d'un repère R(Oi
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2 oct. 2012 La distance de M à la droite (d) peut être donnée par une des quatre formules suivantes : • Si. ??u est un vecteur directeur de (d) alors d(M ...
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cette droite avec les plans de référence Oxy Oxz et Oyz. La plupart du temps
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
Si un plan contient une droite il contient le vecteur Méthode : on cherche à déterminer la distance d'un point A à la droite D .
Exposé 23 : Caractérisation vectorielle dune droite dun plan
Exposé 26 : Équation cartésienne d'une droite du plan euclidien. Application à l'étude distance d'un point à une droite. Cadre: plan affine P. Repère ...
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A et B étant deux points distincts du plan k étant un réel quelconque : k. désigne le La longueur MH est la distance du point M à la droite (D).
GÉOMETRIE DESCRIPTIVE - Cours de deuxième année
Ces deux plans se coupent suivant une droite (y'y) caractéristique d'être à égale distance du plan de projection horizontal et du plan de.
Déterminants en géométrie
Trois droites dans le plan. Ajoutons une troisi`eme droite D3 d'équation a3x+b3y +c3 = 0. Distance d'un point `a une droite dans le plan.
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Pour tracer une droite il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme =0 on
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La distance du point A à la droite D est la plus courte distance du point A à un point de D 2°) Démonstration Nous allons démontrer que pour tout point M de D
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methodes pour trouver la distance entre un point et un droite by tommy6ortega une équation du plan contenant A et perpendiculaire à la droite (D)
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Vestiges d'une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
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Distance dun point à une droite - Wikipédia
Si le plan est muni d'un repère orthonormal si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA) alors la
La distance dun point à une droite dans un plan cartésien - Alloprof
La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment joignant les deux et se calcule en quelques étapes ou à l'aide d'une formule
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2) Déterminer les coordonnée de I le milieu du segment [AB] 3)calculer les distances suivantes : AB et AC et BC Réponse :1)
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Tronc Commun Technologique Résumé du Chapitre 6 : La droite dans le plan Le plan est muni d'un repère Orthogonal( ); ; La distance :
Comment calculer la distance entre un plan et une droite ?
?La distance d'un point à une droite correspond à la longueur du plus court segment séparant le point de la droite. Pour déterminer la distance qui sépare un point d'une droite, il faut déterminer la longueur du segment qui joint perpendiculairement le point à la droite.Comment calculer la distance sur le plan ?
Je retiens
1Méthode Comment calculer la distance réelle ? Distance réelle = Distance sur le plan x Dénominateur de la fraction de l'échelle.2Remarque. Sur un plan ou une carte, la longueur est généralement exprimée en cm .3Exemple. 4Remarque.Comment trouver une droite dans un plan ?
Pour une droite dans le plan �� �� de coefficient directeur donné �� et d'ordonnée �� à l'origine �� , l'équation de la droite peut être écrite sous la forme « réduite » par �� = �� �� + �� .- ). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.
Droites du plan ; droites et plans de l"espace
Fiche corrigée par Arnaud Bodin
1 Droites dans le plan
Exercice 1SoitPun plan muni d"un repèreR(O;~i;~j), les points et les vecteurs sont exprimés par leurs coordonnées dans
R. 1.Donner un v ecteurdirecteur ,la pente une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites
(AB)suivantes : (a)A(2;3)etB(1;4) (b)A(7;2)etB(2;5) (c)A(3;3)etB(3;6) 2.Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par Aet dirigées par~vavec :
(a)A(2;1)et~v(3;1) (b)A(0;1)et~v(1;2) (c)A(1;1)et~v(1;0) 3. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites définies comme suit : (a) passant par le point (0;4)et de pente 3, (b) passant par le point (2;3)et parallèle à l"axe desx, (c) passant par le point (2;5)et parallèle à la droiteD: 8x+4y=3. On considère le triangleABCdont les côtés ont pour équations(AB):x+2y=3;(AC):x+y=2;(BC):2x+3y=4.
1.Donner les coordonnées des points A;B;C.
2. Donner les coordonnées des milieux A0;B0;C0des segments[BC],[AC]et[AB]respectivement. 3. Donner une équation de chaque médiane et vérifier qu"elles sont concourantes. Montrer qu"il existe un pointM0équidistant de toutes les droitesDl.Exercice 4
Déterminer le projeté orthogonal du pointM0(x0;y0)sur la droite(D)d"équation 2x3y=5 ainsi que son
symétrique orthogonal. Exercice 51.T rouverune équation du plan (P)défini par les éléments suivants. (a)A,BetCsont des points de(P) i.A(0;0;1),B(1;0;0)etC(0;1;0). ii.A(1;1;1),B(2;0;1)etC(1;2;4). (b)Aest un point de(P),~uet~vsont des vecteurs directeurs de(P) i.A(1;2;1),~u(4;0;3)et~v(1;3;1). ii.A(1;0;2),~u(2;1;3)et~v(1;4;5). (c)Aest un point de(P),Dest une droite contenue dans(P) i.A(0;0;0)et(D):x+yz+3=04xy+2z=0
ii.A(1;1;0)et(D):8 :x=t y=1+2t z=13t (d)DetD0sont des droites contenues dans(P) i.(D):x+yz+3=0 xy2=0et(D0):3xyz+5=0 x+yz+1=0 ii.(D):x+2yz+1=0 x+3y+z4=0et(D0):2x+y3z+7=03x+2y+z1=0
2. Montrer que les représentations paramétriques sui vantesdéfinissent le même plan : 8< :x=2+s+2t y=2+2s+t z=1stet8 :x=1+3s0t0 y=3+3s0+t0 z=12s0 On considère la famille de plans(Pm)m2Rdéfinis par les équations cartésiennes : m2x+(2m1)y+mz=3
1. Déterminer les plans Pmdans chacun des cas suivants : (a)A(1;1;1)2Pm (b)~n(2;52 ;1)est normal àPm. (c)~v(1;1;1)est un vecteur directeur dePm 2. Montrer qu"il e xisteun unique point Qappartenant à tous les plansPm. 2 1.Déterminer la distance du point Aau plan(P)
(a)A(1;0;2)et(P): 2x+y+z+4=0. (b)A(3;2;1)et(P):x+5y4z=5. 2. Calculer la distance du point A(1;2;3)à la droite(D):2x+y3z=1 x+z=1 1. On considèrelepointA(2;4;1), lesvecteurs!u(1;1;1);!v(2;2;4),!w(3;1;1)etlerepère(A;!u;!v;!w).On notex0;y0etz0les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de
repère exprimantx;y;zen fonction dex0;y0;z0. 2.On considère la droite (D):yz=3
x+y=2. Utiliser le changement de repère pour donner une équation deDdans le repère(A;!u;!v;!w). 3. Donner les formules analytiques du changement de repère in verse. 1. Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d"équation 2 x+2yz=1. 2. Définir analytiquement la projection orthogonale sur la droite d"équation x+y+z=12xz=2.
3. Donner l"e xpressionanalytique de la projection sur le plan (P)contenant le pointC(2;1;1)et ayant pour vecteurs directeurs~u(0;1;1)et~u0(2;0;1), selon la droite(AB), oùA(1;1;0)etB(0;1;3).Indication pourl"exer cice2 NLes médianes sont les droites(AA0),(BB0),(CC0).Indication pourl"exer cice3 NLadistanced"unpointM0(x0;y0)àunedroiteDd"équationax+by+c=0estdonnéeparlaformuled(M0;D)=
jax0+by0+c0jpa2+b2.4
Correction del"exer cice1 N1.(a) Un v ecteurdirecteur est !ABdont les coordonnées sont(xBxA;yByA) = (3;1). Pour n"importe quel vecteur directeur~v= (xv;yv)la pente est le réelp=yvx v. La pente est indépendante du choix du vecteurdirecteur. Ontrouveicip=13 . Uneéquationparamétriquedeladroitedevecteurdirecteur ~vpassant parA= (xA;yA)est donnée parx=xvt+xA y=yvt+yA:Donc ici pour le vecteur directeur!AB on trouve l"équation paramétrique x=3t+2 y=t+3 Il y a plusieurs façons d"obtenir une équation cartésienneax+by+c=0.Première méthode.On sait queA= (xA;yA)appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient
l"équationaxA+byA+c=0, idem avecB. On en déduit le système2a+3b+c=0 a+4b+c=0:Lessolutions s"obtiennent à une constante multiplicative près, on peut fixera=1 et on trouve alors
b=3 etc=11. L"équation est doncx+3y11=0. (b)On trouv e~v=!AB= (5;3),p=35
etx=5t7 y=3t2 ainsi x+75 =t y+23 =tOn en déduitx+75 =y+23 ; d"où l"équation 3x+5y+31=0. (c) On trouve~v=!AB=(0;3), ladroiteestdoncverticale(sapenteestinfinie)uneéquationparamétrique estx=3 y=3t+6. Une équation cartésienne est simplement(x=3). 2. (a)Equation paramétrique
x=3t+2 y=t+1 Troisième méthode.Pour une droite d"équation cartésienneax+by+c=0, on sait que~n= (a;b) est un vecteur normal à la droite et donc~v= (b;a)est un vecteur directeur (car alors~v~n=0). Réciproquement si~v= (b;a)est un vecteur directeur alors une équation est de la forme
ax+by+c=0 pour une certaine constantecà déterminer. Ici on nous donne le vecteur directeur~v= (3;1)donc on cherche une équation sous la forme x+3y+c=0. Pour trouverc, on utilise queAappartient à la droite doncxA+3yA+c=0, ce qui conduit àc=1. Ainsi une équation de la droite estx+3y=1. (b)On trouv e2 xy+1=0.
(c)Droite horizontale d"équation (y=1).
3.V oicijuste les résultats :
(a)y=3x+4, (b)y=3, (c)8 x+4y=4 (les droites parallèles à 8x+4y=3 sont de la forme 8x+4y=c).Correction del"exer cice2 N1.Le point Aest l"intersection des droites(AB)et(AC). Les coordonnées(x;y)deAsont donc solutions du
système :x+2y=3 x+y=2donné par les équations des deux droites. La seule solution est(x;y) = (1;1). On a doncA= (1;1). On fait de même pour obtenir le pointB= (1;2)etC= (2;0). 2. Notons A0lemilieude[BC]alorslescoordonnéessetrouventparlaformulesuivanteA0=(xB+xC2 ;yB+yC2 12 ;1). De même on trouveB0= (32 ;12 )etC0= (0;32 53.(a) Les médianes ont pour équations : (AA0):(y=1);(BB0):(3x+5y=7);(CC0):(3x+4y=6).
(b)Vérifions que les trois médianes sont concourantes (ce qui est vrai quelque soit le triangle). On
calcule d"abord l"intersectionI= (AA0)\(BB0), les coordonnées du pointId"intersection vérifient
donc le systèmey=13x+5y=7. On trouveI= (23
;1).Il ne reste plus qu"à vérifier queIappartient à la droite(CC0)d"équation 3x+4y=6. En effet
3xI+4yI=6 doncI2(CC0).
Conclusion : les médianes sont concourantes au pointI= (23;1).Correction del"exer cice3 NNous savons que la distance d"un pointM0(x0;y0)à une droiteDd"équationax+by+c=0 est donnée par la
formuled(M0;D) =jax0+by0+c0jpa 2+b2. Pour une droiteDlla formule donne :d(M0;Dl) =j(1l2)x0+2ly0(4l+2)jp(1l2)2+4l2.Analyse.
On cherche un pointM0= (x0;y0)tel que pour toutl,d(M0;Dl) =koùk2Rest une constante.L"égalitéd(M0;Dl)2=k2conduit à
(1l2)x0+2ly0(4l+2) 2=k2 (1l2)2+4l2pour toutl2R. Nos inconnues sontx0;y0;k. On regarde l"égalité comme une égalité de deux polynômes en
la variablel.Pour ne pas avoir à tout développer on raffine un peu : on identifie les termes de plus haut degré enl4:
x20l4=k2l4doncx20=k2.
En évaluant l"égalité pourl=0 cela donne(x02)2=k2. On en déduit(x02)2=x20dont la seule solution
estx0=1. Ainsik=1 (cark>0). L"égalité pourl= +1 donne(2y06)2=4k2et pourl=1 donne(2y0+2)2=4k2. La seule solution est y 0=2.Synthèse.Vérifions que le point de coordonnéesM0= (1;2)est situé à une distancek=1 de toutes les droites
D l.Pour(x0;y0) = (1;2), on trouve :d(M0;Dl) =j(1l2)+4l(4l+2)jp(1l2)2+4l2=jl2+1jp(l2+1)2=jl2+1jjl2+1j=1. DoncM0= (1;2)
est bien équidistant de toutes les droitesDl.Correction del"exer cice4 N(D)est une droite de vecteur normal~n= (2;3). Le projeté orthogonalp(M0)deM0sur(D)est de la forme
M0+l:~noùlest un réel à déterminer. Le pointM0+l:~na pour coordonnées(x0+2l;y03l).
M0+l:~n2(D)()2(x0+2l)3(y03l) =5()l=2x0+3y0+513
p(M0)a pour coordonnéesx0+22x0+3y0+513quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] distance d'un point ? un plan terminale s
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