[PDF] I Extremums d’une fonction - pagesperso-orangefr

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FONCTIONS PART4

I Extremums d'une fonction

Définition n°1.

Soit f une fonction définie sur un intervalle Iet c ∈ I. ▪ On dit que f(c)est un maximum de fsur Isi, pour tout x ∈ I, f(x) ⩽ f(c). ▪ On dit que f(c)est un minimum de fsur Isi, pour tout x ∈ I, f(x) ⩾ f(c).

Exemple n°1.

Soit fonction

f définie sur I=[-1 ; 6]et représentée ci-dessous. fadmet un minimum sur I qui est le nombre -2 = f(4). ▪ fadmet un maximum sur I qui est le nombre

3 = f(1).

Remarque n°1. Extremum global ou local

Dans l'exemple précédent, nous avons donné les extremums globaux de la fonction car nous avons considéré tout l'ensemble de définition. On pourrait définir des extremums locaux en considérant un intervalle plus petit.

Par exemple, sur l'intervalle [5 ; 6],

f admet -1=f(5)comme minimum et

1=f(6)comme maximum.

Propriété n°1. (admise)

Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable sur

Exemple n°2.

Notons g:

x↦x2la fonction carrée. Nous savons que gadmet un minimum en c=0 . La propriété nous dit qu'alors g'(0)=0

Effectivement, pour tout

x, g'(x)=2x et 2×0=0.

Remarque n°2.

La réciproque de cette propriété est fausse. Notonsh: x↦x3 la fonction cube. On a h'(0)=3×02=0 et pourtant la valeur 0 n'est pas un extremum de la fonction. (Elle est strictement croissante sur ℝ)

II Un exemple d'étude de fonction

Après un énoncé quelconque, on nous annonce que tel ou tel phénomène peut être modélisé

grâce à la fonction f définie sur [0 ; 40] par : f(x) = x3-36x2+285x-2501)Montrer que f(x) = (x-1)(x-10)(x-25)

2)En déduire les racines de

f.

3)Déterminer une expression de

f'(x).

4)Montrer que f'(x)=3(x-5)(x-19).

5)Dresser le tableau de signes de

f'(x).

6)Dresser le tableau des variations de f(x).

7)Quels sont les extremums (ou extrema) de la fonction

f ?

8)Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction

fau point d'abscisse 7. La correction qui résume les savoirs-faire sur les fonctions que vous devez maîtriser.

1)Montrer que

f(x) = (x-1)(x-10)(x-25) . (x-1)(x-10)(x-25) = (x-1)[x2-25x-10x+250] = (x-1)[x2-35x+250] = x3-35x2+250x-x2+35x-250 = x3-36x2+285x-250 = f(x) On développe et on réduit le produit donné et on tombe bien sûr sur f(x).

Par contre, on ne commence pas par écrire "

f(x)= » car c'est ce que l'on veut obtenir.

Ainsi, on a bien :

f(x) = (x-1)(x-10)(x-25).

2)En déduire les racines de

f.

Les racines de f sont 1 ; 10 et 25.

3)Déterminer une expression de f'(x).

On note l'expression de

f(x)donc sans le 'f(x) = x3-36x2+285x-250

Puis on commence à déterminer celle de

f'(x) donc avec le ' f'(x) = 3x2-36×2x+285×1-0On simplifie bien sûr cette expression f'(x) = 3x2-72x+285

4)Montrer que

f'(x)=3(x-5)(x-19)3(x-5)(x-19) = 3[x2-19x-5x+95] = 3(x2-24x+95) = 3x2-72x+285 = f'(x) On développe et on réduit le produit donné et on tombe bien sûr sur f'(x)Par contre, on ne commence pas par écrire " f'(x)= » car c'est ce que l'on veut obtenir.

Ainsi, on a bien : f'(x)=3(x-5)(x-19).

5)Dresser le tableau de signes de f'(x).

On travaille avec la forme factorisée de f'(x).

Il y a 3 facteurs, on résoudra donc 3 inéquations qui nous permettront de savoir où placer les

+ » dans le tableau (c'est pour cela que les inéquations sont du type " >0 » ):

3 > 0 est vraie quelque soit la valeur de x

x-5 > 0 ⇔ x > 5 x-19 > 0 ⇔ x > 19x05 1940

3+|+|+

x-5-0+|+ x-19-|-0+ f'(x)+0-0+Les signes ne s'écrivent pas en dessous des nombres mais entre eux. Étudions la 1ere colonne de signes (on va de haut en bas) :

Le 1er

+signifie que pour tous les nombres (x) appartenant à [0 ; 5[ , 3 est strictement positif (élémentaire mon cher Watson...). Le -qui suit signifie que pour tous les nombres (x) appartenant à [0 ; 5[ , x-5 est strictement négatif. Le -suivant signifie que pour tous les nombres (x) appartenant à [0 ; 5[ , x-19 est strictement négatif. Sur [0 ; 5[les trois facteurs ont un signe constant, on peut donc appliquer sans risque la règle des signes pour obtenir que sur [0 ; 5[ ,f'(x) est strictement positif (" +par -par -ça donne On a fait la même chose avec les autres colonnes

6)Dresser le tableau des variations de f(x).

On va se servir de la question précédente et je vais ajouter une ligne cyan (et hé oui c'est la

couleur utilisée ici) qui rappellera la dernière du tableau précédent. Cette ligne n'est pas à écrire

sur la copie . x051940 f'(x)+0-0+f(x) f(0)=-250f(5)=400 f(19)=-972 f(40)=75507)Quels sont les extremums (ou extrema) de la fonction f ?

Le maximum vaut 7550 et est atteint quand x=40

Le minimum vaut -972et est atteint quand x=19

On peut remarquer que

400n'est qu'un maximum local (par exemple sur [0 ; 19])

Il faut donc faire attention et ne pas oublier les valeurs extrêmes de l'ensemble de définition.

8)Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction fau

point d'abscisse 7. Une équation de la tangente au point d'abscisse est : y=f'(7)(x-7)+f(7)

On remplace

f'(7) et f(7)par leur valeur y=324(x-7)-72

On développe et réduit l'expression

y=324x-2340

FONCTIONS PART4 E01EXERCICE N°1

On donne la fonction fdéfinie sur [-20 ; 20] par : f(x)=x3-6x2-135x+572

1)Montrer que

f(x)=(x+11)(x-4)(x-13).

2)En déduire les racines de f.

3)Déterminer la dérivée

f'de f .

4)Montrer que f'(x)=3(x-9)(x+5).

5)Dresser le tableau de signe de

f'.

6)En déduire le tableau de variations de

f.

7)Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de

fau point d'abscisse 10. FONCTIONS PART4 E01 Correction de l'exercice n°1 On donne la fonction fdéfinie sur [-20 ; 20] par : f(x)=x3-6x2-135x+572

1)Montrer que

f(x)=(x+11)(x-4)(x-13). (x+11)(x-4)(x-13)=(x+11)[x2-13x-4x+52] =(x+11)(x2-17x+52) =x3-17x2+52x+11x2-187x+572 =x3-6x2-135x+572 =f(x)

2)En déduire les racines de f.

Les racines de

fsont : -11 ; 4 et 133)Déterminer la dérivée f'de f . f(x)=x3-6x2-135x+572 f'(x)=3x2-6×2x-135×1+0 f'(x)=3x2-12x-1354)Montrer que f'(x)=3(x-9)(x+5).

3(x-9)(x+5)=3(x2+5x-9x-45)

=3(x2-4x-45) =3x2-12x-135 =f'(x)

5)Dresser le tableau de signe de f'.

3>0est vraie quelque soit la valeur de x

x-9 > 0 ⇔ x > 9 x+5 > 0 ⇔ x > -5 x-20-59203 x-9-0-|+x+5-| +0+ f'(x)+0-0+6)En déduire le tableau de variations de f. x-20-5920 f(x) -7128972 -4003472

7)Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de fau point d'abscisse

10. Une équation de la tangente au point d'abscisse est : y=f'(10)(x-10)+f(10) y=45(x-10)-378 y=45x-828

FONCTIONS PART4 E01EXERCICE N°2

On donne la fonction fdéfinie sur [-20 ; 40] par : f(x)=x3-33x2-144x+3740

1)Montrer que

f(x)=(x+11)(x-10)(x-34).

2)En déduire les racines de f.

3)Déterminer la dérivée

f'de f .

4)Montrer que f'(x)=3(x-24)(x+2).

5)Dresser le tableau de signe de

f'.

6)En déduire le tableau de variations de

f.

7)Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de

fau point d'abscisse -5. FONCTIONS PART4 E01 Correction de l'exercice n°2 On donne la fonction fdéfinie sur [-20 ; 40] par : f(x)=x3-33x2-144x+3740

1)Montrer que

f(x)=(x+11)(x-10)(x-34). =(x+11)(x2-44x+340) =x3-44x2+340x+11x2-484x+3740 =x3-33x2-144x+3740 =f(x)2)En déduire les racines de f.

Les racines de

fsont : -11 ; 10 et 343)Déterminer la dérivée f'de f . f(x)=x3-33x2-144x+3740 f'(x)=3x2-33×2x-144×1+0 f'(x)=3x2-66x-144

4)Montrer que

f'(x)=3(x-24)(x+2).

3(x-24)(x+2)=3(x2+2x-24x-48)

=3(x2-22x-48) =3x2-66x-144 =f'(x)

5)Dresser le tableau de signe de f'.

3>0est vraie quelque soit la valeur de x

x-24 > 0 ⇔ x > 24 x+2 > 0 ⇔ x > -2 x-20-224403 x-24-0-|+x+2-| +0+ f'(x)+0-0+6)En déduire le tableau de variations de f. x-20 -22440f(x) -145803888-49009180

7)Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de fau point d'abscisse

-5. Une équation de la tangente au point d'abscisse est : y=f'(-5)(x+5)+f(-5) y=261(x+5)-3510 y=261x-2205

FONCTIONS PART4 E01EXERCICE N°3 tableur

Un fabricant de lecteur MP3 peut produire jusqu'à 500 lecteurs par jour de production. Le coût total de fabrication de xlecteurs est modélisé par la fonction CT définie sur l'intervalle [0 ; 500] par : CT(x)=0,4x3-7x2+60x+120On appelle coût marginal au rang x, noté

Cm(x), le coût de fabrication d'une pièce

supplémentaire lorsque xpièces ont déjà été produites.

Ainsi Cm(x)=CT(x+1)-CT(x)

1)Calculer

Cm(5). Donner une interprétation.

2)On veut regarder l'évolution du coût marginal en fonction de x.

Pour limiter les calculs nous allons préparer une feuille de calculs à l'aide d'un tableur.

2.a)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas a-t-on saisie dans la cellule B2 ?

2.b)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas a-t-on saisie dans la cellule C2 ?

2.c)Compléter la feuille de calculs pour une production de 0 à 500 MP3

Attention : Il ne peut y avoir de production d'un 501e lecteur, par conséquent sur la dernière seules les colonnes A et B devront être complétées.

3)En économie, on approxime le coût marginal par la dérivée du coût total.

Ainsi,

Cm(x)≈CT'(x) pour 0⩽x⩽5003.a)Montrer que pour appartenant à l'intervalle

[0 ; 500],

Cm(x)=1,2x2-12,8x+53,4.

3.b)Calculer alors pour

x appartenant à l'intervalle [0 ; 500] CT'(x) et proposer une approximation de

Cm(x).

3.c)Calculer

Cm(5) à l'aide de cette approximation. Quelle est l'erreur commise (en pourcentage) par rapport à la valeur trouvée dans la question 1. a.? Qu'en pensez-vous?

3.d)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas peut-on saisir dans la cellule D2 pour

avoir une approximation de Cm(x) par CT'(x)?

3.e)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas peut-on saisir dans la cellule E2 pour

avoir le pourcentage d'erreur de l'approximation par rapport à la valeur réelle calculée dans la

colonne C ?

3.f)Observer l'intégralité de la colonne D.

Que pensez-vous de cette approximation proposée pour le coût marginal? FONCTIONS PART4 E01Correction de l'exercice n°3 tableur Un fabricant de lecteur MP3 peut produire jusqu'à 500 lecteurs par jour de production. Le coût total de fabrication de xlecteurs est modélisé par la fonction CT définie sur l'intervalle [0 ; 500] par : CT(x)=0,4x3-7x2+60x+120On appelle coût marginal au rang x, noté

Cm(x), le coût de fabrication d'une pièce

supplémentaire lorsque xpièces ont déjà été produites.

Ainsi Cm(x)=CT(x+1)-CT(x)

1)Calculer

Cm(5). Donner une interprétation.

= 19,4Quand

5pièces ont été produites, le coût de fabrication de la pièce suivante est de 19,4€

2)On veut regarder l'évolution du coût marginal en fonction de

x. Pour limiter les calculs nous allons préparer une feuille de calculs à l'aide d'un tableur.

2.a)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas a-t-on saisie dans la cellule B2 ?

=0,4*A3^3-7*A3^2+60*A3+120

2.b)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas a-t-on saisie dans la cellule C2 ?

=B3-B2

2.c)Compléter la feuille de calculs pour une production de 0 à 500 MP3

Attention : Il ne peut y avoir de production d'un 501e lecteur, par conséquent sur la dernière seules les colonnes A et B devront être complétées.

Le fichier est ici

3)En économie, on approxime le coût marginal par la dérivée du coût total.

Ainsi,

Cm(x)≈CT'(x) pour 0⩽x⩽5003.a)Montrer que pour appartenant à l'intervalle

[0 ; 500],

Cm(x)=1,2x2-12,8x+53,4.

Cm(x)=CT(x+1)-CT(x)

=1,2x2-12,8x+53,4 Pour passer de la 2e à la 3e ligne (seuls le développement et la réduction de CT(x+1) sont présentés ):

0,4(x+1)3-7(x+1)2+60(x+1)+120 = 0,4(x3+3x2+3x+1)-7(x2+2x+1)+60(x+1)+120

= 0,4x3+1,2x2+1,2x+0,4 = 0,4x3-5,8x2+47,2x+173,4

3.b)Calculer alors pour

x appartenant à l'intervalle [0 ; 500] CT'(x) et proposer une approximation de

Cm(x).

CT(x)=0,4x3-7x2+60x+120

CT'(x)=0,4×3x2-7×2x+60×1+0

CT'(x)=1,2x2-14x+60

On peut approcher

Cm(x) avec 1,2x2-14x+60

3.c)Calculer Cm(5) à l'aide de cette approximation. Quelle est l'erreur commise (en

pourcentage) par rapport à la valeur trouvée dans la question 1. a.? Qu'en pensez-vous?

Calculons l'approximation de Cm(5)

Cm(5) ≈ 1,2×52-14×5+60 = 20

L'erreur commise par rapport à la valeur de la question 1a) est alors :

20-19,4

19,4≈0,03

Soir environ 3 %

Cette erreur nous semble acceptable.

3.d)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas peut-on saisir dans la cellule D2 pour

avoir une approximation de

Cm(x) par CT'(x)?

=1,2*A2^2-14*A2+60

3.e)Quelle formule destinée à être étirée vers le bas peut-on saisir dans la cellule E2 pour

avoir le pourcentage d'erreur de l'approximation par rapport à la valeur réelle calculée dans la

colonne C ? =(D2-C2)/C2

3.f)Observer l'intégralité de la colonne D.

Que pensez-vous de cette approximation proposée pour le coût marginal? On constate que l'erreur d'approximation diminue en augmentant le nombre de pièces produites.

Cette approximation est donc acceptable.

FONCTIONS PART4 E02EXERCICE N°1 E3C T1CMATH00099

Une entreprise fabrique des lampes solaires. Elle ne peut pas produire plus de 5000 lampes par mois.

Le résultat qu'elle peut réaliser en un mois, exprimé en centaines d'euros, est modélisé par une

fonction b dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

On rappelle que lorsque le résultat est positif, on l'appelle bénéfice. L'axe des abscisses indique

le nombre de lampes produites et vendues exprimé en centaines.

En utilisant le graphique :

1)Lire b(10)et interpréter ce résultat

dans le contexte de l'exercice.

2)Déterminer avec la précision que

la lecture graphique permet, le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise et les quantités de lampes à fabriquer correspondantes.

3)La fonction

b définie sur l'intervalle [0 ; +∞[est définie par l'expression suivante : b(x)=-3x2+160x-1600.

3.a)Montrer que

b(x)=(x-40)(-3x+40).

3.b)Résoudre b(x)=0

3.c)Donner la valeur exacte du maximum de la fonction

f et en quel nombre il est atteint.

FONCTIONS PART4 E02Correction de l'exercice n°1 E3C T1CMATH00099

Une entreprise fabrique des lampes solaires. Elle ne peut pas produire plus de 5000 lampes par mois.

Le résultat qu'elle peut réaliser en un mois, exprimé en centaines d'euros, est modélisé par une

fonction b dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

On rappelle que lorsque le résultat est positif, on l'appelle bénéfice. L'axe des abscisses indique

le nombre de lampes produites et vendues exprimé en centaines.

En utilisant le graphique :

1)Lire b(10)et interpréter ce résultat

dans le contexte de l'exercice. b(10)=-300

En produisant 1000 lampes l'entreprise perd

30000 €

2)Déterminer avec la précision que

la lecture graphique permet, le bénéfice maximal que peut réaliser l'entreprise et les quantités de lampes à fabriquer correspondantes. L'entreprise peut réaliser un bénéfice maximal d'environ 54000 € en produisant environ

2500 lampes

3)La fonction

b définie sur l'intervalle [0 ; +∞[est définie par l'expression suivante : b(x)=-3x2+160x-1600.

3.a)Montrer que

b(x)=(x-40)(-3x+40). (x-40)(-3x+40) = = -3x2+40x+120x-1600 = -3x2+160x-1600 = b(x)

Ainsi b(x)=(x-40)(-3x+40)

3.b)Résoudre

b(x)=0b(x)=0 ⇔ (x-40)(-3x+40)=0 Or : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'au moins de ses facteurs est nul. x-40=0 x=40 ou -3x+40=0 -3x=-40x=-40 -3=40 3

Les solutions de l'équation b(x)=0 sont :

40

3 et 40

FONCTIONS PART4 E02Correction de l'exercice n°1 suite E3C T1CMATH00099

3.c)Donner la valeur exacte du maximum de la fonction f et en quel nombre il est atteint.

Commençons par déterminer la dérivée

b'de la fonction b : b(x)=-3x2+160x-1600 b'(x)=-3×2x+160×1-0 b'(x)=-6x+160

Si la fonction

badmet un maximum en x0 alors b'(x0)=0 .

On va donc résoudre

b'(x)=0b'(x)=0 ⇔ -6x+160= ⇔ -6x=-160 ⇔ x=-160 -6 ⇔ x=80

3≈26,667

De plus :

b (80

3) = -3×(80

3)2 +160×(80

3)-1600 = -6400

3+12800

3-4800

3 = 1600

3≈533,33

On en déduit, à la vue du graphique, et de ce qui précède que le maximum est atteint en x0=80

3 et qu'il vaut

b(80

3) = 1600

3 On a procéder ainsi pour illustrer la propriété n°1 On pouvait aussi dresser le tableau de variations et l'utiliser pour répondre à la question.

FONCTIONS PART4 E02EXERCICE N°2 E3C T1CMATH00099

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