INTÉGRALES DOUBLES PDF dx dy sur D = {(xy) ?

2011-2012. Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6. Calculer l'intégrale double. ??. R xcos(x + y) dxdy R région triangulaire de som-.

Corrigé de la feuille TD N?4 - semaine du 17/03/2008 (les énoncés

Exercice 2. (calculer une intégrale double sur un triangle). Soit ? le domaine de R2 bordé par le triangle dont les sommets sont les points A

Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables

Intégrales doubles

16-Oct-2015 Calculer l'aire intérieure délimitée par cette courbe. Intégrales doubles sur un produit d'intervalles. Exercice 41 [ 02919 ] [Correction].

Exercices sur les intégrales doubles.

2012/2013. Semestre de printemps. Université Lyon I. Calcul différentiel et intégral. Exercices sur les intégrales doubles. Exercice 1. Calculer.

Intégrales curvilignes intégrales multiples

Exercice 2 **. Soit ? = x2dx+y2dy. Calculer l'intégrale de ? le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Même question avec ?

examens-corriges-integrales-multiples.pdf

Examen corrigé. François DE MARÇAY Exercice 1. (a) Avec : ... (b) Avec un paramètre réel ? > 0 on introduit l'intégrale double : I?(?) :=.

Corrigé des concours et propositions de concours national daccès

idée sur la manière de traité ce genre d'intégrale double. Pour répondre aux question no 1 et no 2 de cet exercice nous nous intéresserons.

Calculs

27-Apr-2010 Exercice ƒ : intégrales doubles et triples. [17 points]. 1. [2 points] Soit la plaque homogène représentée dans la figure 13a.

Feuille de TD no 2 : Primitives et intégrales (CORRIGÉ) Version provisoire à véri?er — Calculs d’intégrales Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes I 1 = ? 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx Primitives : ? 3 x2 + 3 x2 4 dx = ? (x2 +3x?2)dx = x3 3 +3 x?1 ?1 +C = 1 3 x3 ? 3 x +C (C œ R) Intervalles de dé?nition : ]?Œ0

Intégrales doubles [Correction] - Tissemsilt electronics

Exercice 13 [ 01951 ] [Correction] Calculer I= ZZ D cos(x2 + y2)dxdy oùDestledisq?entreOetderayonR Exercice 14 [ 01952 ] [Correction] Calculer ZZ D sin(x2 + y2)d d oùDdésigneledisq?entreOetderayon ? ? Exercice 15 [ 01953 ] [Correction] Calculer I= ZZ D x2 + y2 x+ p x2 + y2 dx y oùDestlequartdedisqueunitéinclusdansR+ ×R+

Intégrales doubles et triples - M— - univ-toulousefr

l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 2) Deuxième Décomposition • D un domaine borné de IR2 de frontière ?D intersectée au plus en deux points par toute droite d’équation y=cte

TD n 4 : Int egrales doubles - Cergy-Pontoise University

Exercice 2 Calculer I= ZZ D dxdy (x+ y)3 ou D= f(x;y) 2R2; x 1; y 1; x+ y 3g Exercice 3 Calculer I= ZZ D ln(1 + x2 + y)dxdy ou D= f(x;y) 2R2; x 0; y 0; x2 + y 1g Exercice 4 Pour chacune des int egrales suivantes repr esenter graphiquement le domaine d’int egration

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Corrigé de l’exercice 2 1 On calcule en faisant deux intégrations successives : ZZ D dxdy (1 + x 2)(1 + y ) = Z 1 0 1 1 + x2 Z x 0 dy 1 + y2 dx = Z 1 0 1 1 + x2 arctan(y) x 0 dx = Z 1 0 arctan x 1 + x2 dx: Cette intégrale est du type R u0u où u(x) = arctan x donc se primitive en 1 2 u2: ZZ D dxdy (1 + x2)(1 + y2) = " 1 2 (arctan x)2 # 1

Mathématiques (L3) - Quelques exercices supplémentaires

INTÉGRALES DOUBLES

§ 1. - Intégrales doubles à variables séparables . . . . . . . . . . . . 1 § 2. - Intégrales doubles par intégrations successives . . . . . . . . . 2 § 3. - Intégrales doubles par passage en coordonnées polaires . . . . 3 § 4. - Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

§ 1. -

Intégrales doubles à v ariablesséparables Rappels de coursUne intégrale double de la forme RR [a;b][c;d]f(x)g(y)dxdypeut se calculer en séparant lesvariables : ZZ [a;b][c;d]f(x)g(y)dxdy= Zb a f(x)dx Zd c g(y)dy :Exercice 1.1.CalculerZZ D

exydxdysurD=f(x;y)2R2jjxj1 ety2[0;1]g.Corrigé de l"exercice 1.1.En utilisant la formuleea+b=eaebet le fait quejxj1() 1

x1()x2[1;1], on peut séparer les variables : ZZ D exydxdy=ZZ [1;1][0;1]exeydxdy= Z1 1exdx Z1 0 eydy [ex]1

1[ey]1

0=(ee1)(1e1)=e1e1+e2:

Exercice 1.2.CalculerZZ

Dj x2jy

dxdysurD=f(x;y)2R2j0x3 et 1yeg.Corrigé de l"exercice 1.2.On calcule l"intégrale en séparant les variables :

ZZ Dj x2jy dxdy= Z3 0 jx2jdx Ze 1dyy 1

La seconde intégrale se primitive directement; pour la première, on enlève les valeurs absolues

en remarquant que : j x+2j=( x2 six2,

2xsix2.

On a donc :

ZZ Dj x2jy dxdy= Z2 0 (2x)dx+Z 3 2 (x2)dx Ze 1dyy 2xx22 2 0 +"x22 2x# 3 2! (ln jejln1) 442
+92
642
+4

1=2+12

=52:

§ 2. -

Intégrales doubles par intégrations successi vesExercice 2.1.CalculerZZ

Ddxdy(1+x2)(1+y2)oùD=f(x;y)2R2j0x1 et 0yxg.Corrigé de l"exercice 2.1.On calcule en faisant deux intégrations successives :

Ddxdy(1+x2)(1+y2)=Z

011+x2

0dy1+y2

dx=Z 1

011+x2arctan(y)x

0dx Z 1

0arctanx1+x2dx:

Cette intégrale est du type

Ru0uoùu(x)=arctanxdonc se primitive en12

u2: ZZ

Ddxdy(1+x2)(1+y2)="12

(arctanx)2# 1 0 =12 4

2=232:

Exercice 2.2.CalculerZZ

dxdysurD=f(x;y)2R2j0y1 etjxjjyjg.Corrigé de l"exercice 2.2.On va faire deux intégrations successives. Avant cela, simplifions la

description domaineD. Puisque 0y1, on ajyj=yet doncjxjjyjs"écritjxjyqui signifie à son touryxyet doncD=f(x;y)2R2j0y1 etyxyg. On a donc : ZZ D dxdy=Z 1 0 Zy ydx dy=Z 1 0 [x]yydy=Z 1 0

2ydy=[y2]1

0=1: 2

Exercice 2.3.(plus dur) CalculerRR

[0;1]

2jxyjdxdy.Corrigé de l"exercice 2.3.On va faire deux intégrations successives en écrivant

ZZ [0;1]

2jxyjdxdy=Z

1 0Z 1 0 jxyjdxdy

Lorsqueyest fixé, on a :

j xyj=( xysixy, yxsixy, donc ZZ [0;1]

2jxyjdxdy=Z

1 0 Zy 0 (yx)dx+Z 1 y (xy)dx dy Z 1 0 yxx22 y 0 +"x22 xy# 1 y! dy Z 1 0 y 2y22 +12 yy22 +y2 dy=Z 1 0 y 2y+12 dy "y33 y22 +y2 1 0 =13 12 +y2 =13:

§ 3. -

Intégrales doubles par passage en coordonnées polair esExercice 3.1.CalculerZZ

Dxdxdy1+x2+y2oùD=f(x;y)2R2jx2+y21 etx0g.Corrigé de l"exercice 3.1.On va passer en coordonnées polaires. Le domaineDest l"intersec-

tion du disque de centre (0;0) et de rayon 1 et du domaine à droite de l"axeOy, c"est-à-dire que

rest compris entre 0 et 1 et quevarie entre2 et2 :D 3

On a donc =f(r;)2R+Rj0r1 et2

2 g. Par suite, ZZ

Dxdxdy1+x2+y2=ZZ

rcos1+r2rdrd= Z1 0r

21+r2dr

Z=2 =2cosd Z1 0r

2+111+r2dr

sin]=2 =2= Z1 0

111+r2dr

2 =2[rarctanr]1 0=2 14 =22:

Exercice 3.2.CalculerZZ

xydxdyoùD=f(x;y)2R2jx2+y21;x0 ety0g.Corrigé de l"exercice 3.2.On va passer en coordonnées polaires. Le domaineDest l"intersec-

tion du disque de centre (0;0) et de rayon 1 et du domaine à droite de l"axeOyet en haut de l"axeOx, c"est-à-dire querest compris entre 0 et 1 et quevarie entre 0 et2 :D

On a donc =f(r;)2R+Rj0r1 et 02

g. Par suite, ZZ D xydxdy=ZZ rcosrsinrdrd= Z1 0 r3dr Z=2 0 cossind La première intégrale se primitive directement tandis que la seconde est du type

Ru0uoùu()=

sindonc se primitive en12 u2: ZZ D xydxdy="r44 1 0 "12 (sin)2# =2 0 =14 12 =18:

§ 4. -

Exer cicesde synthèse Exercice 4.1.CalculerZZ

D (x2+y2)dxdylorsque : (i)D=f(x;y)2R2j 1x0 et 0y1g(ii)D=f(x;y)2R2j0y2 etyxyg(iii)D=f(x;y)2R2j12 x2+y23 ety0g4 Corrigé de l"exercice 4.1.La présence dux2+y2peut faire penser à passer en coordonnées

polaires, mais il faut faire attention que pour cela, il faut aussi que le domaine se décrive sim-

plement en terme deret. (i)Ici, le domaine est un carré, donc n"admet pas de description simple en terme deret. On ne va donc pas passer en coordonnées polaires, mais utiliser une autre méthode. Il estquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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INTÉGRALES DOUBLES

§ 1. -

1[ey]1

0=(ee1)(1e1)=e1e1+e2:

Exercice 1.2.CalculerZZ

2xsix2.

On a donc :

1=2+12

§ 2. -

Ddxdy(1+x2)(1+y2)=Z

011+x2

0dy1+y2

011+x2arctan(y)x

0arctanx1+x2dx:

Cette intégrale est du type

Ru0uoùu(x)=arctanxdonc se primitive en12

Ddxdy(1+x2)(1+y2)="12

2=232:

Exercice 2.2.CalculerZZ

2ydy=[y2]1

Exercice 2.3.(plus dur) CalculerRR

2jxyjdxdy.Corrigé de l"exercice 2.3.On va faire deux intégrations successives en écrivant

2jxyjdxdy=Z

Lorsqueyest fixé, on a :

2jxyjdxdy=Z

§ 3. -

On a donc =f(r;)2R+Rj0r1 et2

Dxdxdy1+x2+y2=ZZ

21+r2dr

2+111+r2dr

111+r2dr

Exercice 3.2.CalculerZZ

On a donc =f(r;)2R+Rj0r1 et 02

Ru0uoùu()=

§ 4. -

Exer cicesde synthèse Exercice 4.1.CalculerZZ