[PDF] Exercices corrigés – Révisions – Thème : Dérivation

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Mme LE DUFF 1ère pro

1

Exercice 1 :

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur IR :

73²45)(

3+-+-=xxxxf

8)(=xg

14²2)(

+-=xxxh

Exercice 2 :

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur []0;2-: 52

14)(+-=x

xxf x xxg 32

6)(--=

Exercice 3 :

On considère la fonction f définie sur[]5;5-par :

74²3)(

-+-=xxxf a) Déterminer )("xf.

b) Etudier le signe de )("xfsur l"intervalle[]5;5-et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre

calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau.

Exercice 4:

Soit f la fonction à étudier sur[]10;1-par2

5)(+= xxf. a) Déterminer )("xf.

Mme LE DUFF 1ère pro

2

Etudier le signe de )("xfsur l"intervalle[]10;1-et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre

calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau.

Exercice 5 :

Soit

32²2

5)(3+--=xxxxfune fonction définie et dérivable sur[]10;10-.

1.

Déterminer )("xf.

2.

Etudier le signe du trinôme :25²3--xx.

3. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

Exercice 6 :

Soit f la fonction à étudier sur[]10;15-par5 2)(-= xxf. a) Résoudre l"équation x-5=0, en déduire la valeur interdite de f. b) Déterminer )("xf.

c) Etudier le signe de )("xfsur l"intervalle[]10;15-et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre

calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau. Attention à la valeur

interdite. d) Déterminer l"équation de la tangente à Cf en -1.

Exercice 7 :

Soit f la fonction à étudier sur[]20;20-par1)(-=x xxf. a) Déterminer )("xf.

b) Etudier le signe de )("xfsur l"intervalle[]20;20-et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre

calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau. Attention à la valeur

interdite.

Exercice 1 :

Pour chacune des questions suivantes : déterminer l"expression de la fonction F, primitive de la fonction f

définie sur l"intervalle I, en vérifiant la condition donnée :

Mme LE DUFF 1ère pro

3

1°) 32)(+=xxf []10;10-=I 5)1(=-F

2°)

1²4)(+-=xxxf []5;0=I 1)0(=F

Exercice 2 :

Pour chacune des questions suivantes :

o Etablir l"expression de la fonction g", dérivée de la fonction g, définie sur l"intervalle I considéré.

o En déduire l"expression d"une fonction F, primitive de la fonction f définie sur l"intervalle I.

1°)

310)(
xxxf-= xxxg3²5)(+= []5;1=I

2°)

( )214)(- -=xxf 1 4)(-= xxg []20;5=I

Exercice 8 : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur l"intervalle[]20;20-=I.

2²43

1)(3

1-+-=xxxf 1812²3)(2+-=xxxf 53

1)(

3-=xxf x

xxf--=1 2)( 4

Exercice 9 :

On considère la fonction f définie sur

[]5;5-par 74²3)(-+-=xxxf. a) Déterminer )("xf.

b) Etudier le signe de )("xfsur l"intervalle[]5;5-et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre

calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau. c) Déterminer l"équation de la tangente à Cf en 1.

Exercice 10 :

Soit xxxxf2²2 3 3

1)(3+-=une fonction définie et dérivable sur[]10;10-.

1.

Déterminer )("xf.

2.

Etudier le signe du trinôme : 23²+-xx.

3. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

Exercice 11 :

Mme LE DUFF 1ère pro

4

Soit f la fonction à étudier sur[]10;5-par2

5)(+-=xxf.

a) Résoudre l"équation x+2=0, en déduire la valeur interdite de f. b) Déterminer )("xf.

c) Etudier le signe de )("xfsur l"intervalle[]10;5-et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre

calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau. Attention à la valeur

interdite. d) Déterminer l"équation de la tangente à Cf en 0.

Exercice 12 :

Soit la fonction f définie sur l"intervalle [-6 ; 6] par :

20²)(

++-=xxxf

1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -22 0 8 18 18 8

2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

3. Déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles f"(x) = 0

4. Donner le tableau de signes de f " et le tableau de variations de f sur l"intervalle [-6 ; 6].

5. Tracer la courbe représentative Cf de la fonction f dans un repère orthogonal()jiOrr;; :

Prendre :

1 cm comme unité graphique pour l"axe des abscisses et 0,5 cm comme unité graphique pour

l"axe des ordonnées.

6. Déterminer l"équation réduite de la tangente à la courbe Cf au point d"abscisse -4.

Exercice 13 :

Déterminer la fonction dérivée de la fonction suivante sur IR : 53

12)(+-=x

xxi

Exercice 14 :

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur l"intervalle[]20;20-=I.

Mme LE DUFF 1ère pro

5 53
1)(

4-=xxf x

xxf--=1 2)( 5

Exercice 15 :

Soit f la fonction définie sur[]9;2,1par

1 2)(-= xxf a) Déterminer la dérivée f" de la fonction f. b) Etudier le signe de f" et en déduire le tableau de variation de f. c) Compléter le tableau suivant à l"aide de la calculatrice : x 1,2 1,5 2 3 5 9 f(x)

d) Tracer dans un repère orthonormal (unité graphique 1cm) la courbe C représentative de la fonction f.

Mme LE DUFF 1ère pro

6

CORRECTION

Exercice 1 :

Rappel :

Fonction f(x) Dérivée f"(x)

k (constante réelle) 0 x 1 x² x2

3x ²3x

0)(" =xg

4401422)("

-=+´-´=xxxh

Exercice 2 :

Rappel : ²""

vuvvu vu-= 52

14)(+-=x

xxf 5214 xvxu 2012"4014" vu ( )( )( )²5222

²5228208

²52142524)("+=+

+-+=+-´-+´=xxxx xxxxf x xxg 32

6)(--= xvxu

326
-=-= 3130"101" vu ( )( )( )²5216

²5218332

²3263321)("+

-=+-+-=--´---´=xxxx xxxxg

Mme LE DUFF 1ère pro

7

Exercice 3 :

1. On trouve : 46)("+-=xxf

2.

Etude du signe de f" sur IR : f" s"annule en3

2 6 4==x D"après le cours sur les fonctions affines, on a : x -5 3

2 5

f"(x) + 0 - f(x)

Exercice 4 :

Soit f la fonction à étudier sur[]10;1-par2

5)(+= xxf. a) 1"20"5 vxvuu donc )²2(9 )²2(45)2(0)("+ -=+´-+´=xxxxf b) x -1 10 -9 - )²2(+x + f"(x) - f(x) 5 0.4 -5,7 -102 -62

Mme LE DUFF 1ère pro

8

Exercice 5 :

1.

25²301222

5²3)("--=+´-´-=xxxxxf

2.

Signe du trinôme : 25²3--xx.

2 53
c ba

492425)2(34)²5(=+=-´´--=D

Le trinôme a deux racines :

3 1 6 2 6 75
32

49)5(2

612
675

3249)5(

21-=-=-=

xx

Tableau de signes du trinôme :

x -10 3

1- 2 10

Signe du

trinôme :

25²3

--xx Signe de a : + 0 Signe de -a : - 0 Signe de a : 3. x -10 3

1- 2 10

Signe de f" + 0 - 0 +

Variations de

f

Soit f la fonction à étudier sur

[]3;15-par5 2)(-= xxf. a) b) Déterminer l"équation de la tangente à Cf en -1.

Exercice 6 :

a) x-5=0ssi x= 5 qui est la valeur interdite de f. -1227 3.35 -3 733

Mme LE DUFF 1ère pro

9 b) )²5(2 )²5(1)2()5(0)("- -=-´--´=xxxxfen utilisant la règle :²"" 2 vuvvu vu-= sur[]10;5- où52 xvu

101"0"

vu c) Comme sur[]10;15-:()052>-x(un carré est toujours positif) et 02<-alors 0)("Donc on obtient le tableau suivant : x -15 5 10

Signe de

f " - -

Variations

de f - 0.1 0.4 d) ())1()1()1("-+--´-=fxfy())1(1)1("-++´-=fxfy 3 1 6 2 51

2)1(-=-=--=-fet( )( )181

362
62

512)1("22-=-=--=---=-fdonc3

1)1( 18

1-+-=xy

3 1 18 1 18

1---=xy 39.018

1--=xy

Exercice 7 :

a) )²1(1 )²1(1 )²1(1)1(1)("- -=---=-´--´=xxxx xxxxfen utilisant la règle :²"" 2 vuvvu vu-= sur[]20;20- où 1-= xv xu 101"1" vu b) x -20 1 20 -1 - - (x - 1)² + 0 +

Signe de

f "

Variations

de f -0.95 1.05

Exercice 8 :

xxxf8²)("1+-= 126)("2-=xxf

01=-x ssi 1=x

Attention c"est donc

la valeur interdite (le dénominateur ne peut pas valoir 0)

Mme LE DUFF 1ère pro

10 ( )( )²533

²5331530)("3-

-=-´--´=xxxxf ()()() ( )( )( )²12

²1222

²1121)2()("4xxxx

xxxxf-

Exercice 9 :

1.

On trouve : 46)("+-=xxf

2.

Etude du signe de f" sur IR : f" s"annule en3

2 6 4==x D"après le cours sur les fonctions affines, on a : x -5 3

2 5

f"(x) + 0 - f(x) 3. ())1(1)1("fxfy+-´=, 6)1(-=fet 2)1("-=fdonc()612--´-=xy42--=xy

Exercice 10 :

1.

23²)("+-=xxxf

2.

Signe du trinôme : 23²+-xx.

2 31
c ba

189214)²3(=-=´´--=D

Le trinôme a deux racines :

112
1)3(2

121)3(

21=´

xx

Tableau de signes du trinôme :

x -10 1 2 10

Signe du

trinôme :

23²

+-xx Signe de a : + 0 Signe de -a : - 0 Signe de a : -5,7 -102 -62

Mme LE DUFF 1ère pro

11 3. x -10 1 2 10

Signe de f" + 0 - 0 +

Variations de

f

Exercice 11 :

a) x+2=0 ssi x= -2 qui est la valeur interdite de f. b) )²2(5 )²2(1)5()2(0)("+=+

´--+´=xxxxfen utilisant la règle :²""

2 vuvvu vu-= sur[]10;5- c) Comme sur[]10;5-:()022>+xet 05>alors 0)(">xf

Donc on obtient le tableau suivant :

x -5 -2 10 f "(x) + + f(x) 1.67 -0.42 d) ())0(0)0("fxfy++´=,5.22

5)0(-=-=fet25.14

5)0("==fdonc 25.15.2+-=xy

Exercice 12 :

1. Tableau de valeurs :

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -22 -10 0 8 14 18 20 20 18 14 8 0 -10

2. La fonction dérivée de la fonction f est la fonction f " définie sur [-6 ; 6] par :

12)(" +-=xxf

3. f"(x) = 0 012=+-x12=x2

1=x

La fonction f s"annule pour

2 1=x.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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