GÉOMETRIE DESCRIPTIVE - Cours de deuxième année
(P) est a égale distance du plan frontal et du plan horizontal. Il appartient Droite frontale du plan. Droite horizontale du plan. La trace frontale d'un ...
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
a) Démontrer que la droite ( ) et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection. Correction a) Un vecteur normal de est 0⃗ 8.
Distance dun point à une droite distance dun point à un plan
7 févr. 2011 Soit une droite d d'un plan. Soit un point A dans ce plan. La distance de A à d est définie comme la plus courte de toutes les distances de.
Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace
Exercice 4.56: Adapter les outils introduits et la preuve de la distance d'un point à une droite (cf. Chapitre 2) à la distance d'un point à un plan dans l'
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
(BC) est une droite du plan (ABC) et (FG) est une droite du plan (EFG). Les Calculer la distance du point au plan . Soit le projeté orthogonal du ...
Géométrie Lieux géométriques
Le lieu géométrique des points du plan dont la distance au point P est 2 cm est le cercle c droite passant exactement au milieu de la distance entre les deux ...
CHAPITRE I GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN
9) Distance d'un point à une droite. • Définition. Soit un point A et une droite d. On appelle distance de A à d et on note Ad
VECTEURS ET DROITES
Définition : D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D. 2) Equation
1. Elements de base. Le point. La droite. Le plan
plan P(ABC) notée d = la distance
fic00159.pdf
Déterminer la distance du point A au plan (P). (a) A(10
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit P un plan muni d'un repère R(Oi
VECTEURS ET DROITES
Définition : D est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u ! qui possède la même direction que la droite D.
Géométrie du plan
2 oct. 2012 La distance de M à la droite (d) peut être donnée par une des quatre formules suivantes : • Si. ??u est un vecteur directeur de (d) alors d(M ...
Chapitre 4: Géométrie analytique dans lespace
cette droite avec les plans de référence Oxy Oxz et Oyz. La plupart du temps
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
Si un plan contient une droite il contient le vecteur Méthode : on cherche à déterminer la distance d'un point A à la droite D .
Exposé 23 : Caractérisation vectorielle dune droite dun plan
Exposé 26 : Équation cartésienne d'une droite du plan euclidien. Application à l'étude distance d'un point à une droite. Cadre: plan affine P. Repère ...
Distance dun point à une droite distance dun point à un plan
7 févr. 2011 Soit une droite d d'un plan. Soit un point A dans ce plan. La distance de A à d est définie comme la plus courte de toutes les distances de.
Math 3 A5
A et B étant deux points distincts du plan k étant un réel quelconque : k. désigne le La longueur MH est la distance du point M à la droite (D).
GÉOMETRIE DESCRIPTIVE - Cours de deuxième année
Ces deux plans se coupent suivant une droite (y'y) caractéristique d'être à égale distance du plan de projection horizontal et du plan de.
Déterminants en géométrie
Trois droites dans le plan. Ajoutons une troisi`eme droite D3 d'équation a3x+b3y +c3 = 0. Distance d'un point `a une droite dans le plan.
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7 fév 2011 · Soit une droite d d'un plan Soit un point A dans ce plan La distance de A à d est définie comme la plus courte de toutes les distances de
[PDF] DROITES DU PLAN - maths et tiques
Pour tracer une droite il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme =0 on
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La distance du point A à la droite D est la plus courte distance du point A à un point de D 2°) Démonstration Nous allons démontrer que pour tout point M de D
Distance Point Droite PDF Plan (Géométrie) Orthogonalité - Scribd
methodes pour trouver la distance entre un point et un droite by tommy6ortega une équation du plan contenant A et perpendiculaire à la droite (D)
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Vestiges d'une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l'espace rapporté à un repère orthonormé
[PDF] Chapitre 2 : Distance point-droite et bissectrices
Exercice 2 5: Reprendre l'exercice 2 3 en utilisant la formule ?(A d) où d est l'équation de BC Exercice 2 6: Calculer la distance du point A à la droite d: a
Distance dun point à une droite - Wikipédia
Si le plan est muni d'un repère orthonormal si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA) alors la
La distance dun point à une droite dans un plan cartésien - Alloprof
La distance d'un point à une droite est la longueur du plus petit segment joignant les deux et se calcule en quelques étapes ou à l'aide d'une formule
[PDF] La droite dans le plan - AlloSchool
2) Déterminer les coordonnée de I le milieu du segment [AB] 3)calculer les distances suivantes : AB et AC et BC Réponse :1)
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Tronc Commun Technologique Résumé du Chapitre 6 : La droite dans le plan Le plan est muni d'un repère Orthogonal( ); ; La distance :
Comment calculer la distance entre un plan et une droite ?
?La distance d'un point à une droite correspond à la longueur du plus court segment séparant le point de la droite. Pour déterminer la distance qui sépare un point d'une droite, il faut déterminer la longueur du segment qui joint perpendiculairement le point à la droite.Comment calculer la distance sur le plan ?
Je retiens
1Méthode Comment calculer la distance réelle ? Distance réelle = Distance sur le plan x Dénominateur de la fraction de l'échelle.2Remarque. Sur un plan ou une carte, la longueur est généralement exprimée en cm .3Exemple. 4Remarque.Comment trouver une droite dans un plan ?
Pour une droite dans le plan de coefficient directeur donné et d'ordonnée à l'origine , l'équation de la droite peut être écrite sous la forme « réduite » par = + .- ). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.
![Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation](https://pdfprof.com/Listes/17/24951-17eqcartplan.pdf.pdf.jpg)
Méthodes de géométrie dans l'espace
Déterminer une équation cartésienne de plan L'équation cartésienne d'un plan est du type ax + by + cz + d = 0 avec (a ;b ;c) les coordonnées d'un vecteur normal du plan . On procède en deux étapes : D'abord déterminer un vecteur normal au planEnsuite déterminer d .
Première étape : Déterminer un vecteur normal au plan (ABC)Rappels :
Un vecteur est normal au plan s'il est orthogonal au plan Un vecteur est orthogonal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs sécants du plan Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Si on a );;(zyxur et )';';'(zyxvr alors '''zzyyxxvu++=×rr Soit nr un vecteur normal de (ABC) alors 0=×ABnr et 0=×ACnr et 0=×CBnr Deux équations suffisent donc on garde par exemple 0=×ABnr et 0=×ACnr Ensuite , on détermine deux des coordonnées de nr en fonction de la troisième . On choisit une valeur pour cette variable et on en déduit les deux autres .Exemple
Déterminer un vecteur normal de (ABC) avec A(0 ;2 ;3) , B(1 ;0 ;5) et C(1 ;1 ;0) .On a : )2;2;1(-AB et )3;1;1(--AC
On pose nr(a ;b ;c) .
On a :
0 0 ACn ABnr r donc 03 022cba cba 2 1 L L
En faisant 21LL- : 05=+-cb donc b = 5c
En faisant 221LL- : 08=+-ca donc a = 8c
Puisque tous les vecteurs normaux d'un même plan ont des coordonnées proportionnelles , on peut choisir la valeur qu'on veut pour c . Prenons c = 1 .Alors nr(8 ;5 ;1)
Remarque :
Si on a des fractions , on essaie de choisir c pour ne plus avoir de fractionPar exemple , si on avait eu :
cb ca 5 432 , on pouvait choisir c = 15 . Ainsi , a = 10 et b = 12 .
Deuxième étape : déterminer d
On a les coefficients devant x , y et z . Il manque donc d . Pour cela on remplace (x ;y ;z) par les coordonnées d'un point du plan et on résout l'équation pour trouver dExemple
En gardant l'exemple précédent , on a comme équation cartésienne du plan (ABC) :058=+++dzyx
Il manque d
Du plan (ABC) , on connaît trois points : A , B et C On en choisit un , prenons C ( moins de risque d'erreur de calcul avec des 0 et des 1 ) Méthodes de géométrie dans l'espace 001518=++´+´dOn résout : d = - 13
L'équation de (ABC) est donc : 01358=-++zyx
Remarque 1 : si on avait pris A ou B , on trouvait le même d032508=++´+´d donne d = - 13 avec A
050518=++´+´d donne d = - 13 avec B
Remarque 2 : les équations cartésiennes d'un même plan sont proportionnelles . C'est-à-dire
que l'équation 02621016=-++zyx est aussi une équation de (ABC) . En général , on essaie de les simplifier au maximum .Des variantes
On peut demander l'équation cartésienne d'un plan sans donner trois points du plan . On en donnera un ( pour pouvoir calculer d) mais on donnera des indications qui permettent de trouver le vecteur normal par d'autres raisonnements . Pour cela , quelques règles à retenir ( on peut s'aider de schémas ) Deux plans parallèles ont le même vecteur normal ( à une constante près donc on peut prendre le même )Deux plans orthogonaux ont des vecteurs normaux
orthogonaux Des plans sécants ont des vecteurs normaux non colinéaires ( leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles) Si un plan contient une droite , il contient le vecteur directeur de cette droite . Si une droite est orthogonale à un plan , son vecteur directeur est le vecteur normal du plan . Ici , D est dans P , son vecteur ur est orthogonal à nr D' est orthogonale à P alors son vecteur 'ur est colinéaire ( on peut même considérer égal) à nrMéthodes de géométrie dans l'espace
Exemple
Déterminer l'équation cartésienne du plan P parallèle au plan P' d'équation01232=-+-zyx sachant que P passe par A(0 ;8 ;5)
Puisque P et P' sont parallèles , ils ont même vecteur normal . Le vecteur normal de P' est )3;1;2(-nr : celui de P aussi Donc une équation cartésienne de P est : 032=++-dzyx Puisque A appartient à P , on a : 053802=+´+-´d donc d = - 7Et donc P : 0732=-+-zyx
Représentation paramétrique de droites
On a besoin du vecteur directeur de la droite et d'un point de la droiteOn a alors :
Un point M(x ;y ;z) appartient à la droite D de vecteur directeur );;(cbauret qui passe par le point A()AAAzyx;; si et seulement si : kczz kbyy kaxx A A A avec k réel .Cas classique
On détermine le vecteur directeur de la droite et on applique simplement la formule ci-dessusExemple
Déterminer une représentation paramétrique de (AB) avec A(1 ;2 ;3) et B(0 ;8,4) Commençons par déterminer un vecteur directeur de (AB) ; soyons simples ! )1;6;1(-AB La droite (AB) passe par A et B ( ce qu'on peut être simplistes quand même !)On choisit un point : A par exemple
On applique la formule :
kkczz kkbyy kkaxx A A A 3 621 avec k réel .
Remarque :
Si on choisit B , on a une autre représentation paramétrique de la même droite . '4 '68 kz ky kx avec k' réel En fait , ce qui change pour les points , c'est le " k » . Avec la première qu'on a trouvé , le point A correspond à k = 0 Avec la deuxième : le point A correspond à k' = -1Des variantes
Comme précédemment , on peut donner des indications autres que deux points pour trouver le vecteur directeur de la droite . Deux droites orthogonales ont des vecteurs directeurs orthogonaux ; leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ; on peut aussi dire que le vecteur directeur de l'une est le vecteur normal de l'autre . Deux droites parallèles ont le même vecteur directeur et le même vecteur normal .Méthodes de géométrie dans l'espace
Retrouver la représentation paramétrique à partir de deux équations de plansRappels :
L'intersection de deux plans est soit vide , soit un plan , soit une droite Deux plans sont sécants si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires Autrement dit , quand on a les équations cartésiennes de deux plans , on peut chercher leur intersection . Si c'est une droite , alors on doit pouvoir retrouver la représentation paramétrique de cette droite à partir des deux équations de plans . Pour cela , on utilise les combinaisons linéaires pour exprimer deux variables en fonction de la troisième .Exemple
Soient P : 02573=+-+zyx et P' : 0432=-+-zyx
On veut déterminer la représentation paramétrique de la droite intersection de ces deux plans
Commençons par vérifier que ces deux plans sont bien sécants : On a )5;7;3(-nr vecteur normal de P et )1;3;2('-nr vecteur normal de P' . Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles ( en effet : n'est pas un tableau de proportionnalité ) Les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires et donc les plans sont sécants Déterminons maintenant la représentation paramétrique de la droite d'intersectionOn considère le système :
043202573
zyx zyx 2 1 L L On utilise les combinaisons linéaires , comme si on cherchait à résoudre les système par
Gauss , par exemple :
2312LL- et 2713LL+:
016823
022823
zy zx ce qui donne zy zx 238 23
1623
8 23
22
On pose alors z = k et on a la représentation paramétrique de la droite intersection de P et P' :
kz ky kx 238 23
1623
8 23
22
avec k réel
Vecteur et point de cette droite
On peut ainsi en déduire un vecteur directeur de cette droite : ÷ø ae1;23 8;238ur ou puisque les
vecteurs directeurs sont tous colinéaires : ()23;8;8ur ; et un point de cette droite : ÷ø ae-0;23 16;23 22et pas de simplification car les points ne sont pas " proportionnels » , eux !
3 7 - 5
2 - 3 1
Méthodes de géométrie dans l'espace
Equation cartésienne d'une sphère
L'équation cartésienne d'une sphère de centre A er de rayon R est : ()()()2222RzzyyxxAAA=-+-+-On donne le rayon et le centre
Dans ce cas , on applique simplement la formule ci-dessusExemple
Déterminer une équation cartésienne d'une sphère de centre A(5 ;3 ;0) et de rayon 6 ()()()2222RzzyyxxAAA=-+-+- donne ()()()22226035=-+-+-zyx c'est-à-dire : ()()3635222=+-+-zyx On donne une équation et on veut retrouver centre et rayon Pour cela on utilise la forme canonique pour faire réapparaitre la formule de la définitionExemple
Déterminer l'ensemble des points M(x ;y ;z) de l'espace qui vérifient :010243²²²=+-+-++zyxzyx
On regroupe les termes " en famille » : 0102²4²3²=+-+++-zzyyxxOn sait que xx3²- est le début de
2 23÷ø
ae-x mais 493²2
3 2 ae-xxxDonc xx3²- = 4
9 2 3 2 ae-x . On procède de même avec les y et avec les z , on obtient : ()()01011424 9 2 3222 ae-zyx
Soit ()()04
19122322
2 ae-zyx et donc ()()4 19122
322
2 ae-zyx On a donc l'équation cartésienne d'une sphère de centre A÷ø ae-1;2;2
3 et de rayon 2
19Intersection d'une droite et d'un plan
On a besoin d'une équation cartésienne du plan et de la représentation paramétrique d'une
droiteOn remplace dans l'équation du plan les x , y et z par ceux de la représentation paramétrique
de la droite , on détermine k .Exemple
Déterminer le point d'intersection du plan P : 08432=-++zyx et de la droite D dont une représentation paramétrique est : kzquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] distance d'un point ? un plan terminale s
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