Première S - Extremums dune fonction
Si une fonction dérivable sur un intervalle I
Extremum dune fonction de deux variables
Définition 1 – Extremum local Définition 2 – Point critique ... Théorème 2 – Signe et extremum d'une fonction quadratique.
Première ES - Extremums dune fonction
admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition. On a = 6. 12 8 donc ' = 3. 12 12. Donc ' 0 12 et ' 3 3
VARIATIONS DUNE FONCTION
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints.
Fonctions de 2 et 3 variables
lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f.
Optimisation dune fonction dune variable
Définition: minimum maximum. Propriétés Définition et propriétés d'une fonction convexe ... On dit que f admet un extremum en x? si et seulement si f.
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
I. Définition. Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ? Méthode : Déterminer les coordonnées de l'extremum d'une fonction polynôme.
Fonctions de 2 et 3 variables
lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f.
Fonctions de plusieurs variables définies sur une partie de R
+ × R+. La recherche d'extremum de la fonction dépend de la nature topologique de l'ensemble de définition. ?. On peut déjà
Fonctions de 2 ou 3 variables
on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous.
41 croissance décroissance et extremums d’une fonction
Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
41 croissance décroissance et extremums d’une fonction
des x et que le graphique d’une fonction monte on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend la fonction est dite décroissante Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximums et minimums d’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et
Variations et fonctions de référence A) Rappels : Sens de
une fonction définie sur un ensemble D u et k un réel La fonction notée u+k est la fonction définie sur D u par : ( )=u x+k Propriété : Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et un réel Les fonctions u(x) et u(x)+k ont les mêmes variations sur I Exemples : 2 Fonction ku Définition :
I Extremums d’une fonction - pagesperso-orangefr
I Extremums d’une fonction Définition n°1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et c ? I On dit que f (c) est un maximum de f sur I si pour tout x ? I f (x) ? f (c) On dit que f (c) est un minimum de f sur I si pour tout x ? I f (x) ? f (c) Exemple n°1 Soit fonction f définie sur I=[?1 ; 6] et
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Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
Quelle est la différence entre extremum relatif et extremum absolu?
Le terme extremums relatifsse rapporte aux maximums et minimumsd’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et au minimum d’une fonction sur l’ensemble de son domaine. Pour bien saisir chacune de ces notions examinons d’abord le graphique ci- dessous.
Quels sont les extremums d’une fonction ?
Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.
Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .
Comment calculer un extremum local ?
1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.
4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction
André Lévesque4 - 1
Applications de la dérivée 44.1 Croissance, décroissance et extremums d"une fonction
Pierre Fermat
1601-1665
Mathématicien français,
le plus grand du XVIIe siècle et l"un des plus grands de toute l"Histoire. Fermat fut un précurseur du calcul différentiel, de la géométrie analytique et du calcul des probabilités. C"est lui qui a introduit vers 1628 la notion de maximum et de minimum relatif d"une fonction. Il a démontré que les extremums relatifs d"une fonction (x) sont donnés par(x+Δx) - (x)
Δx = 0
en faisant disparaître Δx.C"est en utilisant cette
découverte qu"il a défini la droite tangente comme la limite de droites sécantes.La dérivée d"une fonction nous renseigne sur certaines particularitésde son graphique. Elle permet d"identifier entre autres,
pour quelles valeurs de son domaine la courbe croît ou décroît, quelles sont les extremums relatifs ou absolus de la fonction. Intuitivement lorsqu"on se déplace de gauche vers la droite sur l"axe des x et que le graphique d"une fonction monte, on dit que la fonctionest croissante; lorsque le graphique descend, la fonction est ditedécroissante. Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximumset minimums d"une fonction sur une région particulière de sondomaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum etau minimum d"une fonction sur l"ensemble de son domaine. Pour biensaisir chacune de ces notions examinons d"abord le graphique ci-dessous.y
x(b; f(b)) (a; f(a)) (c; f(c)) (d; f(d)) (e; f(e))MIN REL et MIN ABS
MAX REL
MIN REL
MAX REL
MIN RELMIN REL
La fonction associée à ce graphique est
décroissante sur ]-
∞, a[ ? ]b, c[ ? ]d, e[,croissante sur ]a, b[ ? ]c, d[ ? ]e,
4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction
André Lévesque4 - 2
Elle possède
5 extremums relatifs
??? 2 maximums relatifs: (b) et (d) 3 minimums relatifs: (a) , (c) et (e) parmi les minimums relatifs, (a) est le minimum absolu,parmi les maximums relatifs, aucun n"est un maximum absolu; en fait la fonction ne possède pas de maximum absolu.
La dérivée va nous permettre de déterminer à quel endroit de sondomaine, une fonction est croissante ou décroissante. Elle permet ausside localiser tous les extremums relatifs et absolus d"une fonction.
définition 4.1.1 croissanceUne fonction est croissante en x = c,
s"il existe un voisinage V(c) avec c dans le domaine de la fonction tel que ?- x ? V(c) (x) < (c) pour x < c (x) > (c) pour x > c c(c) définition 4.1.2 décroissanceUne fonction est décroissante en x = c,s"il existe un voisinage V(c) avec c dansle domaine de la fonction tel que
?- x ? V(c) (x) > (c) pour x < c (x) < (c) pour x > c c(c) définition 4.1.3 maximum relatifUne fonction possède un maximumrelatif (c) en x = c, s"il existe un voisi-nage V(c) avec c dans le domaine de lafonction tel que
?- x ≠ c de V(c), on a (x) < (c) c(c) définition 4.1.4 minimum relatifUne fonction possède un minimumrelatif (c) en x = c, s"il existe un voi-sinage V(c) avec c dans le domaine de lafonction tel que
?- x ≠ c de V(c), on a (x) > (c) c(c) Les deux premières définitions vont nous permettre de démontrer lerésultat qui suit.4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction
André Lévesque4 - 3
proposition 4.1.1Soit une fonction dérivable en x = c.
a) Si "(c) > 0 alors est croissante en x = c,b) Si "(c) < 0 alors est décroissante en x = c. par définition car > 0 car > 0 par la définition 4.1.1 a) Si "(c) > 0 alors lim x→ c(x) - (c)
x - c> 0 Il existe sûrement un voisinage troué de c pour lequel,(x) - (c)
x - c > 0 .Par conséquent
??? si x - c < 0 alors (x) - (c) < 0 si x - c > 0 alors (x) - (c) > 0 ou d"une façon équivalente ??? (x) < (c) lorsque x < c (x) > (c) lorsque x > cLa fonction est donc croissante en x = c.
b) La démonstration est semblable. exemple 4.1.1 1-1(x) = x
2 - 1 -1 1 g(x)= x 3Déterminer si les fonctions suivantes sont croissantes ou décroissantespour x = -1, x = 1 et x = 0.
a) (x) = x 2 - 1 b) g(x)= x 3 c) h(x) = ⎷‾‾ 3 x 2 ____________ a) Si (x) = x 2 - 1 alors "(x) = 2xPar la proposition 4.1.1 on a
"(-1) = -2 < 0 ? décroît lorsque x = -1 , "(1) = 2 > 0 ? croît lorsque x = 1 , "(0) = 0 On ne peut rien conclure.Si on examine le graphique de la fonction, on note que lorsquex=0 la fonction est ni croissante, ni décroissante. Elle passe parun minimum relatif.
b) Si g(x)= x 3 alors g "(x) = 3x 2Par la proposition 4.1.1 on a
g "(-1) = 3 > 0 ?g croît en x = -1 , g "(1) = 3 > 0 ?g croît en x = 1 , g "(0) = 0 On ne peut rien conclure. Si on examine le graphique de la fonction, on note que lorsque x=0la fonction est croissante.4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction
André Lévesque4 - 4
-1 1 h(x) = ⎷‾‾ 3 x 2 c) Si h(x) = ⎷‾‾ 3 x 2 alors h "(x) = 2 3 3 xPar la proposition 4.1.1 on a
h (-1) = - 23 < 0 ?h décroît lorsque x = -1 ,
h "(1) = 23 > 0 ?h croît lorsque x = 1 ,
h "(0) ?/On ne peut rien conclure.
Si on examine le graphique de la fonction, on note que la fonctionest ni croissante, ni décroissante lorsque x = 0. Elle passe par unminimum relatif.
remarque Si "(c) = 0 ou "(c) ?/ alors peut êtrecroissante en x = c,
décroissante en x = c,
ni croissante, ni décroissante en x = c.
définition 4.1.5 nombre critique on utilise les lettres n.c. pour désigner un nombre critiqueSoit une fonction et c
une valeur du domaine de cette fonction.Si(c) = 0 ou (c) ?/
alors c est appelé nombre critique de la fonction . exemple 4.1.2 x = -1 et x = 0 sont deux valeurs du domaine de la fonction Trouver les nombres critiques de (x) = ⎷‾‾ 3 x 4 + 4⎷‾ 3 x .____________ a) dom = R, b) "(x) = 4 3 x 1/3 + 4 3 x -2/3 = 4(x + 1) 3 3 x 2 ????? 0 si x = -1 ?/ si x = 0 c) n.c.: {-1, 0} . exemple 4.1.3 seul x = 23 fait partie du
domaine de la fonctionTrouver les nombres critiques de (x) = 1
x 2 (x - 1). ____________ a) dom = R \ {0, 1}, b) "(x) = - (3x -2) x 3 (x - 1) 20 si x = 2
3 ?/ si x = 0 ou x = 1 c) n.c.: 2 3 .4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction
André Lévesque4 - 5
Étudier la croissance (ou la décroissance) d"une fonction d"unemanière ponctuelle n"est pas très pratique spécialement lorsqu"ondésire obtenir le comportement graphique de la fonction. Une étudeglobale serait plus appropriée.
proposition 4.1.2 Soit une fonction dérivable sur l"intervalle I = ]a, b[. Si ?- x dans l"intervalle I, a) "(x) > 0 alors est croissante sur I,b) "(x) < 0 alors est décroissante sur I. exemple 4.1.4 si la dérivée change de signe lorsque x = c alors "(c) = 0 ou " est discontinue en x = c mais, pour tous les problèmes que nous allons considérer, les points de discontinuité seront les mêmes que les points où la dérivée n"existe pas la première ligne du tableau des signes de la dérivée contient dans l"ordre croissant, les valeurs du domaine de la fonction pour lesquelles la dérivée s"annule ou n"existe pas ainsi que toutes les valeurs isolées ne faisant pas partie du domaine de cette fonction; la deuxième ligne contient les signes de la dérivée; la troisième ligne repro- duit le comportement de la fonction à l"aide de la proposition 4.1.2 Trouver les intervalles de croissance et de décroissance de(x) = x
3 - 6x 2 + 9x .____________ a) dom = R, b) "(x) = 3x 2 - 12x + 9Pour déterminer où sur le domaine de la fonction, la dérivée estpositive et où, elle est négative, on construit le tableau dessignes de
". Pour cela on doit d"abord déterminer les endroitsoù la dérivée peut changer de signe. Il peut se produire unchangement de signe seulement aux endroits où la dérivée passepar zéro ou n"existe pas. On doit d"abord trouver ces valeurs
"(x) = 3(x 2 - 4x + 3) = 3(x - 3)(x - 1) = ????? 0 si x = 3 ou x = 1 ?/ aucune valeur n.c.: {1, 3} . c) A l"aide des valeurs trouvées, on construit le tableau des signes de la dérivée. x- ∞13∞ "(x) + 0 - 0 +
(x)
d) La fonction estdécroissante sur ]1, 3[ ,
croissante sur ]-
∞, 1[ ? ]3, ∞[ .4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction
André Lévesque4 - 6
Cette étude de la croissance et décroissance d"une fonction nousamène à nous intéresser à la notion d"extremum relatif.
proposition 4.1.3 Si (c) est un extremum relatif de la fonction alors c est un nombre critique.démonstrationSi (c) est un extremum relatif de la fonction alors pour x = c, lafonction
n"est pas croissante ?
"(c) >/ 0(prop. 4.1.1. a)n"est pas décroissante ?
"(c) Nous savons maintenant que lorsque (c) est un extremum relatif, le point c est un nombre critique.Mais attention la réciproque n"est pas vrai,
si le point c est un nombre critique, (c) n"est pas nécessairement un extremum relatif. Pour obtenir les extremums relatifs d"une fonction, il suffit de trouver les nombres critiques de la fonction puis de déterminer ensuite lanature de chaque nombre critique à l"aide d"un test appelé test de ladérivée première.
proposition 4.1.4 test de la dérivée première Soit une fonction, c un nombre critique et a, b deux nombresréels tels quea < c < b ,
est continue sur ]a, b[ ,
c est le seul nombre critique sur [a, b] ,
a) si "(a) > 0 et "(b) < 0 alors (c) est un maximum relatif ,b) si quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] extremum local exercices corrigés
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