[PDF] Généralités sur les fonctions - Lycée dAdultes

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1

Généralités sur les

fonctionsTable des matières

1 Définition

2

1.1 Fonction numérique

2

1.2 Ensemble de définition

2

1.3 Comparaison de fonctions

2

2 Parité d"une fonction

4

2.1 Fonction Paire

4

2.2 Fonction impaire

5

3 Autres symétrie

6

3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical

6

3.2 Symétrie par rapport à un point

7

3.3 Des représentations déduites par symétrie

8

4 Variation d"une fonction

10

5 Résolution graphique

10

6 Composée de deux fonction

12

6.1 Définition

12

6.2 Application

13

6.3 Variation d"une fonction composée

15

6.4 Variations de fonctions

16 PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

21 DÉFINITION1Définition

1.1Fonctionnumérique

Définition 1 :Une fonction numériquefd"une variable réellexest une relation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x).

On écrit alors :

f:RouDf!R x7!f(x)Attention :Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x)qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.

Exemples ::

êf(x) =3x7fest une fonction affine

êf(x) =5x22x+1fest une fonction du second degré

êf(x) =x+22x3fest une fonction homographique

1.2Ensemblededéfinition

Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des valeurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définieExemples : 1) Soit la fonction fdéfinie parf(x) =p4xa pour ensemble de définition : D f=]¥;4] (on doit avoir 4x>0) 2)

Soit la fonction gdéfinie parg(x) =3x

25x6a pour ensemble de défini-

tion :Dg=Rf1;6g (on doit avoirx25x66=0,x=1 racine évidente)

1.3Comparaisondefonctions

Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : êElles ont même ensemble de définition :Df=Dg

êPour toutx2Df,f(x) =g(x)Exemple :

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

1.3 COMPARAISON DE FONCTIONS3Les fonctionfetgdéfinies respectivement par :

f(x) =rx1x+3etg(x) =px1px+3

Sont-elles égales?

Déterminons leur ensemble de définition :

Pourf, on doit avoir :x1x+3>0, ce qui donneDf=]¥;3[[[1;+¥[ Pourg, on doit avoir :x1>0 etx+3>0, ce qui donneDg= [1;+¥[ On a donc :Df6=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales.

On remarquera cependant que sur[1;+¥[, on af(x) =g(x)Définition 4 :SoitIun intervalle et soientfetgdeux fonctions définies

au moins surI. On dit que : êfest inférieure àgsurIlorsque :f(x)6g(x)pour toutx2I. On note : f6gsurI. êfest positive surIlorsque :f(x)>0 pour toutx2I. On note :f>0 sur I. êfestmajoréesurIlorsqu"il existe un réelMtel que :f(x)6Mpour tout x2I. êfestminoréesurIlorsqu"il existe un réelmtel que :m6f(x)pour tout x2I. êfestbornéesurIlorsqu"il existe des réelsMetmtels que :m6f(x)6M

pour toutx2I. (fest majorée et minorée)Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux

fonctions ne sont pas toujours comparables. On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2.

On a par exemple :

12 >12 2 ,f12 >g12

2<22,f(2) Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x(1x). Démontrer quefest majorée surR.

On met la fonction sous la forme canonique :

f(x) =x2+x=(x2x) =" x12 2 14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et son sommet a pour or- donnée 14 . La fonctionfest donc majorée surR. Exemple :Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx3 est bornée.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

42 PARITÉ D"UNE FONCTIONOn a pour toutx2R:

16sinx61

464sinx64

764sinx361

76g(x)61

gest donc bornée surR.Propriété 1 :Sifune fonction monotone sur un intervalleI= [a;b]alors fest bornée.Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx2[a;b], on a alors :a6x6b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"où :f(a)6f(x)6f(b). On peut prendrem=f(a)et

M=f(b),fest donc bornée.

2Paritéd"unefonction

2.1FonctionPaire

Définition 5 :On dit qu"un fonctionfest paire si et seulement si l"on a : êSon ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.

ê8x2Df,f(x) =f(x)Exemples :

Les fonctions suivantes sont paire sur leur ensemble de définition : f(x) =x2,f(x) =cosx,f(x) =sinxx ,f(x) =5x4+3x21 Remarque :Ces fonction paires doivent leur nom au fait que les fonctions po- lynomes qui ne contiennent que des puissances paires sont telle que : f(x) =f(x)PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

2.2 FONCTION IMPAIRE5Propriété 2 :La représentation d"une fonction paire est symétrique par

rapport à l"axe des ordonnées.On a donc le graphe suivant pour une fonction paire :

2.2Fonctionimpaire

Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : êSon ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.

ê8x2Df,f(x) =f(x)Exemples :

Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f(x) =x3,f(x) =sinx, tanx,f(x) =1x ,f(x) =4x33x Remarque :Ces fonction impaires doivent leur nom au fait que les fonc- tions polynomes qui ne contiennent que des puissances impaires sont telle que f(x) =f(x)Propriété 3 :La représentation d"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"origine.On a donc le graphe suivant pour une fonction impaire :

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

63 AUTRES SYMÉTRIE3Autressymétrie

3.1

Symétrie par rapport à un axe vertical

Soit la fonctionftel quef(x) =x22x1 dont la courbe est représentée ci-dessous :Manifestement la courbe semble symétrique par rapport à l"axe verticale x=1. Pour montrer cela, prenons un nouveau repère centré enA(1;0)en gar- dant le même système d"unité. Un pointMde la courbe a pour coordonnée dans le repère d"origine (x;y=f(x))et dans le nouveau repère(X;Y=g(X)). Pour

montrer la symétrie, il suffit de montrer que la nouvelle fonctiongest paire.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

3.2 SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UN POINT7Théorème 1 :SoitA(a;0)dans le repère(O,~ı,~â).

Si un pointMa pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,~ı,~â)et(X;Y)dans un repère(A,~ı,~â), alors, on a les relations (X=xa

Y=yRevenons à notre exemple, on a alors :

(X=x1

Y=f(x),(x=X+1

g(X) = (X+1)22(X+1)1 (x=X+1 g(X) =X2+2X+12X21,(x=X+1 g(X) =X22 Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbe de fest symétrique par rapport à la droitey=1.

3.2Symétrieparrapportàunpoint

Soit la fonctionftel quef(x) =2x1x+1dont la courbe est représentée ci- dessous :PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

83 AUTRES SYMÉTRIEManifestement la courbe semble symétrique par rapport au pointI(1;2).

Pour montrer cela, prenons un nouveau repère centré enI(1;2)en gardant le d"origine (x;y=f(x))et dans le nouveau repère(X;Y=g(X)). Pour montrer la

symétrie, il suffit de montrer que la nouvelle fonctiongest impaire.Théorème 2 :SoitI(a;b)dans le repère(O,~ı,~â).

Si un pointMa pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,~ı,~â)et(X;Y)dans un repère(I,~ı,~â), alors, on a les relations (X=xa

Y=ybRevenons à notre exemple, on a alors :

(X=x+1

Y=f(x)2,8

:x=X1 g(X) =2(X1)1X1+12,8 :x=X1 g(X) =2X3X 2 8 :x=X1 g(X) =2X32XX ,8 :x=X1 g(X) =3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe defest symétrique par rapport au pointI. Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x33x2+1 représentée ci-dessous. 1)

Déduir eles courbes des fonctions g,

h,kdéfinies surRpar : a)g(x) =f(x) b)h(x) =jf(x)j c)k(x) =f(x) 2)

On définie sur Rla fonctionFpar :

F(x) =f(jxj).

a)

Démontr erque la fonction Fest

paire b) En déduir ela r eprésentationde F/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

3.3 DES REPRÉSENTATIONS DÉDUITES PAR SYMÉTRIE91)a) Soient MetM0les points deCfetCg

d"abscissesx. On a donc :

M(x;f(x))etM0(x;f(x))

SoitIle milieu de[MM0]. Les coor-

données deIsont :I(x;0). Le point

Iest donc sur l"axe des abscisses.

Donc, pour tout pointMdeCf

d"abscissex, le pointM0deCgd"abs- cissexest tel que :M0=S(Ox)(M).

La courbeCgest donc bien l"image

deCfpar la symétrie par rapport à (Ox)b)La fonction hest tel queh(x) =f(x) lorsquef(x)>0 eth(x) =f(x) lorsquef(x)<0. On déduit alors la courbeChen ne changeant rien lorsquef(x)>0 et en faisant une symétrie par rapport à l"axe(Ox) lorsquef(x)<0.c)Soit Mle point deCfd"abscissex.

On a donc :M(x;f(x)).

SoitM0le point deCkabscissex.

Ainsi :M0(x;f(x))

SoitIle milieu de[MM0]. Les co-

ordonnées deIsont :I(0;f(x)). Le pointIest donc sur l"axe des ordon- nées.

Donc, pour tout pointMdeCfabs-

cissex, le pointM0deCkd"abscisse xest tel que :M0=S(Oy)(M).

La courbeCkest donc bien l"image

deCfpar la symétrie par rapport à (Oy).a)On a pour tout xréel :F(x) =f(j xj) =f(jxj) =F(x) La fonctionFest donc paire.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

105 RÉSOLUTION GRAPHIQUEb)On déduit la courbe CFde la courbe

C fen ne changeant rien six>0 et en faisant une symétrie par rapport

à l"axe(Oy)six<04Variationd"unefonction

Définition 7 :SoitIun intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non) Soitfune fonction définie au moins surI. On dit que :

êfestcroissantesur I si, et seulement si :

pour tousuetvdeI:v>u)f(v)>f(u)

êfestdécroissantesurIsi, et seulement si :

pour tousuetvdeI:v>u)f(v)êfestmonotonesurIsi, et seulement si :

fest croissante surIou décroissante surI.Remarque :On dit qu"une fonction craoissante conserve la relation d"ordre

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