[PDF] Cours de Techniques Quantitatives Appliquées

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N={0,1,2,···}.

x ??f?? ??f(x) = 0? ?? ??? ???x??? ?? ???? ??f? f(x) =? ?1??x <2,

2??x≥3.

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1=-b-⎷Δ

2a x

2=-b+⎷Δ

2a.

Δ = 9 + 8 = 17>0,

x

1=3-⎷17

2 x

2=3 +⎷17

2

Δ = 4-4 = 0,

Δ = 1-4 =-3<0,

x

1=4-⎷12

2 =4-2⎷3 2 = 2-⎷3 x

2=4 +⎷12

2 =4 + 2⎷3 2 = 2 +⎷3. ⎷3? f

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1(x) =x-2x+ 1

h ??????? ????R2??? ?? ?????? ?? ???? ?? ???? ??? ???????(x,y)????x??????? ????R??y ??????? ??f? ?? ?????? ?? ??????z0??? ????? ????? ?? ?????? ?? ??????z0??? ??? ?????? ??? ax+by+c? ??a?b??c???? ??? ??????? ????? ??????? ????? ??? ???? ?????? ??????? ???? ?????f(x,y) =ax2+bxy+cy2+dx+ey+f0? ??a?b?c?d?e??f0???? ??? ??????? ?????

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f

1(x) =?

1??x <1,

2??x≥1,

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1(1 +h)-f1(1)h

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1(1 +h)-f1(1)h

=2-2h = 0. f

2(h)-f2(0)h

=-h-0h =-1 f

2(h)-f2(0)h

=h-0h = 1. ????? ??????? ?? ????? ?? ?⎷h-0h =1⎷h lim h→01⎷h f(x) =x+ 3??g(x) = 2x-5? ?? ?f(g(x)) =f(2x-5) = (2x-5) + 3 = 2x-2? ????? ?(x) = 0R f(x) =ax+b?a??b?????Rf ?(x) =aR ?(x) =nxn-1R f(x) =⎷x[0,+∞[f ?(x) =12 ⎷x]0,+∞[f(x) =1xR\ {0}f ?(x) =-1x

2R\ {0}f(x) =ax+bcx+d?a?b?c??d????? ??? ?????R\ {-d/c}f

f ?1(x) =f?(g(x))×g?(x) =n?1x n-1

× -1x

2=-nx-n-1.

x=x0? ?? ?? ????∂f∂x (x0,y0), ??y=y0? ?? ?? ????∂f∂y (x0,y0). ∂f∂x (x0,y0) = 2x0 ∂f∂y (x0,y0) = 1. ∂f∂x (x0,y0) = limh→0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h ??∂f∂y (x0,y0) = limh→0f(x0,y0+h)-f(x0,y0)h z=f(x0,y0) +∂f∂x (x0,y0)(x-x0) +∂f∂y (x0,y0)(y-y0). (1,1,2)? ?? ? ∂f∂x (x,y) = 2x, ∂f∂x (1,1) = 2. ∂f∂y (x,y) = 2y, ∂f∂y (1,1) = 2. z= 2x+ 2y-2. ?u=?xu y u? ?u=?1 2? ?f(x0,y0) =( ((∂f∂x (x0,y0) ∂f∂y (x0,y0)) (1,2)? ?? ? ∂f∂x (x,y) = 2xy ∂f∂y (x,y) =x2, -→?f(x0,y0) =?4 1? f ?(x) = 2ax+b= 2a(x+b/2a). ??f??? ?????? ??? f ?1(x) = 3x2+ 6x+ 3 = 3(x+ 1)2. f(x) =x2+ 5x+ 1? ?? ? f ?(x) = 2x+ 5 f f f ∂f∂x

2(x,y)??∂2f∂y∂x

2(x,y)

∂2f∂x∂y

2f∂y∂x

(x,y) =∂2f∂x∂y (x,y).

H(f)(x0,y0) =(

2f∂x

2(x0,y0)∂2f∂y∂x

(x0,y0)

2f∂x∂y

(x0,y0)∂2f∂y

2(x0,y0))

Hessf(x0,y0) =∂2f∂x

2(x0,y0)×∂2f∂y

2(x0,y0)-∂2f∂y∂x

(x0,y0)×∂2f∂x∂y f

2(x,y) =-x2-y2?f3(x,y) =x2-y2? ?? ?

?f1(x,y) =?2x 2y? ,--→?f2(x,y) =?-2x -2y? ,--→?f3(x,y) =?2x -2y?

Hessf1(x,y) = 4,Hessf2(x,y) = 4,Hessf3(x,y) =-4.

2??? ∂2f∂x ∂2f∂x

2?? ???∂2f∂y

2f∂y∂x

(x,y) =∂2f∂x∂y (x,y),

2f∂x

2(x0,y0)×∂2f∂y

2(x0,y0)>?∂2f∂y∂x

(x0,y0)? 2 ≥0, ∂2f∂x

2(x0,y0)??∂2f∂y

2(x0,y0)???? ?? ???? ?????? ?? ??? ? ???? ??? ??????

?? ?????(0,0)? ?? ? -→?f(x,y) =?4x-3y -3x-2y?

H(f)(x,y) =?4-3

-3-2? n=a+b? ??? x ∂f∂x (x,y) +y∂f∂y (x,y) =nf(x,y). f ?????? ?????? ?? ?? ?????? ??f??? ?? ???? ??????? ?? ??????? ???? ?? ?????? ??f?? ?????? 5) f ?(x) = 2(x2-5)(2x) + 4x= 4x(x2-4) = 4x(x-2)(x+ 2). ?? ??????? ??????? ??f??? ?????? ?? ?????x??? f ??(x) = 4(x2-4) + 4x(2x) = 4x2-16 + 8x2= 12x2-16 = 4(3x2-4). ?? ??? ??????-2??2???? ??? ?????? ??f?-2??2???? ??? ?????? ?????? ????0??? ?? 5) ??? ?????? ????f(-2) = 9??f(2) = 9? ?? ????f(-4) = 153??f(4) = 153? ???[-4,4]? ?f(x0,y0) =?0 0?

2f∂x

2f∂x

f(x,y) =x1 +x2+y2. ?f(x,y) =( (1 +x2+y2-2x2(1 +x2+y2)2 -2xy(1 +x2+y2)2) (1 +y2-x2(1 +x2+y2)2 -2xy(1 +x2+y2)2)

2f∂x

2(x,y) = 2x(-3 +x2-3y2)(1 +x2+y2)3,

∂2f∂x

2(1,0) =-12

??∂2f∂x

2(-1,0) =12

2f∂y

2(x,y) =-2x(-3y2+ 1 +x2)(1 +x2+y2)3

∂2f∂y

2(1,0) =-12

??∂2f∂y

2(-1,0) =12

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2f∂x∂y

(x,y) = 2y(-1 + 3x2-y2)(1 +x2+y2)3, ∂2f∂x∂y (1,0) = 0 ∂2f∂x∂y (-1,0) = 0. ?? ?? ?????? ???Hess(f)(1,0) = 1/4?? ???Hess(f)(-1,0) = 1/4? ?????∂2f∂x

2(1,0)<0? ??

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2(-1,0)>0? ?? ?????(-1,0)??? ??

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2y-x+ 1?

y=-3? ?? ??????-1/4??y=-1/2???? ????? ? ??????? ??????? ?? ??????0? x=-3? ?? ??????-1/4??x=-1/2???? ????? ? ??????? ??????? ?? ??????0? ?? ???? ?????? ?????? ??f??? ????-1?? ?????(-1,-1)?? ?? ???? ?????? ???6??? ??????(0,-3)??(-3,0)? 0? ??? ????? ?? ?????M?? ???? ???? ????? ??? ?? ??????? ????? ??f? ?? ???? ??????? ?? ?? ?????

L(x,y,λ) =f(x,y) +λ?(x,y).

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