[PDF] Optimisation dune fonction dune variable





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Première S - Extremums dune fonction

Si une fonction dérivable sur un intervalle I



Extremum dune fonction de deux variables

Définition 1 – Extremum local Définition 2 – Point critique ... Théorème 2 – Signe et extremum d'une fonction quadratique.



Première ES - Extremums dune fonction

admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition. On a = 6. 12 8 donc ' = 3. 12 12. Donc ' 0 12 et ' 3 3 



VARIATIONS DUNE FONCTION

Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints.



Fonctions de 2 et 3 variables

lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f.



Optimisation dune fonction dune variable

Définition: minimum maximum. Propriétés Définition et propriétés d'une fonction convexe ... On dit que f admet un extremum en x? si et seulement si f.



FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

I. Définition. Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ? Méthode : Déterminer les coordonnées de l'extremum d'une fonction polynôme.



Fonctions de 2 et 3 variables

lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f.



Fonctions de plusieurs variables définies sur une partie de R

+ × R+. La recherche d'extremum de la fonction dépend de la nature topologique de l'ensemble de définition. ?. On peut déjà 



Fonctions de 2 ou 3 variables

on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous.



41 croissance décroissance et extremums d’une fonction

Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L



41 croissance décroissance et extremums d’une fonction

des x et que le graphique d’une fonction monte on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend la fonction est dite décroissante Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximums et minimums d’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et



Variations et fonctions de référence A) Rappels : Sens de

une fonction définie sur un ensemble D u et k un réel La fonction notée u+k est la fonction définie sur D u par : ( )=u x+k Propriété : Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et un réel Les fonctions u(x) et u(x)+k ont les mêmes variations sur I Exemples : 2 Fonction ku Définition :



I Extremums d’une fonction - pagesperso-orangefr

I Extremums d’une fonction Définition n°1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et c ? I On dit que f (c) est un maximum de f sur I si pour tout x ? I f (x) ? f (c) On dit que f (c) est un minimum de f sur I si pour tout x ? I f (x) ? f (c) Exemple n°1 Soit fonction f définie sur I=[?1 ; 6] et



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Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L

Quelle est la différence entre extremum relatif et extremum absolu?

Le terme extremums relatifsse rapporte aux maximums et minimumsd’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et au minimum d’une fonction sur l’ensemble de son domaine. Pour bien saisir chacune de ces notions examinons d’abord le graphique ci- dessous.

Quels sont les extremums d’une fonction ?

Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.

Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?

1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .

Comment calculer un extremum local ?

1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable

1ère année

E.N.S.T.B.B.

I.P.B.

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

4Convexité

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiant

Minimiserf(x)

x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.

La f onctionfest

souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

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Définition: minimum, maximum

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ConvexitéC. NazaretOptimisation

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ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global

sur I au point x , si

8x2I f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que

8x2J f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un extremum en x

si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.Remarque

Un extremum global est un extremum local.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité

Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité-5

0 5 10

0.00.51.01.52.02.53.0

Maximum localMaximum global

Minimum local

Figure:

f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.

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ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

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2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

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Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

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2Définition: minimum, maximum

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Condition d"optimalité du1er ordre

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ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreSoit

un intervalle ouvert.Théorème

Toute fonction continue et coercive sur

atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

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2Définition: minimum, maximum

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Condition d"optimalité du1er ordre

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Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du 1er ordre

Théorème

Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert

I et si f admet en un point x

de I un extremum alors f

0(x) =0:C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreRemarque

La réciproque de ce théorème est fausse (la fonction x7!x3admet une dérivée nulle en0mais ce n"est pas un extremum).Si f

0(x) =0, on dit que xest un point critique de f. Les

extrema sur l"ouvert I sont à chercher parmi les points critiques.Si on cherche un extremum sur un intervalle fermé[a;b], on fera l"étude sur]a;b[ouvert puis on comparera à f(a)et f(b).C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.

En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I. On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.

En1et1, elle n"est pas dérivable.

De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1 quand x tend vers l"infini.

En plusieurs dimensions ,les choses

seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.

En plusieurs dimensions ,les choses

seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13
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