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Calcul intégral
Mesurer une surface plane délimitée par une ou plusieurs courbes.Table des matières
1 Intégrale d"une fonction continue positive2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Méthode des rectangles : la quadrature de la parabole. . . . . . . . 3
1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Intégrale et primitive5
2.1 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Calcul d"une intégrale à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . 6
2.4 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Exemples d"intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Propriétés de l"intégrale8
3.1 Propriétés vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Intégrale et aire. Valeur moyenne10
4.1 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ
1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE
1 Intégrale d"une fonction continue positive
1.1 Définition
Définition 1 :Soitfune fonctioncontinue et positivesur un intervalle[a;b]. SoitCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal(O,I,J).On appelle
Unité d"aire (u.a.): l"aire du rectangle construit à partir des points O, I et J. Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbeCf, l"axe des abs- cisses, et les droites d"équationx=aetx=b. Ce qui se traduit par : a?x?bet 0?y?f(x)Intégrale defsur [a;b]: la mesure de
l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbeCf.On note :
b af(x)dx1 u.a?
b af(x)dx O Cf IJ a bRemarque :
?b af(x)dxse lit : " somme ou intégrale deaàbdef(x)dx». La variable "x" est une variable muette, c"est à dire qu"elle n"est plus présente lorsque le calcul est effectué. Elle peut être remplacée par :t,u, ou toute autre lettre à l"exception deaetb.On peut ainsi écrire indistinctement :?
b af(t)dt,? b af(u)du Exemple :Soit la courbe d"une fonctionfsur[-2 ; 3], OI = 2 cm et OJ = 3 cm.L"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2.
Pour calculer?
3 -2f(x)dx, on s"aide du quadrillage, on a :7 rectangles pleins
un demi rectangle en haut à gauche1 2 3-1-2-31 2OIJ un triangle en haut à droite de côté respectifs 2 et 1 soit2×12=1 rectangle.On a alors :
3 -2f(x)dx=8,5 et l"aire du domaineA=8,5×6=51 cm2. Dans le cas général d"une fonction dont la représentation n"est pas une ligne bri- sée mais une courbe, on ne peut plus utiliser cette méthode de quadrillage. On encadre alors l"aire entre deux séries de rectangles. C"est l"objet de paragraphe suivant : méthode des rectangles.PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ
1.2 MÉTHODE DES RECTANGLES:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE
1.2 Méthode des rectangles : la quadrature de la parabole
Définition 2 :Quadrature de la parabole.
La quadrature de la parabole est le calcul de l"aire de la surface délimitée par un segment de parabole et une droite. Exemple :Encadrer l"aireAsous la parabole de la fonctionf:x?→x2sur[0 ; 1]. L"idée de Riemann est d"encadrer cette aire par deux séries de rectangles :On divise [0; 1] ennparties.
Sur?i n;i+1n? , commefest croissante :la valeur minimale estf?in?
etla valeur maximalef?i+1n?
On obtient 2 rectangles de largeur1n
et de hauteursf?i n? etf?i+1n?SoitSnetTnla somme des aires respec-
tives des rectangles inférieurs et des rec- tangles supérieurs 1 Oi nf ?i n?f?i+1 n? i+1 n1n2nnn=1...SuiteTnSuiteSn
Algorithme :On automatise le calcul avec le
programme en Python suivant :Pour A(100), on a : 0,328 35?A?0,338 35
Pour A(1000), on a : 0,332 83?A?0,333 83
Pour A(10000), on a : 0,333 28?A?0,333 38
deff (x) : returnx??2 defA(n) : s=0 ; t=0 foriin range(n) s=s+1/n?f ( i/n) t=t+1/n?f (( i +1)/n) returns , t Les suites(Sn)et(Tn)semblent converger vers 0,333 3... soit13 Démonstration :Montrons que(Sn)et(Tn)convergent vers la même limite.Sn=1n?
02+?1n?
2 +?2n? 2 +···+?n-1n? 2?12+22+···+ (n-1)2n3
Tn=1n?
?1n? 2 +?2n? 2 +?3n? 2 +···+?nn? 2?12+22+···+n2n3=Sn+1n
On peut montrer par récurrence que : 1
2+22+···+n2=n(n+1)(2n+1)
6 En appliquant cette formule à l"ordren-1, on obtient : 12+22+···+ (n-1)2=(n-1)n[2(n-1) +1]
6=n(n-1)(2n-1)6
PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ
1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE
On a alors :Sn=n(n-1)(2n-1)6n3=2n3-3n2+16n3=13-12n+16n2Or lim
n→+∞-12n+16n2=0 par somme limn→+∞Sn=13
T n=Sn+1 net limn→+∞1n=0 par somme limn→+∞Tn=limn→+∞Sn=13OrSn?A?Tn, d"après le th. des gendarmes :A=1
3u.a. d"où?
10x2dx=13
La calculatrice ti 83 :
10X2dX?Frac donne bien le résultat trouvé.
1.3 Intégrale d"une fonction continue positive
Théorème 1 :Intégrale d"une fonctionfcontinue et positive sur I= [a;b].On divise I ennparties égales.
Sur?
a+(b-a)in;a+(b-a)(i+1)n? , on détermine les valeurs minimales et maximales def. L"aire sous la courbe est alors encadrée par deux suites(Sn)et(Tn)correspon- dantes à l"aire des rectangles inférieurs et l"aire des rectangles supérieurs. (Sn)et(Tn)convergent vers la même limite correspondant à l"intégrale defsur I. ?b Remarque :Le symbole dxdans l"intégrale est une notation différentielle qui symbolise une très petite distance et représente la largeur de chaque petit rec- tangle.f(x)dxreprésente l"aire d"un rectangle et le symbole?devant signifie que l"on fait la somme des aires de chaque petit rectangle. abC f OSuiteTnSuiteSn
Exemple :Calculer l"intégrale :?
1 -1?1-x2dx.
y=⎷1-x2↑(2)?y2=1-x2?x2+y2=1
Cest le demi-cercle de centre O et de rayon 1 (y?0). L"intégrale est l"aire du demi-disque de rayon 1 soitπ 2.Conclusion :
1 -1?1-x2dx=π2
1-11 y=⎷1-x2 O C1.4 Définition cinématique de l"intégrale
On a donné une définition géométrique de l"intégrale, on peut aussi endon- ner une définition cinématique. Pour un mobile se déplaçant sur un axe àla vi-PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ
tessev(t), la distancedparcourue par le mobile entre les instantst1ett2vaut : d=? t2 t1v(t)dt
2 Intégrale et primitive
2.1 Théorème fondamental de l"intégration
Théorème 2 :Soit une fonctionfcontinue et positive sur un intervalle[a;b].La fonctionFtelle queF(x)=?
x af(t)dtest une primitive defs"annulant ena. Démonstration :Dans le cas oùfest croissante sur[a;b]. On revient à la définition de la dérivée, il faut montrer que six0?[a;b]: F ?=f?limh→0F(x0+h)-F(x0) h=f(x0)h>0, par soustraction d"aire on a :
F(x0+h)-F(x0) =?
x0+h af(t)dt-? x0 af(t)dt=? x0+h x0f(t)dt=A
fest croissante sur[a;b], donc sit?[x0;x0+h]: f(x0)?f(t)?f(x0+h) donc en encadrant l"aireApar le rectangle in- férieur (hachuré) et le rectangle supérieur (gris), on a :Oabx0x0+h←A
f(x0)×h?A?f(x0+h)×h÷h?f(x0)?A h?f(x0+h) ?f(x0)?F(x0+h)-F(x0) h?f(x0+h) h<0, on montre de même que :f(x0+h)?F(x0+h)-F(x0)h?f(x0) On sait quefest continue sur[a;b], donc limh→0f(x0+h) =f(x0) D"après le théorème des gendarmes, on a : lim h→0F(x0+h)-F(x0) h=f(x0) Six=a, l"aire d"un segment étant nulle, on a bienF(a) =0. Remarque :Ce théorème est essentiel car il permet de calculer une intégrale par une primitive.PAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ
2 INTÉGRALE ET PRIMITIVE
2.2 Existence de primitives
Théorème 3 :Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives. Démonstration :Dans le cas oùfest continue sur un intervalle fermé I= [a;b]. fadmet alors un minimumm, donc?x?I,f(x)?mSoit la fonctiongtelle que :g(x) =f(x)-m
gest continue (car somme de fonctions continues) et positive sur[a;b].SoitG(x) =?
x ag(t)dt, d"après le th. fondamental,Gest une primitive degsur I. La fonctionFdéfinie sur I par :F(x) =G(x) +mxest une primitive defcar : F ?(x) =G?(x) +m=g(x) +m=f(x)-m+m=f(x) Remarque :On admet ce théorème pour tout intervalle deR.2.3 Calcul d"une intégrale à partir d"une primitive
?On étend la validité du théorème fondamental aux fonctions continuesnon nécessairement positives. Théorème 4 :Soitfune fonction continue sur un intervalle I etFest une primitive quelconque def, alors pour tous réelsaetbde I on a : b af(x)dx=[F(x)]b a=F(b)-F(a) Démonstration :Sifest continue sur I alorsfadmet une primitiveGsur I qui s"annule ena. On a alors pour tous réelsaetbde I :G(x) =?
x af(t)dtdonc? b af(x)dx=G(b) SoitFune primitive defsur I, il existe alorsk?Rtel que :F(x) =G(x) +k.On a alors :F(a) =ketG(b) =F(b)-k=F(b)-F(a).
Conclusion :
b af(x)dx=F(b)-F(a).Exemples :
1) Calculer l"intégrale :
2 -1(x2-4x+3)dx 2 -1(x2-4x+3)dx=?x33-2x2+3x?
2 -1=?83-4×2+3×2? -13-2-3? 83-8+6+13+2+3=6
2) Calculer l"intégrale :
2 03x (x2+1)2dx 2 03x (x2+1)2dx=? 2032×2x(x2+1)2dx=?32×-1x2+1?
2 0=32? -15+1? =65PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ
2.4 INTÉGRATION PAR PARTIES
2.4 Intégration par parties
Théorème 5 :Le principe
Soituetvdeux fonctions dérivables sur[a;b]de dérivéesu?etv?continues, alors : b auv?(x)dx=?uv(x)?b a-? b au?v(x)dx Démonstration :siuetvsont dérivables sur[a;b]alors,uvest dérivable et : uv)?=u?v+uv??uv?=(uv)?-u?v Commeu?etv?sont continues, on peut intégrer l"égalité, d"où : b auv?(x)dx=? b a?(uv)?(x)-u?v(x)?dxlinéarité=? b a(uv)?(x)dx-? b au?v(x)dx ?uv(x)?b a-? b au?v(x)dx2.5 Exemples d"intégration par parties
Le choix deuetv?est stratégique. Il faut pouvoir trouver une primitive deu?v1)Intégrale.Calculer :?
10x exdx
On ne peut trouver une primitive dex?→x excar non de la formeu?eu. Le "x" devant l"exponentielle est en trop. On intègre par parties en posant : u(x) =xu?(x) =1 v ?(x) =exv(x) =ex ?10x exdx=?
x ex?10-? 10exdx=?
x ex?10-? ex?10= (e-0)-(e-1) =12)Primitive.Déterminer une primitive de lnxsur]0 ;+∞[
SoitFla primitive de ln qui s"annule en 1. On a alors :F(x) =? x1lntdt.
La primitive de ln n"est pas connue, on décompose lnten : lnt=1×lnt. u(t) =lntu?(t) =1 tv?(t) =1v(t) =tF(x) =?
x1lntdt=?
tlnt? x 1-? x 1dt=? tlnt? x 1-? t? x1=xlnx-x+1
La primitiveGde lnxde constante d"intégration nulle :G(x) =xlnx-x. Remarque :Bien noter l"astuce consistant à décomposer lnt=1×lnt.PAUL MILAN7TERMINALE MATHS SPÉ
3 PROPRIÉTÉS DE L"INTÉGRALE
On peut être amené à effectuer une double intégration par parties, lorsque la primitive deu?vnécessite elle-même une intégration par parties.3)Double intégration.CalculerF(x) =?
x -1(1+t)2e2tdtpourx?R. On cherche à faire disparaître le polynôme devant l"exponentielle. u(t) = (1+t)2u?(t) =2(1+t) v ?(t) =e2tv(t) =1 2e2tF(x) =?
x -1(1+t)2e2tdt=?12(1+t)2e2t?x -1-? x -1(1+t)e2tdt 12(1+x)2e2x-?
x -1(1+t)e2tdt =I Pour calculerI, on fait de nouveau une intégration par parties, on pose alors : u(t) =1+tu?(t) =1 v ?(t) =e2tv(t) =1 2e2tI=?12(1+t)e2t?x
-1-12? x -1e2tdt=12(1+x)e2x-12?12e2t?x
-1 12(1+x)e2x-14e2x+14e-2
On obtient finalement pourF(x),
F(x) =1
13 Propriétés de l"intégrale
3.1 Propriétés vectorielles
Propriété 1 :Soitfune fonction continue sur un intervalle I alors :1)?a?I,?
a af(x)dx=02)?a,b?I,?
a bf(x)dx=-? b af(x)dx3)Relation de Chasles :?a,b,c?I,?
c af(x)dx=? b af(x)dx+? c bf(x)dxRemarque :On retrouve des relations similaires avec les vecteurs :--→AA=-→0 ,-→BA=--→AB et--→AC=-→AB+-→BC
PAUL MILAN8TERMINALE MATHS SPÉ
3.2 INTÉGRALES ET INÉGALITÉS
Démonstration :Ces propriétés découlent immédiatement du calcul à partir d"une primitiveFdef. Par exemple pour la relation de Chasles : b af(x)dx+? c bf(x)dx=F(b)-F(a)+F(c)-F(b) =F(c)-F(a) =? c af(x)dx Remarque :Intégrale d"une fonction paire ou impaire sur un intervalle centrée: Si une fonction est paire, alors d"après la relation de Chasles,on a : a -af(x)dx=? 0 -af(x)dx+? a0f(x)dx=?
a0f(x)dx+?
a0f(x)dx=2?
a0f(x)dx
Si une fonction est impaire, alors d"après la relation de Chasles, on a : a -af(x)dx=? 0 -af(x)dx+? a0f(x)dx=-?
a0f(x)dx+?
a0f(x)dx=0
Théorème 6 :Linéarité de l"intégrale Soitfetgdeux fonctions continues sur un intervalle I contenantaetb, alors : ?α,β?R,? b a(αf+βg)(x)dx=α? b af(x)dx+β? b ag(x)dx Démonstration :SoitFetGprimitives respectives defetg, on a alors : b af(x)dx+β? b ag(x)dx=α[F(b)-F(a)] +β[G(b)-G(a)] = [αF+βG](b)-[αF+βG](a)? linéarité de la primitive=? b a(αf+βg)(x)dxExemple :On donne?
10f(x)dx=1
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