Première S - Extremums dune fonction
Si une fonction dérivable sur un intervalle I
Extremum dune fonction de deux variables
Définition 1 – Extremum local Définition 2 – Point critique ... Théorème 2 – Signe et extremum d'une fonction quadratique.
Première ES - Extremums dune fonction
admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition. On a = 6. 12 8 donc ' = 3. 12 12. Donc ' 0 12 et ' 3 3
VARIATIONS DUNE FONCTION
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints.
Fonctions de 2 et 3 variables
lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f.
Optimisation dune fonction dune variable
Définition: minimum maximum. Propriétés Définition et propriétés d'une fonction convexe ... On dit que f admet un extremum en x? si et seulement si f.
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
I. Définition. Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ? Méthode : Déterminer les coordonnées de l'extremum d'une fonction polynôme.
Fonctions de 2 et 3 variables
lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f. On note D(f). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f.
Fonctions de plusieurs variables définies sur une partie de R
+ × R+. La recherche d'extremum de la fonction dépend de la nature topologique de l'ensemble de définition. ?. On peut déjà
Fonctions de 2 ou 3 variables
on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f sous.
41 croissance décroissance et extremums d’une fonction
Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
41 croissance décroissance et extremums d’une fonction
des x et que le graphique d’une fonction monte on dit que la fonction est croissante; lorsque le graphique descend la fonction est dite décroissante Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximums et minimums d’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et
Variations et fonctions de référence A) Rappels : Sens de
une fonction définie sur un ensemble D u et k un réel La fonction notée u+k est la fonction définie sur D u par : ( )=u x+k Propriété : Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et un réel Les fonctions u(x) et u(x)+k ont les mêmes variations sur I Exemples : 2 Fonction ku Définition :
I Extremums d’une fonction - pagesperso-orangefr
I Extremums d’une fonction Définition n°1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et c ? I On dit que f (c) est un maximum de f sur I si pour tout x ? I f (x) ? f (c) On dit que f (c) est un minimum de f sur I si pour tout x ? I f (x) ? f (c) Exemple n°1 Soit fonction f définie sur I=[?1 ; 6] et
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Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
Quelle est la différence entre extremum relatif et extremum absolu?
Le terme extremums relatifsse rapporte aux maximums et minimumsd’une fonction sur une région particulière de son domaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum et au minimum d’une fonction sur l’ensemble de son domaine. Pour bien saisir chacune de ces notions examinons d’abord le graphique ci- dessous.
Quels sont les extremums d’une fonction ?
Extremums d’une fonction | Lelivrescolaire.fr Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I.
Comment déterminer les valeurs de X pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux ?
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux. 2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ?(x) = ?1,5(x +1)(x? 2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1. .
Comment calculer un extremum local ?
1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVARIATIONS D'UNE FONCTION
Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes1. Définitions
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :Sur l'intervalle [0;2,5], on
monte, on dit que la fonction est croissante.Sur l'intervalle [2,5;5], on
descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5Si augmente (3<4),
alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5Si augmente (1<2),
alors ()augmente ((1)<(2)).2 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alorsRemarques :
• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonctionVidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw
Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts
2. Maximum et minimum
Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.Sur l'intervalle [0;5], on a :
2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.3 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,Remarque : Un minimum ou un maximum
s'appelle un extremum.TP avec Python :
Approcher un extremum par la méthode du balayage3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variationsVidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw
On considère la représentation graphique la fonction :4 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.Correction
a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)Partie 2 : Cas des fonctions affines
1. Définitions
Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.Exemples :
• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :2. Variations
Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝparSi >0, alors est croissante.
Si <0, alors est décroissante.
Si =0, alors est constante.
Démonstration :
Soient et deux nombres réels tels que <.On sait que < donc ->0.
Le signe de
est le même que celui de .5 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soitDonc est croissante.
- Si =0, alors = 0 soitDonc est constante.
- Si <0, alors < 0 soitDonc est décroissante.
Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0
Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎCorrection
1)
=3+2 >0 donc est croissante.2)
=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.3) ℎ
=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.3. Représentation graphique
Propriétés :
- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affineVidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY
Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement
par les droites (d) et (d').6 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.
Si on avance de 1 : on monte de .
Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.
- se lit sur l'axe des ordonnées.Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
L'expression de la fonction est :
=2-2Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
L'expression de la fonction est :
=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .Alors : =
Démonstration :
Comme ≠, et on a : =
Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.En effet :
Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM
Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.7 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :Donc :
• Calcul de b :On a par exemple : (3)=1, donc :
×3+=1
+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :Partie 3 : Cas des fonctions de référence
1. Variations de la fonction carré
Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8
Propriété :
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle0;+∞
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk
On pose :
- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.2. Variations de la fonction inverse
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
Propriété :
La fonction inverse est décroissante sur
l'intervalle -∞;0 et décroissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/cZYWnLA30q0
On pose :
- Soit et deux nombres réels strictement positifs avec <. 0 0'/ 0/ Or >0, >0 et -<0. Donc f est ainsi décroissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue. Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe, on a alors : 1 1 En effet, la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est renversé.9 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction inverseVidéo https://youtu.be/7K0171Zj5Rw
Résoudre l'inéquation suivante pour tout strictement positif : 4 +2<5Correction
4 +2<5 4 <5-2 4 <3 1 3 4 1 4 3 4 3 4 3 ;+∞W3. Variations de la fonction racine carrée
Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/1EUTIClDac4
On pose :
Soit et deux nombres réels positifs tels que <. 1 0 31/4 0 3 /4 0 0 /4 0 /'0 /4 0 Or >0 et ->0. Donc >0
Donc
Ce qui prouve que f est croissante sur l'intervalle0;+∞
← On divise de part et d'autre par 4. ← On applique la propriété donnée plus haut.10 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Si et sont deux nombres réels positifs, on a alors : En effet, la fonction racine carrée étant croissante, l'ordre est conservé.4. Variations de la fonction cube
Vidéo https://youtu.be/PRSDu_PgCZA
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.Propriété : <éà
En effet, la fonction cube étant croissante, l'ordre est conservé. Méthode : Ordonner des nombres avec la fonction cubeVidéo https://youtu.be/8h8uAq0wH1A
Sans calculatrice, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : 1 8 4 -5 Z 2 3 1 8Correction
On a :
1 8 1 2 1 2 =Z 1 2 -5 =(-5) 1 8 =Z- 1 2La fonction cube conserve l'ordre.
Donc, pour ranger dans l'ordre croissant les nombres : Z 1 2 4 (-5) Z 2 3 Z- 1 2 il suffit de ranger dans l'ordre croissant ces nombres sans l'exposant 3.Soit, à ranger :
1 2 4-5 2 3 1 2 Or :11 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr -5<- 1 2 1 2 2 3 <4Donc :
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