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Intégration et primitives
Table des matières
1 Notion d"intégrale2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole. . . . 3
1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Primitive6
2.1 Théorème fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Primitive vérifiant une condition initiale. . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Primitive des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Règles d"intégrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Exemples de calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Intégrale d"une fonction continue11
3.1 Calcul à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Propriétés algébriques de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Calcul du volume d"un solide15
4.1 Présentation d"une méthode de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Calcul du volume d"une sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Volume d"un cône. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
PAULMILAN1 TERMINALES
1 NOTION D"INTÉGRALE
1 Notion d"intégrale
Le but de l"intégration est de calculer la surface délimitée par une courbe et l"axe des abscisses.1.1 Définition
Définition 1 :Soitfune fonctioncontinue et positivesur un intervalle [a;b].SoitCfsa courbe représentative.
Le plan est muni d"un repère orthogonal(O,I,J).On appelle
Unité d"aire (u.a.): l"aire du rectangle bâti à partir des points O, I et J. Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbeCf, l"axe des abs- cisses, et les droites d"équationx=aetx=b(a?b). Ce domaine est l"ensemble des pointM(x;y)du plan tels que : a?x?bet 0?y?f(x)Intégraledefsur[a;b]:lamesurede
l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbeCf.On la note :?
b af(x)dx1 u.a?
b af(x)dx O Cf IJ a bRemarque :
?b af(x)dxse lit : " somme ou intégrale deaàbdef(x)dx». La variable "x" est une variable muette, c"est à dire qu"elle n"est plus présente lorsque le calcul est effectué. La variablexpeut être remplacée par :t,u, ou toute autre lettre à l"exception deaetb.Exemple :On donne la représentation
suivante d"une fonctionfsur [-2;3] ainsi que les mesures : OI = 2 cm etOJ = 3 cm. Calculer :
L"unité d"aire.
?3 -2f(x)dxpuis l"aire en cm2 121 2 3-1-2-3
OIJL"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2
Pour calculer l"intégrale, il faut calculer l"aire sous la courbe enunité d"aire soit le nombre de rectangles. Il y a 7 rectangles pleins un demi rectangle en haut àPAULMILAN2 TERMINALES
1.2 EXEMPLE DE CALCUL D"INTÉGRALE:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE
gauche et un triangle en haut à droite de côté respectifs 2 et 1 soit2×12=1 rec- tangle. On en déduit donc : 3 -2f(x)dx=8,5 etA=8,5×6=51 cm21.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole
Le problème :Calculer l"intégrale de la fonction carréefsur[0;1]. Il s"agit donc de calculer l"aireAsous la parabole dans l"intervalle [0;1]. L"idée de Riemann est d"encadrer cette aire par deux séries de rectangles. On divise l"intervalle [0;1] ennparties. Sur chaque petit intervalle?i n,i+1n? , on détermine la valeur minimale et maximale de la fonction carrée. Comme cettefonction est croissante sur [0;1], la valeur minimale estf?i n? et la valeur maximalef?i+1n? On obtient alors ces deux séries de rectangles comme la figure ci-dessous : 1 Oi nf ?i n?f ?i+1 n? i+1 n1n2nnn=1...SuiteTnSuiteSn
On définit deux suites avecf(x) =x2:
La suite(Sn)des rectangles hachurés dont l"aire estSn: S n=?1 n? 2×1n+?2n?
2×1n+···+?n-1n?
2×1n
12+22+···+ (n-1)2
n3 La suite(Tn)des rectangles bleus dont l"aire estTn: T n=?1 n? 2×1n+?2n?
2×1n+?3n?
2×1n+···+?nn?
2×1n
12+22+···+n2
n3=Sn+1nL"aire sous la courbeAvérifie donc :Sn?A?Tn
PAULMILAN3 TERMINALES
1 NOTION D"INTÉGRALE
Algorithme :Calculer à l"aide d"un algorithme les valeurs deSnetTnlorsque n=5, 10, 20, 100, 1000Programme classique pour déterminer les
termes d"une suite définie par une somme. On obtient alors les résultats suivants à 10 -4 près : nST50,24000,4400
100,28500,3850
200,30880,3588
1000,32840,3384
10000,33280,3338
Variables
N,I,S,T
Algorithme
LireN0→S
PourIvariant de 1 àN-1
S+I2N3→S
FinPour
S+1N→T
AfficherSetT
On constate que les deux suites semblent converger vers la même limite : S1000?T1000?0,333
Remarque :D"après le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite(Sn) est croissante et la suite(Tn)est décroissante. De plus leur différenceTn-Sn=1ntend vers 0. On dit alors que les suites sont adjacentes.Démonstration :Montrons que ces deux suites convergent vers la même li-
mite. On peut montrer par récurrence que la somme des carrés est égale à : 12+22+···+n2=n(n+1)(2n+1)
6 En appliquant cette formule à l"ordren-1, on obtient : 12+22+···+ (n-1)2=(n-1)n[2(n-1) +1]
6=n(n-1)(2n-1)6
En appliquant cette relation aux suitesSnetTn, on obtient : S n=n(n-1)(2n-1)6n3=13-12n+16n2
T n=n(n+1)(2n+1)6n3=13+12n+16n2
On a :
lim n→+∞-12n+16n2=0 et limn→+∞12n+16n2=0
On en déduit par addition : lim
n→+∞Sn=13et limn→+∞Tn=13
Comme les deux suites encadrentA, on a :A=1
3u.a. et donc?
10x2dx=13
Calculette TI 82 :Pour calculer la valeur exacte de cette intégrale faire (dans le menu math) fonctIntégr(X2,X,0,1)?Frac on retrouve 1/3
PAULMILAN4 TERMINALES
1.3 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE
1.3 Intégrale d"une fonction continue positive
On généralise cet encadrement à une fonctionfquelconque continue et posi- tive. On divise l"intervalle[a;b]ennparties égales. Sur chaque petit intervalle, on détermine la valeur minimale et maximale de la fonctionf. L"aire sous la courbe est alors encadrée par deux suites correspondantes à l"aire des rectangles hachu- rée et l"aire des rectangles bleus. Ces deux suites convergent vers la même limite qui correspond à l"intégrale defsur[a;b](théorème admis) comme le montre la figure ci-dessous. abC f OSuiteTn
SuiteSn
Les suites(Sn)et(Tn)convergent vers
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